精品解析：广东省汕头市某校2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

2024∼2025学年度第一学期 高三期中考试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 若函数的定义域为，值域为则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在梯形中，在线段上，.若，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数与的图象的交点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 设是等比数列的前项和，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 6. 直线与圆相交于、两点，若，则等于（ ） A. 0 B. C. 或0 D. 或0 7. 在正四棱锥中，，则正四棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，若一个椭圆经过A、B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在边AB上，则这个椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设离散型随机变量X的分布列如下表； X 1 2 3 4 5 P m 0.1 0.3 n 0.3 若离散型随机变量，且，则正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，数列仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的四个函数中，是“保等比数列函数”的为 A. B. C. D. 11. 已知函数H(x)，下列说法正确的有（　　） A. 若m＝0，a＝1，则函数H(x)有最大值 B. 若m＝1，a≠0，则过原点恰好可以作一条直线与曲线y＝H(x)相切 C. 若a＝0，且对任意m∈R，H(x)＞0恒成立，则0≤x≤1 D. 若对任意m∈R，任意x＞0，H(x)≥0恒成立，则a的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正四棱柱的底面边长为2，高为6，则该正四棱柱的外接球的表面积为______. 13. 一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c．三位数中，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等）若a，b，，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”共______个． 14. 设函数，当a=1时，f(x)的最小值是________；若恒成立，则a的取值范围是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧面是等边三角形，平面平面， 为的中点. （1）求证：平面. （2）求侧面与底面所成二面角的余弦值. 16. 中，D是BC上的点，AD平分，面积是面积的2倍． (1)求； (2)若，求BD和AC的长． 17. 已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设函数，讨论的单调性. 18. 已知动点M到定点的距离比点M到定直线的距离小1，直线交曲线C于A，B两点．（点A在第一象限） （1）求点M的轨迹C的方程； （2）若过且与垂直的直线与曲线C交于C，D两点：（点C在第一象限） （i）求四边形面积的最小值． （i i）设，的中点分别为P，Q，求证：直线过定点． 19. 已知正实数集，定义：称为的平方集．记为集合中的元素个数． （1）若，求集合和； （2）若，求； （3）①分别取1，2，3时，试比较和的大小关系； ②猜想和的大小关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024∼2025学年度第一学期 高三期中考试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可化简复数，进而可得虚部. 【详解】，所以虚部为， 故选：C 2. 若函数的定义域为，值域为则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分类讨论与，求解范围. 【详解】由的定义域为， 对称轴为, 当时，在单调递减，则，， 而函数的值域为，则，解得，故， 当时，在单调递减，在单调递增， 则，， ，故，解得， 故， 综上所述，的取值范围为， 故选：A 3. 如图，在梯形中，在线段上，.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据平面向量的线性运算可得，结合平面向量基本定理可得，即可得结果. 【详解】由题意可设， 则， 又因为，且，不共线， 可得，解得，即， 所以，即. 故选：D. 4. 函数与的图象的交点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】画出图象，数形结合即可得出． 【详解】解：画出图象 ，，， 可得与的图象的交点个数为3． 故选：C． 5. 设是等比数列的前项和，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】成等比数列，得到方程，求出，得到答案. 【详解】由题意得，， 因为成等比数列，故， 即，解得， 故. 故选：B 6. 直线与圆相交于、两点，若，则等于（ ） A. 0 B. C. 或0 D. 或0 【答案】D 【解析】 【分析】求出到圆心的距离和圆心 到直线 的距离，即可求出的值. 【详解】由题意， ∵， ∴到圆心的距离为 ， ∴圆心 到直线 的距离为： ，即. 解得：或， 故选：D. 7. 在正四棱锥中，，则正四棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设正四棱锥的高为h，底面边长为x，由题可得及，后由导数知识可得答案. 