第十章第一节两个计数原理与排列组合　讲义——2025届高三数学一轮复习

新高考数学一轮复习 第十章 　排列、组合与二项式定理、概率 　第一节　两个计数原理与排列组合 一、课标要求 1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义． 2.通过实例，理解排列、组合的概念． 3.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式． 4.能利用排列与组合的知识解决简单的实际问题． 二、 命题规律及备考策略 从近几年的高考命题情况来看，本讲主要考查两个基本计数原理及排列与组合的综合应用，有时单独考查，一般以小题的形式呈现，但更多地与概率知识相结合考查． 三、知识梳理 1．两个计数原理 (1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． (2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 2．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 组合 作为一组 3.排列数与组合数 (1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，用符号A表示． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，用符号C表示． 4．排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n，m∈N*，且m≤n)． (2)C＝＝(n，m∈N*，且m≤n) 性质 (1)0！＝1；A＝n！. (2)C＝1；C＝C；C＝C＋C 常用结论 1．排列数、组合数常用公式 (1)A＝(n－m＋1)A. (2)A＝nA. (3)(n＋1)！－n！＝n·n！. (4)kC＝nC. (5)C＋C＋…＋C＋C＝C. 2．解决排列、组合问题的十种技巧 (1)特殊元素优先安排． (2)合理分类与准确分步． (3)排列、组合混合问题要先选后排． (4)相邻问题捆绑处理． (5)不相邻问题插空处理． (6)定序问题倍缩法处理． (7)分排问题直排处理． (8)“小集团”排列问题先整体后局部． (9)构造模型． (10)正难则反，等价转化． 四、课堂考点突破 考点一　分类加法计数原理 [例1]　（2024·江苏扬州模拟）某人从一层上到二层需跨10级台阶，他一步可能跨1级台阶，称为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步，从一层上到二层他总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶，则他从一层到二层可能的不同走法共有（　　） A.10种　　　　　　B.9种 C.8种　　 　　　　D.12种 [答案]　A [解析]　按题意要求，不难验证这6步中不可能没有三阶步，也不可能有多于1个的三阶步. 因此，只能是1个三阶步，2个二阶步，3个一阶步. 为形象起见，以白、黑、红三种颜色的球来记录从一层到二层跨越10级台阶的过程： 白球表示一阶步，黑球表示二阶步，红球表示三阶步， 每一过程可表为3个白球、2个黑球、1个红球的一种同色球不相邻的排列. 下面分三种情形讨论. （1）第1、第6球均为白球，则两黑球必分别位于中间白球的两侧， 此时，共有4个黑白球之间的空位放置红球，所以此种情况共有4种可能的不同排列； （2）第1球不是白球. （ⅰ）第1球为红球，则余下5球只有一种可能的排列； （ⅱ）若第1球为黑球，则余下5球因红、黑球的位置不同有两种不同的排列，此种情形共有3种不同排列； （3）第6球不是白球，同（2），共有3种不同排列. 总之，按题意要求从一层到二层共有4＋3＋3＝10种可能的不同过程. 变式训练 1.如图，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能取其中一堆最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是（　　） A.6　　　　　　　B.10 C.12　　　 　　　D.24 答案：B 解析：将题图中左边的集装箱从上往下分别记为1，2，3，右边的集装箱从上往下分别记为4，5.分两种情况讨论：若先取1，则有12345，12453，12435，14523，14235，14253，共6种取法；若先取4，则有45123，41235，41523，41253，共4种取法，故共有6＋4＝10种取法. 考点二　分步乘法计数原理 [例2]　（2024·江苏镇江模拟）某公园有如图所示A至H共8个座位，现有2个男孩2个女孩要坐下休息，要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列，则不同的坐法总数为（　　） A B C D E F G H A.168　　　　　　B.336 C.338　　　　　　D.84 [答案]　B [解析]　第一步：排男生，第一个男生在第一行选一个位置有四个位置可选，第二个男生在第二行有三个位置可选，由于两名男生可以互换，故男生的排法有4×3×2＝24（种）， 第二步：排女生，若男生选AF，则女生有BE，BG，BH，CE，CH，DE，DG共7种选择，由于女生可以互换，故女生的排法有2×7＝14（种）， 根据分步计数原理，共有24×14＝336（种）. 变式训练 2.（2024·河北石家庄模拟）教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（　　） A.10种　　　　　　B.25种 C.52种　　　　　　D.24种 答案：D 解析：每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步. 由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法. 