专题27.3 弧、弦、圆心角的关系【十大题型】-2024-2025学年九年级数学下册举一反三系列（华东师大版）

专题27.3 弧、弦、圆心角的关系【十大题型】 【华东师大版】 【题型1 由弧、弦、圆心角的关系判断结论正误】 1 【题型2 利用弧、弦、圆心角的关系求线段长度】 2 【题型3 利用弧、弦、圆心角的关系求角度】 4 【题型4 利用弧、弦、圆心角的关系求弧的度数】 5 【题型5 利用弧、弦、圆心角的关系求面积】 6 【题型6 利用弧、弦、圆心角的关系求周长】 7 【题型7 利用弧、弦、圆心角的关系求线段比值】 8 【题型8 利用弧、弦、圆心角的关系进行证明】 9 【题型9 利用弧、弦、圆心角的关系判断线段或弧长间的关系】 11 【题型10 利用弧、弦、圆心角的关系求最值】 11 知识点：弧、弦、圆心角的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． 【题型1 由弧、弦、圆心角的关系判断结论正误】 【例1】（23-24九年级·山东威海·期末）如图，是的直径，点P是上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，对于如下结论：①的值为定值；②的度数为定值；③的度数始终等于度数的2倍；④若，则．正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-1】（23-24九年级·江苏镇江·阶段练习）下列说法正确的个数有（    ） ①半圆是弧； ②面积相等的两个圆是等圆； ③所对的弦长相等的两条弧是等弧； ④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等； ⑤等弧所对的圆心角相等； ⑥平分弦的直径，平分这条弦所对的弧. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】（23-24九年级·甘肃平凉·阶段练习）如图所示，在中，，那么（    ） A． B． C． D．无法比较 【变式1-3】（23-24九年级·山东临沂·期中）平分锐角，以为圆心以任意长为半径画，分别交，，于A，B，C三点，以C为圆心，以长为半径画弧与相交于异于B点的点D，连接，．下列结论错误的是（　　） A． B．若，则 C． D． 【题型2 利用弧、弦、圆心角的关系求线段长度】 【例2】（2024·湖北襄阳·二模）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则点O到弦AB的距离为（　　）    A．6 B．8 C．3 D．4 【变式2-1】（23-24九年级·四川南充·期末）如图，在中，圆心角是的中点，作，与交于，则图中与相等的线段有 条． 【变式2-2】（2024·安徽滁州·一模）如图，是⊙O的直径，点C为圆上一点，，D是弧的中点，与交于点E．若E是的中点，则的长为（　　）    A．5 B．3 C．2 D．1 【变式2-3】（23-24九年级·福建厦门·期中）如图，是直径，是弦，点E在弦上．D是的中点，，，若四边形为平行四边形，则的半径是（    ）    A． B． C． D． 【题型3 利用弧、弦、圆心角的关系求角度】 【例3】（23-24九年级·广西百色·期末）如图，是的直径，C是弧的中点，点D在弧上，的延长线交于点E，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24九年级·辽宁鞍山·期末）如图，点A，B，C，D在上，，点B是弧的中点，则的度数是(   ) A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·山东烟台·一模）如图，以的半径为半径，自上的A点起，在圆上依次画弧截取点B，C，D，E，F．正方形EFGH的中心为，连接FA，，则 ． 【变式3-3】（23-24九年级·浙江·期中）如图，在中，，截三边所得的弦长，则 度． 【题型4 利用弧、弦、圆心角的关系求弧的度数】 【例4】（23-24九年级·江苏泰州·阶段练习）如图，已知是的两条直径，且，过点作交于点，则弧的度数为 ．    【变式4-1】（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，已知是的直径， ，，那么弧度数等于 ． 【变式4-2】（23-24九年级·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，交于点，求弧DE的度数． 【变式4-3】（23-24九年级·浙江杭州·期中）如图，点A．B．C在⊙O上，．弧AB的度数为 ． 【题型5 利用弧、弦、圆心角的关系求面积】 【例5】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，已知圆内接四边形中，对角线是的直径，，是的中点，则的面积是 ．    【变式5-1】（23-24九年级·河南濮阳·期中）如图，点，，，都在上，圆的半径为，且，，则该（        ）    A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·湖北鄂州·一模）如图，以等边的一边为直径的半圆交于点，交于点，若，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024·湖北宜昌·二模）已知：是的直径，C为上一点，将绕着点B逆时针旋转一定的角度得到，交于E点，若点D在上，连接交于点F． (1)直接判断与的位置关系； (2)求证：； (3)若，，求阴影部分的面积． 【题型6 利用弧、弦、圆心角的关系求周长】 【例6】（23-24九年级·全国·课后作业）如图所示，是半径为3的上的两点．若是的中点，则四边形的周长为 ．    