专题5.2 二元一次方程组中的含参问题（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题5.2 二元一次方程组中的含参问题 · 典例分析 【典例1】阅读以下内容：已知数满足，且，求的值． 以下共有三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 小明：先解以上关于的方程组，再把解代入，从而求的值； 小王：可先将原方程组中的两个方程直接相加，再求的值； 小丽：先解方程组，再把所得解代入，即求的值． （1）试选择其中一名同学的思路，完整地解答此题； （2）试说明关于的方程组，不论取何值，的值始终不变． 【思路点拨】 （1）选择其中一名同学的思路利用加减消元法求解即可； （2）两方程相加求出，再把得到的新方程与方程组中第二个方程相加求出即可得证． 【解题过程】 （1）解：选择小明：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：； 选择小王：， 得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； 选择小丽：， 得：， 把代入①得：， 解得：， 把代入得：， 解得：； （2）证明：， 得：， 得：， ∴，即不论取何值，的值始终不变． · 学霸必刷 1．（22-23七年级下·重庆·阶段练习）已知关于的二元一次方程组的解为整数，且关于的方程的解为非负数，求满足条件的所有整数的和为（    ） A．2 B．4 C．9 D．11 2．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）对于关于x，y的二元一次方程组，甲、乙两人的判断如下．甲：当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；乙：无论a取何值，的值始终不变．则（    ） A．甲的判断正确 B．乙的判断正确 C．甲、乙的判断都正确 D．甲、乙的判断都不正确 3．（22-23七年级下·湖北襄阳·期末）已知关于，的方程组，给出下列结论，其中错误的是（    ） A．是方程组的一个解 B．当时，，的值互为相反数 C．，间的数量关系是 D．当时，方程组的解也是方程的解 4．（22-23七年级下·浙江丽水·阶段练习）关于，的二元一次方程组，①当时，方程组的解是，②当时，；③若该方程组无解，则，以上结论中正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（22-23七年级下·福建龙岩·期末）已知关于x、y的方程组．以下判断：①存在某个实数k值，使得，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论实数k取何值，；④代数式的最小值为19，正确的是（      ） A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 6．（22-23七年级下·重庆巴南·期末）对于x，y定义一种新运算F，规定（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，下列结论：①；②若，则m，n有且仅有4组正整数解；③若对任意实数x，y均成立，则．正确的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 7．（2023九年级·全国·专题练习）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为则的值为 . 8．（22-23八年级下·辽宁本溪·阶段练习）若关于x，y的方程组的解是一对负数，则＝ ． 9．（23-24九年级上·重庆·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的整数的和是 ． 10．（23-24八年级上·江西吉安·期末）若关于x、y的方程组有整数解，则正整数a的值为 ． 11．（23-24八年级上·四川成都·期末）关于的方程组与有相同的解，则的值为 ． 12．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）已知方程组的解满足，求m的值． 13．（2023八年级上·全国·专题练习）已知关于x，y的方程组（k为常数） （1）若方程组的解是，则k的值为 ； （2）若方程组的解满足，则k的值为 ； （3）当k每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一组公共解，请直接写出这组公共解． 14．（22-23七年级下·广东广州·期中）已知关于x、y的方程组． （1）请直接写出方程的所有正整数解． （2）若方程组的解满足，求m的值． （3）若方程组没解，求m的值． （4）无论实数m取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解． 15．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知关于，的方程组（是常数）． （1）当时，则方程组可化为． ①请直接写出方程的所有非负整数解． ②若该方程组的解也满足方程，求的值． （2）当时，如果方程组有整数解，求整数的值． 16．（22-23七年级下·湖南娄底·期中）在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． （1）求正确的，，的值； （2）求原方程组的解； （3）若关于，的二元一次方程组为，求，的值． 17．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）阅读材料并回答下列问题： 当m，n都是实数，且满足，就称点为“郡麓点”．例如：点，令，得，，所以不是“郡麓点”；点，令，得，所以是“郡麓点”． （1）请判断点点，是否为“郡麓点”：______； （2）若以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“郡麓点”，求的值； （3）若以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“郡麓点”，求正整数a，b的值． 18．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”． （1）方程组的解x与y________（填“具有”或“不具有”）“邻好关系”； （2）若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值； （3）未知数为x，y的方程组其中a与x，y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.2 二元一次方程组中的含参问题 · 典例分析 【典例1】阅读以下内容：已知数满足，且，求的值． 以下共有三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 小明：先解以上关于的方程组，再把解代入，从而求的值； 小王：可先将原方程组中的两个方程直接相加，再求的值； 小丽：先解方程组，再把所得解代入，即求的值． （1）试选择其中一名同学的思路，完整地解答此题； （2）试说明关于的方程组，不论取何值，的值始终不变． 【思路点拨】 （1）选择其中一名同学的思路利用加减消元法求解即可； （2）两方程相加求出，再把得到的新方程与方程组中第二个方程相加求出即可得证． 【解题过程】 （1）解：选择小明：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：； 选择小王：， 得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； 选择小丽：， 得：， 把代入①得：， 解得：， 把代入得：， 解得：； （2）证明：， 得：， 得：， ∴，即不论取何值，的值始终不变． · 学霸必刷 1．（22-23七年级下·重庆·阶段练习）已知关于的二元一次方程组的解为整数，且关于的方程的解为非负数，求满足条件的所有整数的和为（    ） A．2 B．4 C．9 D．11 【思路点拨】 本题考查了已知二元一次方程组和一元一次方程的解，求解参数.正确求解方程或方程组是解题关键． 【解题过程】 解： 得：， 解得： 将代入②得：， 解得： ∴原二元一次方程组的解为： 解方程得： ∵关于的方程的解为非负数， ∴， ∴ ∵关于的二元一次方程组的解为整数， ∴ 综上所述： ∴满足条件的所有整数的和为： 故选：A 2．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）对于关于x，y的二元一次方程组，甲、乙两人的判断如下．甲：当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；乙：无论a取何值，的值始终不变．则（    ） A．甲的判断正确 B．乙的判断正确 C．甲、乙的判断都正确 D．甲、乙的判断都不正确 【思路点拨】 将方程组的两个方程相加，得出，当，的值互为相反数时，即可得出，得出甲判断正确；用表示出，解方程组得出，代入可得，得出乙判断正确；即可得出答案． 【解题过程】 解：， 得：， ∴， 当，的值互为相反数时，， ∴，故甲判断正确； 解方程组得出， ∴ ，故乙判断正确； 故选：C． 3．（22-23七年级下·湖北襄阳·期末）已知关于，的方程组，给出下列结论，其中错误的是（    ） A．是方程组的一个解 B．当时，，的值互为相反数 C．，间的数量关系是 D．当时，方程组的解也是方程的解 【思路点拨】 解关于，的方程组，根据解的情况判断即可． 【解题过程】 解：，得，，解得， 把代入②得，， 解得：； A．当时，， 解得， 把代入得，故A正确，不符合题意； B．当时，，，故B正确，不符合题意； C．∵， ∴，间的数量关系是，故C正确，不符合题意； D．当时，，， ∴，， ∴，左右两边相等，故D错误，符合题意； 故选：D． 4．（22-23七年级下·浙江丽水·阶段练习）关于，的二元一次方程组，①当时，方程组的解是，②当时，；③若该方程组无解，则，以上结论中正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【思路点拨】 分别把的值代入二元一次方程组，求解相应方程组即可判断得解． 【解题过程】 解：当时，方程组为，解得，故①正确； 当时，方程组为，解得，所以故②错误； ， 得， ∵该方程组无解， ∴或， ∴， 得， ∵该方程组无解， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∴正确的结论共有个， 故选：C. 5．（22-23七年级下·福建龙岩·期末）已知关于x、y的方程组．以下判断：①存在某个实数k值，使得，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论实数k取何值，；④代数式的最小值为19，正确的是（      ） A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【思路点拨】 根据二元一次方程组的解及方程组解的定义判断即可得解． 【解题过程】 解：已知关于x、y的方程组， 解得：， ①∵当，时，则， 解得不成立，∴①错误； ②∵当时，，代入， 得左边右边，∴②错误； ③∵当时，即，形为：无意义， ∵，③正确； ④∵， ∴当仅当时，取到最小值为19，④正确， 故选：D． 6．（22-23七年级下·重庆巴南·期末）对于x，y定义一种新运算F，规定（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，下列结论：①；②若，则m，n有且仅有4组正整数解；③若对任意实数x，y均成立，则．正确的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【思路点拨】 根据新定义运算可得，可得，可得，再根据运算法则逐一分析各说法即可． 【解题过程】 解：∵，，， ∴，解得：， ∴， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， 整理得：， ∴其正整数解为：，，，，故②符合题意； ∵， ∴， ∴， 上式对任意实数x，y均成立， ∴， ∴，故③符合题意； 故选A． 7．（2023九年级·全国·专题练习）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为则的值为 . 【思路点拨】 根据方程组的解的定义，解应满足方程，解应满足方程，将它们分别代入方程，，就可得到关于，的二元一次方程组，解得，的值，代入代数式即可． 【解题过程】 解：甲看错了①式中的系数，解得，但满足式的解，所以，解得； 同理乙看错了式中的系数，解满足式的解，所以，解得． 把，代入， ∴. 8．（22-23八年级下·辽宁本溪·阶段练习）若关于x，y的方程组的解是一对负数，则＝ ． 【思路点拨】 先将方程组中的两个方程相加可得，相减可得，再根据解是一对负数可得，，然后化简绝对值，计算整式的加减即可得． 【解题过程】 解：， 由①②得：，即， 由①②得：， 关于的方程组的解是一对负数， ， ，， ， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·重庆·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的整数的和是 ． 【思路点拨】 本题考查解含参数的二元一次方程组．先求出二元一次方程组的解，根据解为整数，求出的值，再进行计算即可．熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键． 【解题过程】 解：解，得：， ∵解是整数，也是整数， ∴， ∴， 当时，，当时，，满足题意， ∴满足条件的整数的和为； 故答案为：． 10．（23-24八年级上·江西吉安·期末）若关于x、y的方程组有整数解，则正整数a的值为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了解二元一次方程组，先利用加减消元法解方程组得到，再根据方程组有整数解得到和都是整数，据此求解即可． 【解题过程】 解：， 得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴方程组的解为， ∵关于x、y的方程组有整数解， ∴和都是整数， ∴或， 又∵，即，且a为正整数， 解得或或或（舍去）， 故答案为：1或3或5． 11．（23-24八年级上·四川成都·期末）关于的方程组与有相同的解，则的值为 ． 【思路点拨】 本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，代数式求值，根据题意联立方程和方程，求出x、y的值，然后再代入其它的两个方程得到关于a、b的方程组，求出a、b的值，即可求出的值． 【解题过程】 解：关于的方程组与有相同的解， ， 得， 解得：， 把代入②得：， 这个方程组的解为， 将代入其他两个方程得， 得：， 解得：， 把代入③得，， ， 故答案为：8． 12．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）已知方程组的解满足，求m的值． 【思路点拨】 本题考查二元一次方程组的解及其解法、解一元一次方程，先利用加减消元法解方程组得到，再根据解方程即可． 【解题过程】 解：， 由得， 代入①中，得， ∴该方程组的解为， ∵方程组的解满足， ∴， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 解得． 13．（2023八年级上·全国·专题练习）已知关于x，y的方程组（k为常数） （1）若方程组的解是，则k的值为 ； （2）若方程组的解满足，则k的值为 ； （3）当k每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一组公共解，请直接写出这组公共解． 【思路点拨】 本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解一元一次方程，关键是理解二元一次方程组的解． （1）将方程组的解代入方程中求解即可； （2）解方程组，再将解代入中求解即可； （3）将整理为，当时求解即可． 【解题过程】 （1）解：将代入，得， 解得：， 故答案为：． （2）解：∵方程组的解满足， 即方程组与的解相同； 解方程组， 得：， 解得：， 将代入①解得：， 故方程组的解为， 将代入得， 解得：， 故答案为：7． （3）解：将方程整理为：， 当时，代入求得， 即， ∴公共解为． 14．（22-23七年级下·广东广州·期中）已知关于x、y的方程组． （1）请直接写出方程的所有正整数解． （2）若方程组的解满足，求m的值． （3）若方程组没解，求m的值． （4）无论实数m取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解． 【思路点拨】 （1）将方程化为，再由x，y为正整数，即可得出结论； （2）将与组成新的方程组解出x，y的值，代入第二个方程：中，可得m的值； （3）方程组消去x，得到，当时，方程组无解； （4）根据方程总有一个固定的解，m的值不影响，所以含m的项为0，可得这个解． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， 又因为，为正整数， ∴， 即：y只能取2或4； ∴方程的所有正整数解：，； （2）解：由题意得：， 解得， 把代入， 解得； （3）解：方程组整理得， ①-②得， 当即时，方程组无解； （4）解：∵方程总有一个固定的解， 即方程总有一个固定的解， ∴，． ∴． 