考点三　两个基本计数原理的综合应用 [例3]　如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形 有　　　　个.（用数字作答） [答案]　40 [解析]　把与正八边形有公共边的三角形分为两类： 第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32（个）. 第二类，有两条公共边的三角形共有8个. 由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40（个）. 变式训练 3.如图，用6种不同的颜色分别给图中A，B，C，D四块区域涂色.若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（　　） A.400种　　　　　B.460种 C.480种　　　　　D.496种 答案：C 解析：完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色.当使用4种颜色时：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D有3种，完成此事共有6×5×4×3＝360种方法；当使用3种颜色时：A，D使用同一种颜色，从A，D开始，有6种方法，B有5种，C有4种，完成此事共有6×5×4＝120种方法.由分类加法计数原理可知不同的涂法有360＋120＝480（种）. 考点一　排列问题 [例1]　（1）（2024·江苏南通模拟）某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（　　） A.120种　　B.240种 C.360种　　D.480种 （2）（2024·江苏扬州模拟）为了强化学校的体育教育教学工作，提高学生身体素质，加强学生之间的沟通，凝聚班级集体的力量，激发学生热爱体育的热情.某中学举办田径运动会，某班从甲、乙等6名学生中选4名学生代表班级参加学校4×100米接力赛，其中甲只能跑第1棒或第2棒，乙只能跑第2棒或第4棒，那么甲、乙都参加的不同棒次安排方案总数为（　　） A.48　　　　B.36　　　　C.24　　　　D.12 [答案]　（1）A　（2）B [解析]　（1）将两个1捆绑在一起，则可以设置的不同数字密码有＝120（种）. （2）当甲排第1棒时，乙可排第2棒或第4棒，共有＝24（种）； 当甲排第2棒时，乙只能排第4棒，共有＝12（种）. 故甲、乙都参加的不同棒次安排方案总数为24＋12＝36（种）. 变式训练 1.4个男生，3个女生站成一排. （1）3个女生必须排在一起，有多少种不同的排法？ （2）任何两个女生彼此不相邻，有多少种不同的排法？ （3）甲、乙二人之间恰好有三个人，有多少种不同的排法？ 解：（1）先排3个女生作为一个元素与其余的4个元素做全排列有＝720（种）. （2）男生排好后，5个空再插女生有＝1 440（种）. （3）甲、乙先排好后，再从其余的5人中选出3人排在甲、乙之间，把排好的5个元素与最后的2个元素全排列，分步有＝720（种）. 考点二　组合问题 [例2]　（1）如图，湖面上有4个小岛A，B，C，D，现要建3座桥梁，将这4个小岛联通起来，则所有不同的建桥方案种数为（　　） A.6　　 B.16 C.18　　D.20 （2）某教学楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，某同学从二楼到三楼准备用7步走完，则第二步走两级台阶的概率为（　　） A.　　B. C.　　D. [答案]　（1）B　（2）C [解析]　（1）由题意可知，四个小岛两两相连，共有AB，AC，AD，BC，BD，CD 6座桥梁，从中任选3座桥梁共有＝20种， 其中选择{AB，AC，AD}、{AB，BC，BD}、{AC，BC，CD}、{AD，BD，CD}四种不行， 因此，共有20－4＝16种不同的方案. （2）10级台阶要用7步走完，则4步是上一级，三步是上两级， 共＝＝35种走法， 若第二步走两级台阶，则其余6步中有两步是上两级， 共＝＝15种走法， 所以第二步走两级台阶的概率为＝. 变式训练 2.某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. （1）其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ （2）其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ （3）恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？ （4）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？ （5）至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？ 解：（1）从余下的34种商品中， 选取2种有＝561种取法， 所以某一种假货必须在内的不同取法有561种. （2）从34种可选商品中，选取3种，有种或者－＝＝5 984种取法. 所以某一种假货不能在内的不同取法有5 984种. （3）从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有＝2 100种取法. 所以恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种. （4）选取2种假货有种，选取3种假货有种，共有选取方式＋＝2 100＋455＝2 555（种）. 所以至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种. （5）法一（间接法）：选取3种的总数为，因此共有选取方式－＝6 545－455＝6 090（种）. 所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种. 法二（直接法）：共有选取方式＋＋＝6 090（种）. 所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种. 考点三　排列与组合的综合问题 题型一　相邻、相间问题 [例3]　3名女生和2名男生站成一排照相，若每名男生至少与1名女生相邻，则共有　　　　种站法. [答案]　96 [解析]　由题意排除两名男生相邻且排在两端即得结果，排法数为－2＝96. 题型二　定序问题 [例4]　有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列（不一定相邻），不同的排法共有　　　　　种. [答案]　840 [解析]　7名学生的排列共有种，其中女生的排列共有种，按照从左到右，女生从矮到高的排列只是其中的一种，故有＝＝840种不同的排法. 题型三　分组、分配问题 [例5]六名教师随机分配到三所学校任教，每个学校分配两名教师，则甲、乙被分配到同一所学校的概率为（　　） A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. [答案]　A [解析]　六名教师随机分配到三所学校任教，每个学校分配两名教师有×＝90种分配方法， 甲、乙被分配到同一所学校有×＝18种分配方法， 则甲、乙被分配到同一所学校的概率为＝. 变式训练 3.（多选）有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，正确的是（　　） A.全体站成一排，女生必须站在一起有144种排法 B.全体站成一排，男生互不相邻有1 440种排法 C.任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种 D.全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3 720种排法 答案：BCD 解析：对于A，将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，有种排法， 再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列，有种排法， 故共有·＝576种排法，故A错误； 对于B，先排女生，将4名女生全排列，有种排法， 再安排男生，由于男生互不相邻，可以在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有种排法， 故共有·＝1 440种排法，故B正确； 对于C，任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有×2×1＝70（种），故C正确； 对于D，若甲站在排尾，则有种排法，若甲不站在排尾，则有种排法， 故共有＋＝3 720种排法，故D正确. 4.（多选）已知A，B，C，D，E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（　　） A.若A，B不相邻，共有72种排法 B.若A不站在最左边，B不站在最右边，有72种排法 C.若A在B右边有60种排法 D.若A，B两人站在一起有48种排法 答案：ACD 解析：对于A，若A，B不相邻，共有＝72（种）排法，故A正确； 对于B，若A不站在最左边，B不站在最右边，利用间接法有－2＋＝78种排法，故B错误； 对于C，若A在B右边有＝60种排法，故C正确； 对于D，若A，B两人站在一起有＝48种排法，故D正确. 5.某学校有6个数学兴趣小组，每个小组都配备1位指导老师，现根据工作需要，学校准备将其中4位指导老师由原来的小组均相应的调整到其他兴趣小组，其余的2位指导老师仍在原来的兴趣小组（不作调整），如果调整后每个兴趣小组仍配备1位指导老师，则不同的调整方案为（　　） A.135种　　B.360种 C.90种　　 D.270种 答案：A 解析：根据题意，6个数学兴趣小组有位指导老师仍在原来的兴趣小组，则不做调整的两个小组有＝15种情况， 其余的4个小组的指导老师由原来的小组均相应地调整到其他数学兴趣小组， 假设4个小组为1，2，3，4，对应的4位指导老师依次为A，B，C，D， A不能在第1小组，有3种情况，假设A分到第2小组，则B有3种情况，剩下的两人有1种情况， 则其余的4个小组有3×3＝9种调整方案， 故有15×9＝135种调整方案. 五、课后作业 一、单项选择题 1．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数的个数是(　　) A．30 B．42 C．36 D．35 答案　C 解析　因为a＋bi为虚数， 所以b≠0，即b有6种取法，a有6种取法， 由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36(个)虚数． 2．为了支援山区教育，现在安排5名大学生到3个学校进行支教活动，每个学校至少安排1人，其中甲校至少要安排2名大学生，则不同的安排方法共有(　　) A．50种 B．60种 C．80种 D．100种 答案　C 解析　若甲校安排2名大学生，此时有CCA＝60(种)安排方法； 若甲校安排3名大学生，此时有CA＝20(种)安排方法． 综上所述，共有80种安排方法． 3．如图，在两行三列的网格中放入标有数字1,2,3,4,5,6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有(　　) A.96种 B．64种 C．32种 D．16种 答案　B 解析　根据题意，分3步进行，第一步，要求“只有中间一列两个数字之和为5”，则中间的数字只能为两组数1,4或2,3中的一组，共有2A＝4(种)排法； 第二步，排第一步中剩余的一组数，共有AA＝8(种)排法； 第三步，排数字5和6，共有A＝2(种)排法，由分步乘法计数原理知，不同的排法种数为4×8×2＝64. 4．在数学中，有一个被称为自然常数(又叫欧拉数)的常数e≈2.718 28.小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数e的前6位数字2,7,1,8,2,8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2不相邻，两个8相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为(　　) A．36 B．48 C．72 D．120 答案　A 解析　如果排列时要求两个8相邻，两个2不相邻，两个8捆绑看作一个元素与7,1全排列，排好后有4个空位，两个2插入其中的2个空位中，注意到两个2、两个8均为相同元素，那么小明可以设置的不同的密码个数为AC＝36. 5．一辆七座(含司机)旅游客车载着6名游客前往某地游览，6名游客返程时恰有2名游客坐的是出发时的座位的方法数为(　　) A．135 B．150 C．165 D．180 答案　A 解析　恰好有两个人的位置没有发生变化，则从6个人中选两个人使位置没有发生变化，有C＝15(种)，剩下4个人均没有坐在出发时的位置上，设这四个人分别为A，B，C，D，设他们出发时坐的位置分别为a，b，c，d，返程时，若A从b，c，d三个位置中任选一个位置有3种选择，不妨假设A选择b，则此时B，C，D三个人需要安排到a，c，d的位置，共有，，3种安排方法，故总的安排方法数为15×3×3＝135. 6.在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是(　　) A．1 440 B．720 C．1 920 D．960 答案　C 解析　如图，设5个区域分别是A，B，C，D，E. 第一步：选择1种花卉种植在A区域，有6种方法可以选择； 第二步：从剩下的5种不同的花卉中选择1种种植在B区域，有5种方法可以选择； 第三步：从剩下的4种花卉中选择1种种植在C区域，有4种方法可以选择； 第四步：若区域D与区域A种植同1种花卉，则区域E可选择的花卉有4种； 若区域D与区域A种植不同种花卉，则区域D有3种花卉可以选择，区域E可选择的花卉有4种， 故不同的种植方法种数是6×5×4×(1×4＋3×4)＝1 920. 7．在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有A，B，C，D，E，F共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A，C，D成果按先后顺序汇报(不一定相邻)，那么不同的汇报安排种数为(　　) A．100 B．120 C．300 D．600 答案　A 解析　不考虑限制条件共有A种，B最先汇报共有A种，如果B不能最先汇报，而A，C，D按先后顺序汇报(不一定相邻)，则不同的汇报安排种数为＝100. 8．过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环．已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项．若这五项测试每天进行一项，连续5天完成，且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则不同的选拔测试安排方案有(　　) A．24种 B．36种 C．48种 D．60种 答案　B 解析　①若失重飞行安排在第一天，且前庭功能安排在第二天，则后面三天安排其他三项测试有A＝6(种)安排方法，此情况跟失重飞行安排在第五天，且前庭功能安排在第四天的安排方案种数相同； ②若失重飞行安排在第二天，则前庭功能有C种选择，超重耐力安排在第四、第五天有C种选择，剩下两种测试全排列为A，则有CCA＝8(种)安排方法，此情况与失重飞行安排在第四天的安排方案种数相同； ③若失重飞行安排在第三天，则前庭功能有C种选择，超重耐力在第一、第五天有C种选择，剩下两种测试全排列为A，则有CCA＝8(种)安排方法， 故选拔测试的安排方案有6×2＋8×2＋8＝36(种)． 二、多项选择题 9．现将8把椅子排成一排，4位同学随机就座，则下列说法中正确的是(　　) A．4个空位全都相邻的坐法有120种 B．4个空位中只有3个相邻的坐法有240种 C．4个空位均不相邻的坐法有120种 D．4个空位中至多有2个相邻的坐法有840种 答案　AC 解析　将四个空位当成一个整体，全部的坐法有A＝120(种)，故A对； 先排4个学生A，然后将三个相邻的空位当成一个整体，和另一个空位插入到由4个学生形成的5个空当中，有A种方法，所以一共有AA＝480(种)坐法，故B错； 先排4个学生A，4个空位是一样的，然后将4个空位插入到由4个学生形成的5个空当中，有C种方法，所以一共有AC＝120(种)坐法，故C对； 至多有2个相邻即都不相邻或者有两个相邻，由C可知都不相邻的坐法有120种， 空位两个两个相邻的有AC＝240(种)，空位只有两个相邻的有ACC＝720(种)， 所以一共有120＋240＋720＝1 080(种)坐法，故D错． 10．安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2023年成都大运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是(　　) A．若每人都安排一项工作，则不同的方法种数为45 B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法种数为AC C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则不同的方法种数为(CC＋CC)A D．若每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同的安排方法种数为CCA＋CA 答案　AD 解析　若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有45种安排方法，故A正确； 先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有CA种安排方法，故B错误； 先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有A种情况，则有A种安排方法，故C错误； ①从丙，丁，戊中选出1人开车，②从丙，丁，戊中选出2人开车，则有(CCA＋CA)种安排方法，故D正确． 三、填空题 11．甲、乙、丙、丁四个人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己所写的贺卡，共有________种不同的取法． 答案　9 解析　第一步：由甲取1张不是自己所写的那张贺卡，有3种取法； 第二步：由甲取出的那张贺卡的供卡人取，也有3种不同取法； 第三步：由剩余两人中任1个人取，此时只有1种取法； 第四步：最后1个人取，只有1种取法，根据分步乘法计数原理可得共有3×3×1×1＝9(种)取法． 12.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如，在十位档拨一颗上珠和一颗下珠，个位档拨一颗上珠，则表示数字65.若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗下珠，再随机选择两个档位各拨一颗上珠，则可能出现的数字个数为________，其中所拨数字小于600的有________个． 答案　24　7 解析　在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗下珠，再随机选择两个档位各拨一颗上珠， 所有的数有CC＝24(个)，其中小于600的有CC－C＝7(个)． 13．(2023·郑州质检)某数学兴趣小组的5名学生负责讲述“宋元数学四大家”——秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰的故事，每名学生只讲一个数学家的故事，每个数学家的故事都有学生讲述，则不同的分配方案有________种． 答案　240 解析　先把5名学生分成人数为2,1,1,1的四组，共有＝C＝10(种)分法，再将四组学生安排宋元数学四大家讲述，有A＝24(种)分法， 所以分配方案有10×24＝240(种)． 14．现有15个省三好学生名额分给1,2,3,4四个班级，其中1班至少有2个名额，2班、4班每班至少有3个名额，3班最多有2个名额，则共有________种不同分配方案． 答案　85 解析　由3班最多有2个名额，得3班有2个、1个或0个名额三种情况． (1)当3班有2个名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的8个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额． 相当于将8个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有C＝21(种)分法； (2)当3班有1个名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的9个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额． 相当于将9个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有C＝28(种)分法； (3)当3班没有分得名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的10个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额． 相当于将10个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有C＝36(种)分法， 所以一共有21＋28＋36＝85(种)不同的分配方案． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高考数学一轮复习 第十章 　排列、组合与二项式定理、概率 　第一节　两个计数原理与排列组合 一、课标要求 1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义． 2.通过实例，理解排列、组合的概念． 3.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式． 4.能利用排列与组合的知识解决简单的实际问题． 二、 命题规律及备考策略 从近几年的高考命题情况来看，本讲主要考查两个基本计数原理及排列与组合的综合应用，有时单独考查，一般以小题的形式呈现，但更多地与概率知识相结合考查． 三、知识梳理 1．两个计数原理 (1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． (2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 2．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 组合 作为一组 3.排列数与组合数 (1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，用符号A表示． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，用符号C表示． 4．排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n，m∈N*，且m≤n)． (2)C＝＝(n，m∈N*，且m≤n) 性质 (1)0！＝1；A＝n！. (2)C＝1；C＝C；C＝C＋C 常用结论 1．