【变式6-1】（23-24九年级·吉林·阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4 cm，则⊙O的周长为 ． 【变式6-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图的弦，且于，连接，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2024·河北·中考真题）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是(    )    A． B． C． D．a，b大小无法比较 【题型7 利用弧、弦、圆心角的关系求线段比值】 【例7】（23-24九年级·江苏无锡·期末）如图， 将上的沿弦翻折交半径于点D， 再将沿 翻折交于点E， 连接. 若， 则 的值 ． 【变式7-1】（23-24九年级·江苏盐城·期中）如图，在中，点C是劣弧的中点，点P在劣弧上，且，于H，当，则 ． 【变式7-2】（23-24九年级·江苏泰州·阶段练习）如图，、、、依次为一直线上个点，，为等腰直角三角形，且，过点、、，且弧的度数，则的值是 ． 【变式7-3】（23-24九年级·江苏泰州·期中）如图，等边内接于，D为边上一动点（不与A、C重合），连接并延长交边于E，将沿翻折为，边交于点，若的周长记为，的周长记为，则的值为 ．    【题型8 利用弧、弦、圆心角的关系进行证明】 【例8】（23-24九年级·湖南株洲·期中）（1）如图①，过上一点作两条弦、，若，则平分，为什么？ （2）如图②，若点在内，过点的两条弦，相等，则平分吗？为什么？ （3）如图③，若点在外，过点作、，分别交于点，和，，且，则平分吗？为什么？ 【变式8-1】（2024九年级·江苏·专题练习）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 【变式8-2】（2024·安徽马鞍山·一模）如图，四边形是的内接四边形，直径平分． (1)求证：； (2)过点A向圆外作，且，求证：四边形为平行四边形． 【变式8-3】（2024·上海·模拟预测）如图，以为直径的圆O中，点O为圆心，C为弧的中点，过点C作且．连接，分别交，于点E，F，与圆O交于点G，连接． (1)求证：； (2)连接，，求证：． 【题型9 利用弧、弦、圆心角的关系判断线段或弧长间的关系】 【例9】（2024•铁岭模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，则与的关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【变式9-1】（23-24九年级·全国·单元测试）从圆内一点引两条弦与，则与、度数间的关系是 ． 【变式9-2】（23-24九年级·全国·单元测试）如图,圆上有A,B,C,D四点,圆内有E,F两点且点E,F在BC上.若四边形AEFD为正方形,则下列弧长关系中,正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（2024·江苏扬州·二模）将一张正方形的透明纸片ABCD和按如图位置叠放，顶点A、D在上，边AB、BC、CD分别与相交于点E、F、G、H，则下列弧长关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型10 利用弧、弦、圆心角的关系求最值】 【例10】（23-24九年级·陕西咸阳·期末）如图，是半圆O的直径，半圆的半径为4，点C，D在半圆上，，点P是上的一个动点，则的最小值为 ． 【变式10-1】（23-24九年级·全国·课后作业）如图1为某酒店的圆形旋转门，可看成如图2由外围的和3翼隔风玻璃组成，外围圆有通道和，且它们关于圆心中心对称，圆内的3翼隔风玻璃可绕圆心转动，且所成的夹角，3翼隔风玻璃在转动过程中，始终使大厅内外空气隔离，起到对大厅内保温作用．例如：当隔风玻璃转到如图2位置时，大厅内外空气被隔风玻璃，隔离．则通道所对圆心角的度数的最大值为（　　）    A．30° B．60° C．90° D．120° 【变式10-2】（23-24九年级·浙江杭州·期末）如图，AB是O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是O上一个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（    ）    A．2 B． C． D． 【变式10-3】（23-24九年级·山东青岛·期末）如图，是的直径，，点M在上，，N是弧的中点，P是直径上的一动点．若，则周长的最小值为 ．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题27.3 弧、弦、圆心角的关系【十大题型】 【华东师大版】 【题型1 由弧、弦、圆心角的关系判断结论正误】 1 【题型2 利用弧、弦、圆心角的关系求线段长度】 6 【题型3 利用弧、弦、圆心角的关系求角度】 11 【题型4 利用弧、弦、圆心角的关系求弧的度数】 15 【题型5 利用弧、弦、圆心角的关系求面积】 18 【题型6 利用弧、弦、圆心角的关系求周长】 23 【题型7 利用弧、弦、圆心角的关系求线段比值】 27 【题型8 利用弧、弦、圆心角的关系进行证明】 32 【题型9 利用弧、弦、圆心角的关系判断线段或弧长间的关系】 38 【题型10 利用弧、弦、圆心角的关系求最值】 42 知识点：弧、弦、圆心角的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． 