15．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知关于，的方程组（是常数）． （1）当时，则方程组可化为． ①请直接写出方程的所有非负整数解． ②若该方程组的解也满足方程，求的值． （2）当时，如果方程组有整数解，求整数的值． 【思路点拨】 （1）①根据，为非负数即可求得方程的所有非负整数解；②先解方程组，然后将，的值代入方程中即可获得答案； （2）将代入原方程组，利用加减消元法得到，再根据方程组有整数解，且为整数，分情况讨论即可． 【解题过程】 （1）解：①∵，为非负整数， ∴方程的所有非负整数解为 ，； ②∵根据题意可得， 解得， 将代入中， 解得 ； （2）当时，原方程组可化为， 由，可得 ， 整理可得， ∵方程组由整数解，且为整数， ∴或， 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）； 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）． 综上所述，整数的值为或0． 16．（22-23七年级下·湖南娄底·期中）在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． （1）求正确的，，的值； （2）求原方程组的解； （3）若关于，的二元一次方程组为，求，的值． 【思路点拨】 （1）根据甲把方程组中的看成了，可得是方程组的解，即可求出b和c的值，根据乙看错了方程组中的，可知是方程的解，将x、y、c的值代入，即可求出a的值； （2）根据，，得出原方程组，再用加减消元法求解即可； （3）把，，代入关于，的二元一次方程组得，令，，由（2）可得：，则，用加减消元法即可求解． 【解题过程】 （1）解：由题意可知， ∵甲把方程组中的看成了， ∴是方程组的解， 把代入， ， 解得，， 由于乙看错了方程组中的，得解为． 可知是方程的解， 把代入得， ∵， ∴，解得， 综上：，，； （2）解：当，，时，原方程组可变为， ，得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴原方程组的解为； （3）解：把，，代入关于，的二元一次方程组得， 令，， 则， 由（2）可得：， ∴， 得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴方程组的解为， 即，． 17．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）阅读材料并回答下列问题： 当m，n都是实数，且满足，就称点为“郡麓点”．例如：点，令，得，，所以不是“郡麓点”；点，令，得，所以是“郡麓点”． （1）请判断点点，是否为“郡麓点”：______； （2）若以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“郡麓点”，求的值； （3）若以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“郡麓点”，求正整数a，b的值． 【思路点拨】 （1）根据“郡麓点”的定义分别判断即可； （2）先关于x，y的方程组的解，直接利用“郡麓点”的定义得出关于方程，解方程求出的值进而得出答案． （3）先关于x，y的方程组的解，直接利用“郡麓点”的定义得出关于、的二元一次方程求出正整数解即可． 【解题过程】 （1）解：点，令， 得， ， 不是“郡麓点”， 点，令， 得， ， 是“郡麓点”； 故答案为：B． （2）解：方程组的解为， 点，是“郡麓点”， ， ， ， ， 解得 的值为10． （3）解：方程组的解为， 点是“郡麓点”， ， ， ， ， 解得， a，b为正整数， 或或或． 18．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”． （1）方程组的解x与y________（填“具有”或“不具有”）“邻好关系”； （2）若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值； （3）未知数为x，y的方程组其中a与x，y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 【思路点拨】 本题主要考查了解二元一次方程组，解绝对值方程，求一个数的绝对值，正确理解题意和熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）先利用加减消元法求出方程组的解，进而求出的值即可得到答案； （2）先利用加减消元法求出方程组的解，再根据“邻好关系”的定义得到，即，据此求解即可； （3）先利用加减消元法求出方程组的解，再根据a与x，y都是正整数，求出a的值为1或2，进而讨论当a=1和当a=2时，方程组的解是否具有“邻好关系”即可． 【解题过程】 （1）解：， 方程②可变为， 用得：，解得， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为， ∴， ∴方程组的解x与y具有“邻好关系”， 故答案为：具有； （2）解： ， 用得：， 解得：， 把代入①得：， 解得， ∴方程组的解为， ∵方程组的解x与y具有“邻好关系”， ∴， ∴，即， ∴或， ∴或； （3）解：， 用得：，解得， 把代入到②得：， 解得， ∴方程组的解为， ∵a与x，y都是正整数， ∴是正整数， ∴一定是12的正因数， ∴的值可以为3或4或6或12， 又∵也是正整数， ∴的值可以为3或4， ∴a的值可以为1或2， 当时，方程组的解为， ∴此时，即此时该方程组的解x与y具有“邻好关系”； 当时，方程组的解为， ∴此时，即此时该方程组的解x与y不具有“邻好关系”； 综上所述，存在，方程组的解为时，该方程组的解x与y具有“邻好关系”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$