排列数、组合数常用公式 (1)A＝(n－m＋1)A. (2)A＝nA. (3)(n＋1)！－n！＝n·n！. (4)kC＝nC. (5)C＋C＋…＋C＋C＝C. 2．解决排列、组合问题的十种技巧 (1)特殊元素优先安排． (2)合理分类与准确分步． (3)排列、组合混合问题要先选后排． (4)相邻问题捆绑处理． (5)不相邻问题插空处理． (6)定序问题倍缩法处理． (7)分排问题直排处理． (8)“小集团”排列问题先整体后局部． (9)构造模型． (10)正难则反，等价转化． 四、课堂考点突破 考点一　分类加法计数原理 [例1]　（2024·江苏扬州模拟）某人从一层上到二层需跨10级台阶，他一步可能跨1级台阶，称为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步，从一层上到二层他总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶，则他从一层到二层可能的不同走法共有（　　） A.10种　　　　　　B.9种 C.8种　　 　　　　D.12种 变式训练 1.如图，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能取其中一堆最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是（　　） A.6　　　　　　　B.10 C.12　　　 　　　D.24 考点二　分步乘法计数原理 [例2]　（2024·江苏镇江模拟）某公园有如图所示A至H共8个座位，现有2个男孩2个女孩要坐下休息，要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列，则不同的坐法总数为（　　） A B C D E F G H A.168　　　　　　B.336 C.338　　　　　　D.84 变式训练 2.教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（　　） A.10种　　　　　　B.25种 C.52种　　　　　　D.24种 [例3]　如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形 有　　　　个.（用数字作答） 变式训练 3.如图，用6种不同的颜色分别给图中A，B，C，D四块区域涂色.若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（　　） A.400种　　　　　B.460种 C.480种　　　　　D.496种 考点一　排列问题 [例1]　（1）（2024·江苏南通模拟）某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（　　） A.120种　　B.240种 C.360种　　D.480种 （2）（2024·江苏扬州模拟）为了强化学校的体育教育教学工作，提高学生身体素质，加强学生之间的沟通，凝聚班级集体的力量，激发学生热爱体育的热情.某中学举办田径运动会，某班从甲、乙等6名学生中选4名学生代表班级参加学校4×100米接力赛，其中甲只能跑第1棒或第2棒，乙只能跑第2棒或第4棒，那么甲、乙都参加的不同棒次安排方案总数为（　　） A.48　　　　B.36　　　　C.24　　　　D.12 变式训练 1.4个男生，3个女生站成一排. （1）3个女生必须排在一起，有多少种不同的排法？ （2）任何两个女生彼此不相邻，有多少种不同的排法？ （3）甲、乙二人之间恰好有三个人，有多少种不同的排法？ 考点二　组合问题 [例2]　（1）如图，湖面上有4个小岛A，B，C，D，现要建3座桥梁，将这4个小岛联通起来，则所有不同的建桥方案种数为（　　） A.6　　 B.16 C.18　　D.20 （2）某教学楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，某同学从二楼到三楼准备用7步走完，则第二步走两级台阶的概率为（　　） A.　　B. C.　　D. 变式训练 2.某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. （1）其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ （2）其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ （3）恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？ （4）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？ （5）至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？ 考点三　排列与组合的综合问题 题型一　相邻、相间问题 [例3]　3名女生和2名男生站成一排照相，若每名男生至少与1名女生相邻，则共有　　　　种站法. 题型二　定序问题 [例4]　有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列（不一定相邻），不同的排法共有　　　　　种. 题型三　分组、分配问题 [例5]六名教师随机分配到三所学校任教，每个学校分配两名教师，则甲、乙被分配到同一所学校的概率为（　　） A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 变式训练 3.（多选）有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，正确的是（　　） A.全体站成一排，女生必须站在一起有144种排法 B.全体站成一排，男生互不相邻有1 440种排法 C.任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种 D.全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3 720种排法 4.（多选）已知A，B，C，D，E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（　　） A.若A，B不相邻，共有72种排法 B.若A不站在最左边，B不站在最右边，有72种排法 C.若A在B右边有60种排法 D.若A，B两人站在一起有48种排法 5.某学校有6个数学兴趣小组，每个小组都配备1位指导老师，现根据工作需要，学校准备将其中4位指导老师由原来的小组均相应的调整到其他兴趣小组，其余的2位指导老师仍在原来的兴趣小组（不作调整），如果调整后每个兴趣小组仍配备1位指导老师，则不同的调整方案为（　　） A.135种　　B.360种 C.90种　　 D.270种 五、课后作业 一、单项选择题 1．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数的个数是(　　) A．30 B．42 C．36 D．35 2．为了支援山区教育，现在安排5名大学生到3个学校进行支教活动，每个学校至少安排1人，其中甲校至少要安排2名大学生，则不同的安排方法共有(　　) A．50种 B．60种 C．80种 D．100种 3．如图，在两行三列的网格中放入标有数字1,2,3,4,5,6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有(　　) A.96种 B．64种 C．32种 D．16种 4．在数学中，有一个被称为自然常数(又叫欧拉数)的常数e≈2.718 28.小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数e的前6位数字2,7,1,8,2,8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2不相邻，两个8相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为(　　) A．36 B．48 C．72 D．120 5．一辆七座(含司机)旅游客车载着6名游客前往某地游览，6名游客返程时恰有2名游客坐的是出发时的座位的方法数为(　　) A．135 B．150 C．165 D．180 6.在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是(　　) A．1 440 B．720 C．1 920 D．960 7．在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有A，B，C，D，E，F共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A，C，D成果按先后顺序汇报(不一定相邻)，那么不同的汇报安排种数为(　　) A．100 B．120 C．300 D．600 8．过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环．已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项．若这五项测试每天进行一项，连续5天完成，且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则不同的选拔测试安排方案有(　　) A．24种 B．36种 C．48种 D．60种 二、多项选择题 9．现将8把椅子排成一排，4位同学随机就座，则下列说法中正确的是(　　) A．4个空位全都相邻的坐法有120种 B．4个空位中只有3个相邻的坐法有240种 C．4个空位均不相邻的坐法有120种 D．4个空位中至多有2个相邻的坐法有840种 10．安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2023年成都大运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是(　　) A．若每人都安排一项工作，则不同的方法种数为45 B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法种数为AC C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则不同的方法种数为(CC＋CC)A D．若每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同的安排方法种数为CCA＋CA 三、填空题 11．甲、乙、丙、丁四个人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己所写的贺卡，共有________种不同的取法． 12.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如，在十位档拨一颗上珠和一颗下珠，个位档拨一颗上珠，则表示数字65.若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗下珠，再随机选择两个档位各拨一颗上珠，则可能出现的数字个数为________，其中所拨数字小于600的有________个． 13．(2023·郑州质检)某数学兴趣小组的5名学生负责讲述“宋元数学四大家”——秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰的故事，每名学生只讲一个数学家的故事，每个数学家的故事都有学生讲述，则不同的分配方案有________种． 14．现有15个省三好学生名额分给1,2,3,4四个班级，其中1班至少有2个名额，2班、4班每班至少有3个名额，3班最多有2个名额，则共有________种不同分配方案． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$