【题型1 由弧、弦、圆心角的关系判断结论正误】 【例1】（23-24九年级·山东威海·期末）如图，是的直径，点P是上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，对于如下结论：①的值为定值；②的度数为定值；③的度数始终等于度数的2倍；④若，则．正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查主要考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理等知识，熟记圆中有关观念时解本题的关键．根据圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系解决问题即可． 【详解】解：①由题可得：当点P从点A运动到的中点时，的值在增大，当点P从的中点运动到点B时，的值在减小， 故①错误； ②时直径， ， 的度数为定值， ②正确； ③， ， ， 的度数始终等于度数的2倍， ③正确； ④如图，取的中点，连接，，，则， ， ， ， ， ， ④错误； 正确的结论个数是2个， 故选：C 【变式1-1】（23-24九年级·江苏镇江·阶段练习）下列说法正确的个数有（    ） ①半圆是弧； ②面积相等的两个圆是等圆； ③所对的弦长相等的两条弧是等弧； ④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等； ⑤等弧所对的圆心角相等； ⑥平分弦的直径，平分这条弦所对的弧. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据半圆的定义判断①；根据圆的面积公式和等圆的定义判断②；根据圆心角、弧、弦的关系判断③④⑤；根据垂径定理的推论判断⑥． 【详解】解：半圆是弧，故①正确； 面积相等的两个圆半径相等，因此是等圆，故②正确； 在同圆或等圆中，所对的弦长相等的两条劣弧是等弧，两条优弧是等弧，故③错误； 在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等，故④错误； 等弧所对的圆心角相等，故⑤正确； 平分弦（非直径）的直径，平分这条弦所对的弧，故⑥错误； 综上可知，正确的有①②⑤，共3个， 故选B． 【点睛】本题考查了与圆有关的概念，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理的推论等，解题的关键是熟记相关概念或性质． 【变式1-2】（23-24九年级·甘肃平凉·阶段练习）如图所示，在中，，那么（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和三角形的三边关系，在圆上截取，再根据“根据三角形的三边关系”可解，熟练掌握圆心角、弧、弦之间的关系和三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：如图， 在圆上截取， ∵， ∴， ∴， 根据三角形的三边关系知，， ∴， 故选：． 【变式1-3】（23-24九年级·山东临沂·期中）平分锐角，以为圆心以任意长为半径画，分别交，，于A，B，C三点，以C为圆心，以长为半径画弧与相交于异于B点的点D，连接，．下列结论错误的是（　　） A． B．若，则 C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意画好图形，如图，连接，，由角平分线的定义结合圆心角，弧，弦之间的关系，判断A；证明为等边三角形，可判断B；连接，证明，可判断C；连接，可得，可判断D ，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵平分锐角， ∴， ∴，故A不符合题意； ∵由作图可得， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴，故B不符合题意； 连接， ∵，， ∴， ∴，故C不符合题意； 连接， ∵，， ∴， ∴，故D符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，圆心角，弧，弦之间的关系，平行线的判定，两点之间线段最短，等边三角形的性质与判定，熟练的利用圆心角，弧，弦之间的关系进行转化是解本题的关键． 【题型2 利用弧、弦、圆心角的关系求线段长度】 【例2】（2024·湖北襄阳·二模）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则点O到弦AB的距离为（　　）    A．6 B．8 C．3 D．4 【答案】C 【分析】延长CO交⊙O于E，连接DE，过O作OF⊥DE于F，OH⊥CD于H，OG⊥AB于G，线段OG的长是点O到弦AB的距离，根据垂径定理求出DH＝HC＝3，DF＝EF，根据三角形的中位线求出DE＝2OH，根据勾股定理求出OH长，再根据勾股定理求出OF长即可． 【详解】解：延长CO交⊙O于E，连接DE，过O作OF⊥DE于F，OH⊥CD于H，OG⊥AB于G，线段OG的长是点O到弦AB的距离，    ∵∠COD和∠DOE互补，∠COD和∠AOB互补， ∴∠DOE＝∠AOB， ∴DE＝AB，OF＝OG， ∵OH⊥DC，CD＝6，OH过O， ∴DH＝HC＝DC＝3，∠OHD＝∠OHC＝90°， 由勾股定理得：OH＝＝＝4， ∵OC＝OE，DH＝HC，OH＝4， ∴DE＝2OH＝8， ∵OF⊥DE，OF过O， ∴DF＝EF＝DE＝4， 在Rt△DFO中，由勾股定理得：OF＝＝＝3， ∴OG＝OF＝3， 即点O到AB的距离是3， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，互补的定义，三角形的中位线，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 【变式2-1】（23-24九年级·四川南充·期末）如图，在中，圆心角是的中点，作，与交于，则图中与相等的线段有 条． 