【详解】过顶点P向平面ABCD作垂线，垂足为O，则PO为正四棱锥的高，设为h. 设底面边长为x，则，则，则. 所以正四棱锥的体积为：，则. 当时，；当时，. 即 在上单调递增，在上单调递减， 则. 故选：B 8. 在中，，若一个椭圆经过A、B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在边AB上，则这个椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设另一焦点为D，则在中，根据勾股定理求得BC，进而根据椭圆的定义知求得a，再利用求得AD，最后在中根据勾股定理求得CD，得到椭圆半焦距，进一步求得离心率. 【详解】解：设另一焦点为D， ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，∴. 在中焦距， 则， ∴. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质和解三角形的应用.要理解好椭圆的定义和椭圆中短轴，长轴和焦距的关系是关键，是中档题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设离散型随机变量X的分布列如下表； X 1 2 3 4 5 P m 0.1 0.3 n 0.3 若离散型随机变量，且，则正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据分布列的性质和期望公式可得和的值，再逐项判断即可. 【详解】由题意知，所以， 因为，所以，即， 综上，解得，，故A不正确，B正确； 因为，所以，故C正确； ，，所以，故D正确. 故选：BCD. 10. 定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，数列仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的四个函数中，是“保等比数列函数”的为 A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】直接利用题目中“保等比数列函数”的性质，代入四个选项一一验证即可. 【详解】设等比数列的公比为. 对于A，则 ，故A是“保等比数列函数”； 对于B，则 常数，故B不是“保等比数列函数”； 对于C，则 ，故C是“保等比数列函数”； 对于D，则 常数，故D不是“保等比数列函数”. 故选：AC. 【点睛】本题考查等比数列的定义，考查推理能力，属于基础题. 11. 已知函数H(x)，下列说法正确的有（　　） A. 若m＝0，a＝1，则函数H(x)有最大值 B. 若m＝1，a≠0，则过原点恰好可以作一条直线与曲线y＝H(x)相切 C. 若a＝0，且对任意m∈R，H(x)＞0恒成立，则0≤x≤1 D. 若对任意m∈R，任意x＞0，H(x)≥0恒成立，则a的最小值是 【答案】BD 【解析】 【分析】A利用导数研究H(x)的最大值；B根据导数的几何意义求切线的斜率，即可判断唯一性；C利用二次函数的性质，结合恒成立求x的范围；D利用导数研究函数不等式恒成立，并求参数范围，即知最小值. 【详解】由m＝0，a＝1得H(x)e﹣x+x+1，H′(x)e﹣x+1＞0得x＞ln4， ∴函数H(x)在(∞,ln4)上单调递减，在(ln4,+∞)上单调递增， ∴当x＝ln4时函数H(x)取得最小值，无最大值，故A错； 由m＝1，a≠0，得H(x)eax，设y＝kx与其相切，切点(x0,y0)， 则k＝H′(x0)e且kx0e，得x0，k，解唯一．故B对； 由a＝0得H(x)＝(m+1)2+(m+1)x，看作关于m+1的二次函数， 由对任意m∈R，H(x)＞0恒成立得＝x21＜0，解得1＜x＜1，故C错； 由题设不等式恒成立及C中的分析方法，知：＝x2eax≤0恒成立， ∴a对任意x＞0恒成立． 记，0得x∈(0，e)， ∴在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减， ∴f(x)max＝f(e)， ∴a，即a的最小值是，故D对． 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正四棱柱的底面边长为2，高为6，则该正四棱柱的外接球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据正四棱柱的边长和高求外接球的半径，再代入球的表面积公式，即可求解. 【详解】设外接球的半径为，则, 所以正四棱柱的外接球的表面积. 故答案为： 13. 一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c．三位数中，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等）若a，b，，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”共______个． 【答案】 【解析】 【分析】利用“有缘数”的定义，利用分类讨论的思想，求出所有的三位数． 【详解】解：根据题意知在中，能组成有缘数的组合有；； ；；； 由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，“有缘数”共6个； 同理：由1，3，4组成的三位数为“有缘数”是6个； 由1，4，5组成的三位数为“有缘数”是6个； 由2，3，5组成的三位数为“有缘数”是6个； 所以三位数为“有缘数”的个数为：个． 故答案为：． 14. 设函数，当a=1时，f(x)的最小值是________；若恒成立，则a的取值范围是_________. 【答案】 ①. 1 ②. [0，] 【解析】 【分析】 当a=1时，分段求出函数的最小值，比较可得分段函数的最小值；分类讨论代入解析式，将不等式恒成立化为最值问题求解可得结果. 【详解】当a=1时，当时，，当时，，当且仅当时，等号成立.所以的最小值为. 当时，，即，即恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以，即. 