【答案】3 【分析】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质与判定；连接，，根据圆心角、弧的关系求出，根据圆周角定理求出，根据直角三角形的性质求出，再根据等边三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ，是的中点， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， 是等边三角形， ， ， 图中与相等的线段有条， 故答案为：． 【变式2-2】（2024·安徽滁州·一模）如图，是⊙O的直径，点C为圆上一点，，D是弧的中点，与交于点E．若E是的中点，则的长为（　　）    A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】 连接交于F，由垂径定理得，，可证，接着证明得到，计算得，然后设，则，，最后利用勾股定理计算得到BC的长． 【详解】 解：连接交于F，如图， D是弧的中点， ， ， 是直径， ， ， ， E是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得， 即， 故选：C．    【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，也考查了垂径定理． 【变式2-3】（23-24九年级·福建厦门·期中）如图，是直径，是弦，点E在弦上．D是的中点，，，若四边形为平行四边形，则的半径是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等弧对等弦，得到，得到三角形为等腰三角形，圆周角定理得到，平行四边形的性质，得到，三线合一得到点为的中点，连接，中位线定理，得到，垂径定理得到，进而得到三点共线，即可得出的半径． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则：点为的中点， 连接，则：，，    ∵， ∴三点共线， ∴；即的半径是． 故选B． 【点睛】本题考查弧，弦，角之间的关系，圆周角定理，平行四边形的性质，三角形的中位线定理，垂径定理．解题的关键是证明点为的中点． 【题型3 利用弧、弦、圆心角的关系求角度】 【例3】（23-24九年级·广西百色·期末）如图，是的直径，C是弧的中点，点D在弧上，的延长线交于点E，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由是的直径，则可得，已知C是弧的中点，则，根据圆周角定理可知，故，根据 即可解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵C是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理以及圆心角、弦、弧之间的关系定理，熟记定理并灵活运用是解题的关键．在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性． 【变式3-1】（23-24九年级·辽宁鞍山·期末）如图，点A，B，C，D在上，，点B是弧的中点，则的度数是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同弧或等弧所对的圆心角相等，圆周角定理．熟练掌握同弧或等弧所对的圆心角相等，圆周角定理是解题的关键． 如图，连接，则，，由圆周角定理可得，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点B是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式3-2】（2024·山东烟台·一模）如图，以的半径为半径，自上的A点起，在圆上依次画弧截取点B，C，D，E，F．正方形EFGH的中心为，连接FA，，则 ． 【答案】75°/75度 【分析】连接OA，OF，OE，根据等边三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦关系，求得∠AFE=120°，再根据正方形的性质求得∠O1FE=45°，计算角的差即可解答； 【详解】解：如图，连接OA，OF，OE， ∵FE=OF=OE，∴△OFE是等边三角形，∴∠OFE=60°，∴弧FE=60°， 由圆心角、弧、弦关系可得弧FE=弧ED=弧DC=弧CB=弧BA=60°， ∴弧AF=360°-60°×5=60°，∴∠AOF=60°， ∵OA=OF，∴△OAF是等边三角形，∴∠AFO=60°， ∴∠AFE=∠AFO+∠OFE=120°， ∵O1是正方形的中心，∴∠O1FE=45°， ∴∠AFO1=∠AFE-∠O1FE=75°， 故答案为：75°； 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；等边三角形的判定和性质；正方形的性质；掌握相关性质是解题关键． 【变式3-3】（23-24九年级·浙江·期中）如图，在中，，截三边所得的弦长，则 度． 【答案】125 【分析】过点O作OM⊥DE于M，OK⊥FG于K，OP⊥HI于P，如图，由于=，利用弦、圆心角和对应的弦心距的关系得到OM=OK=OP，则可判断OA平分∠BAC，OC平分∠ACB，然后根据角平分线的定义和三角形内角和求解． 【详解】解：过点O作OM⊥DE于M，OK⊥FG于K，OP⊥HI于P，如图， ∵ ∴OM=OK=OP， ∴OA平分∠BAC，OC平分∠ACB， ∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠ACB）=（180°∠B）=90° ， ∴∠AOC=180°（∠OAC+∠OCA） =180° =125°． 故答案为：125． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了弦、弧、圆心角和弦心距的关系． 【题型4 利用弧、弦、圆心角的关系求弧的度数】 【例4】（23-24九年级·江苏泰州·阶段练习）如图，已知是的两条直径，且，过点作交于点，则弧的度数为 ．    【答案】/80度 【分析】本题考查平行线的性质，圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理等知识点， 连接，根据平行线的性质求出，根据圆周角定理求出，再求出的度数，即可求出本题答案． 【详解】解：连接，    ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴的度数是， ∵是的两条直径， ∴的度数是， ∴的度数是， 故答案为：． 【变式4-1】（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，已知是的直径， ，，那么弧度数等于 ． 【答案】/54度 【分析】本题主要考了圆心角、弧、弦的关系．注意掌握数形结合思想的应用． 根据圆心角与弧的关系可求得的度数，从而即可求解． 【详解】∵ ∴， ∴， ∴， ∴弧度数等于． 故答案为：． 【变式4-2】（23-24九年级·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，交于点，求弧DE的度数． 【答案】 【分析】连接，如图，先根据等腰三角形的性质和三角形内角计算出，再利用得到，然后根据三角形外角性质计算出，从而得到弧的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴弧的度数为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆心角、弧、弦的关系：圆心角的度数等于它所弧的度数，掌握以上知识是解题的关键． 【变式4-3】（23-24九年级·浙江杭州·期中）如图，点A．B．C在⊙O上，．弧AB的度数为 ． 【答案】 【分析】在⊙O中，和对着同一条弧，根据圆周角定理，可得出的度数，再根据弧与圆心角的关系即可得到答案． 【详解】解：在⊙O中，和对着同一条弧， 又， ， 因为弧的度数和它所对的圆心角的度数相等， 所以的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧与圆心角的关系知识点，找出同弧所对的圆周角及圆心角是解题的关键． 【题型5 利用弧、弦、圆心角的关系求面积】 【例5】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，已知圆内接四边形中，对角线是的直径，，是的中点，则的面积是 ．    【答案】4 【分析】四边形ABCD是梯形，连接OB，则OBCD是菱形，即可求得AD的长，而△AED是等腰直角三角形，就可求得△ADE的面积． 【详解】解：连接EO，BO，CO ∵AB=BC=CD=2， ∴∠AOB=180÷3=60°， ∴△AOB是等边三角形， 那么OA=AB=2，那么AD=2OA=4． ∵E是的中点， ∴AE=DE， ∴EO⊥AD， ∵EO=2， ∴△ADE的面积=×4×2=4．    故答案为4 【点睛】本题用到的知识点为：弦相等，那么所对的圆心角也相等． 【变式5-1】（23-24九年级·河南濮阳·期中）如图，点，，，都在上，圆的半径为，且，，则该（        ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、 弧、 弦之间的关系，勾股定理．连接, 求出，求出是圆的直径，根据勾股定理求出，根据计算是解题的关键． 【详解】解：连接,    ， ，， ， 即是圆的直径， ， ∵圆的半径为， ， ， 由勾股定理得： ， ∴， 故选:A． 【变式5-2】（2024·湖北鄂州·一模）如图，以等边的一边为直径的半圆交于点，交于点，若，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，，可得，，都是等边三角形，从而得弓形的面积弓形的面积，进而得阴影部分的面积的面积，进而即可求解． 【详解】连接，，， 是等边三角形， ，， ， ，，，都是等边三角形， ， 弓形的面积弓形的面积， 阴影部分的面积的面积， ， 是等边三角形，边长为， 过点作于点，则， ， 的面积 ， 阴影部分的面积 ． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，弧与圆心角的关系，圆的对称性，得出阴影部分的面积等于的面积是解题的关键． 【变式5-3】（2024·湖北宜昌·二模）已知：是的直径，C为上一点，将绕着点B逆时针旋转一定的角度得到，交于E点，若点D在上，连接交于点F． (1)直接判断与的位置关系； (2)求证：； (3)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了圆周角的性质和垂径定理，解题关键是根据旋转得出所在的圆与是等圆，再根据圆的相关性质推理即可． （1）根据弧相等所对的弦也相等得出，进而得出点B是中点，得出； （2）根据圆周角相等，得出，，再根据垂直可证； （3）由（2）可证弓形和弓形的面积相等，阴影部分的面积就是三角形的面积，利用，求解即可． 【详解】（1）解： 将绕着点B逆时针旋转一定的角度得到，交于E点，所以所在的圆与是等圆，连接 ∴， ∴点B是中点， ∵是的直径， ∴； （2）证明：连接， ∵，所在的圆与是等圆， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（2）得，，所在的圆与是等圆， 所以弓形和弓形的面积相等，阴影部分的面积就是三角形的面积， 连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， 所以三角形的面积=， 阴影面积为： 【题型6 利用弧、弦、圆心角的关系求周长】 【例6】（23-24九年级·全国·课后作业）如图所示，是半径为3的上的两点．若是的中点，则四边形的周长为 ．    【答案】12 【分析】通过等弧所对的圆心角相等和，得到和都是等边三角形，再求出四边形的周长． 【详解】解：连接，    ∵C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴四边形的周长等于为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是等弧所对的圆心角相等；等边三角形的判定和性质，熟练的运用等弧所对的圆心角相等是解本题的关键． 【变式6-1】（23-24九年级·吉林·阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4 cm，则⊙O的周长为 ． 【答案】8cm 【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD是等边三角形，则⊙O的半径长为DA=4cm；然后由圆的周长公式进行计算． 【详解】解：如图，连接OD、OC． ∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm， ∴， ∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°． 又OA=OD， ∴△AOD是等边三角形， ∴OA=AD=4cm， ∴⊙O的周长=2×4π=8π（cm）． 故答案为：8πcm． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定．该题利用“有一内角是60度的等腰三角形为等边三角形”证得△AOD是等边三角形． 【变式6-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图的弦，且于，连接，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接AB、OA、OD，然后由弦与弧的关系，求出，得到，再根据勾股定理求出半径，即可得到答案． 【详解】解：连接AB、OA、OD，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在直角△AOD中，设OA=OD=R， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴圆的周长为：； 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题． 【变式6-3】（2024·河北·中考真题）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是(    )    A． B． C． D．a，b大小无法比较 【答案】A 【分析】连接，依题意得，，的周长为，四边形的周长为，故，根据的三边关系即可得解． 【详解】连接，    ∵点是的八等分点，即 ∴， ∴ 又∵的周长为， 四边形的周长为， ∴ 在中有 ∴ 故选A． 【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的关键． 【题型7 利用弧、弦、圆心角的关系求线段比值】 【例7】（23-24九年级·江苏无锡·期末）如图， 将上的沿弦翻折交半径于点D， 再将沿 翻折交于点E， 连接. 若， 则 的值 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理及弧，弦，圆心角之间的关系，勾股定理．连接、、，作于F，设，则，，，先利用折叠的性质和圆周角定理得到 ，再利用弧、弦、圆心角的关系得到，然后利用勾股定理计算出，接着再计算出即可． 【详解】解：连接、、，作于F，如图所示， 设，则，， ∴， ∵上的沿弦翻折交半径于点D，再将沿 翻折交于点E， ∴为等圆中的弧， ∵它们所对的圆周角为， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ， ∴． 故答案为：． 【变式7-1】（23-24九年级·江苏盐城·期中）如图，在中，点C是劣弧的中点，点P在劣弧上，且，于H，当，则 ． 【答案】 【分析】在上截取，连接，可以证明，得到，由，得到，由圆周角定理得到，因此，得到，即可求解． 【详解】在上截取，连接， ∵C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，关键是通过作辅助线构造全等三角形． 【变式7-2】（23-24九年级·江苏泰州·阶段练习）如图，、、、依次为一直线上个点，，为等腰直角三角形，且，过点、、，且弧的度数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，弧与圆心角的关系，矩形的性质，勾股定理，正确作辅助线是解题关键；连接，延长交分别为，得到是等腰直角三角形，则四边形是矩形，是等腰直角三角形，设，则，进而表示出，根据勾股定理建立关系式，整理得出，即可求解． 【详解】如图所示，连接，延长交分别为， ∵，为等腰直角三角形 ∴， ∵弧的度数， ∴是等腰直角三角形， 则四边形是矩形，是等腰直角三角形， 设，则， ∴， 在中， ∴ 即 整理得， ∴ 故答案为：． 【变式7-3】（23-24九年级·江苏泰州·期中）如图，等边内接于，D为边上一动点（不与A、C重合），连接并延长交边于E，将沿翻折为，边交于点，若的周长记为，的周长记为，则的值为 ．    【答案】 【分析】此题考查了折叠的性质，圆周定理，等边三角形的性质，连接，，延长交于点，连接，由折叠性质可知：，则，从而有，通过弧度和差可得，所以，再由周长即可求解．在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角、弦相等，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 【详解】如图，连接，，延长交于点，连接，    由折叠性质可知：， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴的周长， 的周长， ∴， 故答案为：． 【题型8 利用弧、弦、圆心角的关系进行证明】 【例8】（23-24九年级·湖南株洲·期中）（1）如图①，过上一点作两条弦、，若，则平分，为什么？ （2）如图②，若点在内，过点的两条弦，相等，则平分吗？为什么？ （3）如图③，若点在外，过点作、，分别交于点，和，，且，则平分吗？为什么？ 【答案】（1）见解析；（2）平分，理由见解析；（3）平分，理由见解析． 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理． （1）如图①，作直径，根据圆心角、弧、弦的关系，由得到，所以，则根据圆周角定理得； （2）作于，于，连接、，如图②，根据垂径定理得到，，由于，则，根据勾股定理得，，所以，然后根据角平分线的性质定理的逆定理得到平分； （3）与（2）的解题方法一样可得到平分． 【详解】解：（1）平分， 如图，作直径， ， ， ， ， 平分； （2）平分．理由如下： 作于，于，连接、，如图， 则，， ， ， 而，， ， 平分； （3）平分．理由如下： 作于，于，连接、，如图， 则，，同理（2）可得， 平分． 【变式8-1】（2024九年级·江苏·专题练习）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，进而可得； （2）因为所以，即结合，得出E、O都在的垂直平分线上，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴， 即． ∴． （2）证明：连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴E、O都在的垂直平分线上． ∴ 【变式8-2】（2024·安徽马鞍山·一模）如图，四边形是的内接四边形，直径平分． (1)求证：； (2)过点A向圆外作，且，求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是圆的相关性质--圆周角定理推论、同圆中弧弦间的关系，平行四边形的判定， （1）先证明及，证出即可证出结论； （2）先证明，再证明即可证出结论． 【详解】（1）证明：为直径， ， 直径平分， ， ， ， ， ； （2）证明： 四边形为平行四边形． 【变式8-3】（2024·上海·模拟预测）如图，以为直径的圆O中，点O为圆心，C为弧的中点，过点C作且．连接，分别交，于点E，F，与圆O交于点G，连接． (1)求证：； (2)连接，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，根据为半圆的中点可得，根据矩形的判定可得平行四边形为矩形，即可证明； （2）连接，，交于，结合（1）易知四边形为正方形，可证，得，再证垂直平分，进而证明，再根据角度之间的互余关系可得，即可则证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵为半圆的中点， ∴，即， ∴平行四边形为矩形． ∴， ∴． （2）证明：连接，，交于， 由（1）可知平行四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆的基本性质，矩形、正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 【题型9 利用弧、弦、圆心角的关系判断线段或弧长间的关系】 【例9】（2024•铁岭模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，则与的关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【分析】连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，根据折叠的性质得到ODOE，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据三角形的中位线的性质得到ODBC，求得∠COB＝60°，得到∠AOC＝120°，于是得到结论． 【解答】解：如图，连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E， ∵把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O， ∴ODOE， ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴OD∥BC， ∵OA＝OB， ∴ODBC， ∴BC＝OE＝OB＝OC， ∴∠COB＝60°， ∴∠AOC＝120°， ∴， 故选：A． 【变式9-1】（23-24九年级·全国·单元测试）从圆内一点引两条弦与，则与、度数间的关系是 ． 【答案】（的度数 的度数） 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的转化，圆周角的度数等于它所对的弧的度数．连，根据三角形外角性质得到，而的度数，的度数，由此得到与、度数间的关系． 【详解】解：如图，连， ， 又的度数，的度数， （的度数 的度数）． 【变式9-2】（23-24九年级·全国·单元测试）如图,圆上有A,B,C,D四点,圆内有E,F两点且点E,F在BC上.若四边形AEFD为正方形,则下列弧长关系中,正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图知，BC＞AD，根据大弦对大弧知， ． 【详解】A、因为四边形AEFD为正方形，所以AD＝AE，则其所对的弧相等，因为AB＞AE，所以，故A项不正确； B、因为四边形AEFD为正方形，所以AD＝AE，因为AB＞AE，所以AB＞AD，则可得 ，故B项不正确； C、弦AB＜AE＋BE（三角形两边之和大于第三边），弦BC＝EF＋BE＋FC＞EF＋BE＝AE＋BE＞弦AB，所以，故C项正确； D、由图可看出其不相等，故D项错误． 故答案选：C． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，利用了在同圆或等圆中大弦对大弧求解,熟练掌握关系是解题的关键. 【变式9-3】（2024·江苏扬州·二模）将一张正方形的透明纸片ABCD和按如图位置叠放，顶点A、D在上，边AB、BC、CD分别与相交于点E、F、G、H，则下列弧长关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据弦与弧的关系，只要比较弦长即可比较弧长的大小即可求解． 【详解】如图，连接，过点作，交于，交于，则， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， A. ， ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，，故该选项不正确，不符合题意； C. ， ，故该选项正确，符合题意； D.， ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C. 【点睛】本题考查了弦与弧的关系，掌握同圆或等圆中，等弦对等弧是解题的关键． 【题型10 利用弧、弦、圆心角的关系求最值】 【例10】（23-24九年级·陕西咸阳·期末）如图，是半圆O的直径，半圆的半径为4，点C，D在半圆上，，点P是上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】依题意，作点关于的对称点为，连接，长即为最小值；过点作，构造和进行对应线段求解； 【详解】作点关于的对称点为，连接，；过点作； 由题知，，，∴，可得对应的圆心角； 又点关于的对称点为， ∴，，∴长为的最小值 在中，，∴，； 在中，，，∴； 故填：； 【点睛】本题综合性考查圆的对称性及“将军饮马问题”的求解，关键在于熟练使用辅助线进行对应的直角三角形构造进行计算. 【变式10-1】（23-24九年级·全国·课后作业）如图1为某酒店的圆形旋转门，可看成如图2由外围的和3翼隔风玻璃组成，外围圆有通道和，且它们关于圆心中心对称，圆内的3翼隔风玻璃可绕圆心转动，且所成的夹角，3翼隔风玻璃在转动过程中，始终使大厅内外空气隔离，起到对大厅内保温作用．例如：当隔风玻璃转到如图2位置时，大厅内外空气被隔风玻璃，隔离．则通道所对圆心角的度数的最大值为（　　）    A．30° B．60° C．90° D．120° 【答案】B 【分析】由题意得可得与的最大值的和为，结合和关于圆心中心对称即可求解． 【详解】解：∵ ∴与的最小值为 ∴与的最大值的和为 ∵和关于圆心中心对称 ∴ ∴，最大值为 故选：B 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．得出与的最大值的和为是解题关键． 【变式10-2】（23-24九年级·浙江杭州·期末）如图，AB是O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是O上一个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】取OA的中点Q，连接DQ，OD，CQ，根据条件可求得CQ长，再由垂径定理得出OD⊥AP，由直角三角形斜边中线等于斜边一半求得QD长，根据当C,Q,D三点共线时，CD长最大求解. 【详解】解：如图，取AO的中点Q,连接CQ，QD，OD， ∵C为的三等分点， ∴的度数为60°， ∴∠AOC=60°, ∵OA=OC, ∴△AOC为等边三角形， ∵Q为OA的中点， ∴CQ⊥OA，∠OCQ=30°, ∴OQ= , 由勾股定理可得，CQ= , ∵D为AP的中点, ∴OD⊥AP， ∵Q为OA的中点， ∴DQ= , ∴当D点CQ的延长线上时，即点C,Q,D三点共线时，CD长最大，最大值为 . 故选D    【点睛】本题考查利用弧与圆心角的关系及垂径定理求相关线段的长度，并且考查线段最大值问题，利用圆的综合性质是解答此题的关键. 【变式10-3】（23-24九年级·山东青岛·期末）如图，是的直径，，点M在上，，N是弧的中点，P是直径上的一动点．若，则周长的最小值为 ．    【答案】 【分析】作点N关于的对称点，则点在上，连接交于P，此时的值最小，最小值为的长，连接，，，求出，证明是正三角形，可得，然后可得答案． 【详解】解：如图，作点N关于的对称点，则点在上，连接交于P，此时的值最小，最小值为的长，连接，，，    ∵N是弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是正三角形， ∴， 又∵， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，利用轴对称求最短路径，等边三角形的判定和性质，作出辅助线，确定出取最小值时点P的位置是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$