当时，，即恒成立，因为，当且仅当时，等号成立，所以，所以. 综上所述：a的取值范围是. 故答案为：1； 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧面是等边三角形，平面平面， 为的中点. （1）求证：平面. （2）求侧面与底面所成二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：在等边中，因为 为的中点，所以， 在正方形 中，， 又因为平面平面 ，平面平面，所以平面， 因为平面，所以. 因为,平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）证明，，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）取的中点，连接.证明是平面与平面 所成二面角的平面角.在中，由余弦定理即可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接. 则，又正方形 中，，所以, 在等边中，因为为 的中点，所以. 因为平面平面 ，平面平面， 所以平面 ，因为平面 ，所以. 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，所以是平面与平面 所成二面角的平面角. 设，则， 所以. 【点睛】 16. 中，D是BC上的点，AD平分，面积是面积的2倍． (1)求； (2)若，求BD和AC的长． 【答案】（1）；（2）,1 【解析】 【分析】（1）借助题设条件运用三角形的面积公式求解； （2）借助题设余弦定理立方程组求解. 【详解】（1），， ∵，，∴． 由正弦定理可知. （2）∵，， ∴． 设，则， 在与中，由余弦定理可知， ， ， ∵，∴， ∴，解得， 即． 17. 已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设函数，讨论的单调性. 【答案】(1) ；(2)如解析所示 【解析】 【详解】试题分析：（1）本问考查导数的几何意义，利用导数求切线方程，当时，，，，，所以切线方程可求；（2）本问考查利用导数研究函数的单调性，，，对a进行讨论，从而确定函数的单调区间. 试题解析：(1)有题意得，所以. 又因为，其切线方程为，即. (2)， 则，令，得，， ①当时，恒成立，所以在上递增； ②当时，令，得或. 即在，上递增，在递减， ③当时，在，上递增，在递减. 18. 已知动点M到定点的距离比点M到定直线的距离小1，直线交曲线C于A，B两点．（点A在第一象限） （1）求点M的轨迹C的方程； （2）若过且与垂直的直线与曲线C交于C，D两点：（点C在第一象限） （i）求四边形面积的最小值． （i i）设，的中点分别为P，Q，求证：直线过定点． 【答案】（1） （2）（i）32， （i i）过定点，证明：由（i）知，所以点的横坐标为， 代入直线可得，所以， 同理可得，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 化简得， 所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合抛物线的定义，即可求解； （2）（i）把直线，的方程分别和曲线的方程联立，利用抛物线的性质以及韦达定理可求得线段，的长度，即可表示出四边形的面积，结合基本不等式即可求最值；（i i）根据中点性质可求得点，坐标，列出直线方程即可求解. 【小问1详解】 由题意知，动点M到定点的距离等于点M到定直线的距离，根据抛物线的定义可知，点M的轨迹是抛物线； 因为，所以抛物线的方程为， 即点M的轨迹C的方程为. 【小问2详解】 （i）设点，，，， 由（1）知抛物线的准线为，， 根据抛物线的定义可知，，，， 所以，， 由题意知直线过且与直线交于点， 所以四边形的面积， 由，消去后得， 所以， 由韦达定理可知，所以， 由题意得直线：， 同理，联立，消去可得， 所以， 由韦达定理可知，所以， 所以四边形的面积， ，当且仅当，即时，等号成立， 所以四边形面积的最小值为32. （i i）略 【点睛】关键点点睛：根据抛物线性质可知点到准线的距离等于点到焦点的距离，同时对设的点设而不求，根据韦达定理可表示出点，的坐标，再根据两点式可求得方程，化简即可. 19. 已知正实数集，定义：称为的平方集．记为集合中的元素个数． （1）若，求集合和； （2）若，求； （3）①分别取1，2，3时，试比较和的大小关系； ②猜想和的大小关系，并证明你的结论． 【答案】（1）， ; （2）； （3）；证明如下： 当时，，，； 当时： 若两个数互质，如，，，， ； 若两个数不互质，如，，，， ； 综上， 当时，设，中最多有，6个元素，此时， 若时，有5个元素，此时，所以， 证明：当时，由①可知成立； 若考虑互质，当时，从集合中任取两个元素做乘积，共有个， 每个元素自身取平方共有个，此时共有个，它们构成了， 所以作差可得， 由二次函数的性质可得当时，上式大于零， 若不考虑互质时，当且仅当时， 此时中有个元素，， 综上. 【解析】 【分析】（1）由集合新定义直接求出即可； （2）全部互质时，由求出即可； （3）①时直接证明即可；和分为互质与否可得到；②考虑互质与否，结合集合新定义与二次函数的关系可证明； 【小问1详解】 由集合新定义中元素为中任意两个元素的乘积，去除重复的元素，可得 ，， 【小问2详解】 由（1）可得，，，， 若，要得到，就要全部互质， 当中所有元素互质的时候，从集合中任取两个元素做乘积，共有个， 每个元素自身取平方共有个，此时共有个，他们构成了， ， 即，解得，或（舍去）， 所以若，， 【小问3详解】 当时，，，； 当时： 若两个数互质，如，，，， ； 若两个数不互质，如，，，， ； 综上， 当时，设，中最多有，6个元素，此时， 若时，有5个元素，此时，所以， 证明略. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的第二小问关键在于对集合新定义的理解，考虑互质与不互质的情况，再结合集合中元素的互异性和二次函数知识作答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $