专题3.4 一元一次不等式组的应用（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题3.4 一元一次不等式组的应用 · 典例分析 【典例1】某经销商计划购进A，B两种农产品.已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元． （1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？ （2）该经销商计划用不超过5160元购进A，B两种农产品40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？ 【思路点拨】 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用． （1）设A种农产品的每件价格是x元，B种农产品每件的价格是y元，根据“购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元”，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该经销商购进A种农产品m件，则购进B种农产品件，利用总价单价数量，结合购进A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍且总价不超过5160元，列出一元一次不等式组，解之得出m的取值范围，根据m为正整数，分别求出利润比较即可． 【解题过程】 （1）解：设A种农产品的每件价格是x元，B种农产品每件的价格是y元， 依题意得： ， 解得：， 答：A种农产品每件的价格是120元，B种农产品每件的价格是150元； （2）解：设该经销商购进A种农产品m件，则购进B种农产品件， 依题意得：， 解得：， m为正整数， m可取28，29，30， 当购进A种农产品28件，则购进B种农产品件， 则 （元）， 当购进A种农产品29件，则购进B种农产品件， 则 （元）， 当购进A种农产品30件，则购进B种农产品件， 则 （元）， ， 购进A种农产品28件，则购进B种农产品件时获利最多， 答：购进A种农产品28件，则购进B种农产品件时获利最多． · 学霸必刷 1．（23-24八年级上·浙江金华·期中）八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学有植树但植树棵数不到3棵．则同学人数为（    ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 【思路点拨】 本题考查了一元一次不等式组的应用，设同学人数为x人，植树的棵数为棵，有植树但植树棵数不到3棵意思是植树棵数在1棵和3棵之间，包括1棵，不包括3棵，关系式为：植树的总棵数，植树的总棵数，把相关数值代入列出不等式组，解不等式组即可得解，得到植树总棵数和预计植树棵数之间的关系式是解决本题的关键． 【解题过程】 设同学人数为x人，植树的棵数为棵， ∵有1位同学有植树但植树的棵数不到3棵，植树的总棵数为棵， ∴可列不等式组为 解不等式组得：， ∵人数要取非负整数， ∴ 故选：A． 2．（22-23八年级上·广东东莞·开学考试）五月初五端午节这天，妈妈让小明去超市买豆沙馅和蛋黄鲜肉馅的粽子．豆沙馅的每个卖2元，蛋黄鲜肉馅的每个卖3元，两种的粽子至少各买一个，买粽子的总钱数不能超过15元．则不同的购买方案的个数为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【思路点拨】 设购买豆沙馅的x个，根据“两种的粽子至少各买一个，买粽子的总钱数不能超过15元”可得，解不等式组即可求出购买豆沙馅的可能个数，再结合总钱数不超过15元，蛋黄鲜肉馅的至少买一个，即可得出不同的购买方案． 【解题过程】 解：设购买豆沙馅的x个， 根据题意列出不等式组：， 解得：， 当时，，即蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个、3个、4个； 同理，当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个、3个； 当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个、3个； 当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个； 当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个； 当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个； 因此，有（种）不同的购买方案， 故选D． 3．（22-23七年级下·江苏南通·期末）已知a，b，c是三个非负数，且满足，，设，则s的最小值为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了非负数和不等式组的应用能力．先分别用含有c的式子表示出a，b，再根据非负数的定义和列不等式组并求解出c的取值范围，最后将c的最大值代入s进行求解． 【解题过程】 解：，， ，， ， ，，是三个非负数， ， 解得， ， 解得， 故选：C 4．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）某公司组织员工去公园划船，报名人数不足50，在安排乘船时发现，若每只船坐6人，则有18人无船可坐；若每只船坐10人，则其余的船坐满后有一只船不空也不满，参加划船的员工共有 人． 【思路点拨】 本题考查一元一次不等组的应用．解题的关键是根据题意，列出不等式组求解．设共安排x艘船，根据报名人数不足50人得；根据每只船坐6人，则有18人无船可坐；若每只船坐10人，则其余的船坐满后有一只船不空也不满得，解得x代入即是划船的员工数． 【解题过程】 解：设共安排x艘船， 根据题意得：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为：， ∴， ∴划船员工数为：（人）， ∴参加划船的员工共有48人． 故答案为：48． 5．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）圆圆去商店购买A，B两种书签，共用了10元钱，A种书签每枚1元，B种书签每枚2元．若每种书签至少买一枚，且A种书签的数量比B种书签的数量多，则A种书签至少购买 枚． 【思路点拨】 本题主要考查了一元一次不等式组的应用，正确表示出购买B种玩具的数量和正确列出不等式组是解决本题的关键．设小明购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为件，根据题意列出不等式组进行解答便可． 【解题过程】 解：设圆圆购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为件， 根据题意得， 解得，， ∵x为整数，也为整数， ∴或6或8， ∴A种书签至少购买4枚． 故答案为：4． 6．（22-23八年级下·四川达州·阶段练习）“书香文化节”是我校的四大节日之一，某年级甲、乙、丙三个班在“书香文化节”期间各自建立了本班的图书角．建立之初这三个班的图书角的书籍总本数大于且小于．第一周结束后，三个图书角共补充了本图书，此时三个图书角的书本数量之比为；第二周结束后，三个图书角又共补充了本图书，此时三个图书角的书本数量之比为．若每个班的图书角的书籍总本书为正整数，则第二周结束后丙班图书角拥有书籍 本． 【思路点拨】 设第二周结束后丙班图书角拥有书籍本，第二周结束后甲班图书角拥有书籍本，第二周结束后乙班图书角拥有书籍本，则第二周结束后三个班的图书角的书籍总数为本，再根据建立之初这三个班的图书角的书籍总本数大于且小于列出不等式组求出；再由第一周结束后，三个图书角的书本数量之比为，得到是26的倍数，进一步推出是13的倍数，由此求出x的值即可得到答案． 【解题过程】 解：设第二周结束后丙班图书角拥有书籍本，第二周结束后甲班图书角拥有书籍本，第二周结束后乙班图书角拥有书籍本， ∴第二周结束后三个班的图书角的书籍总数为本， 由题意得，， 解得； ∵x为整数， ∴x的值可以为43，44，45，46，47，48； ∵第一周结束后，三个图书角的书本数量之比为， ∴第一周结束后三个班的图书角的书籍总数一定是的倍数， ∴是26的倍数， ∴是整数， ∴是整数，即是13的倍数， ∴满足题意的x的值只能是45， ∴， ∴第二周结束后丙班图书角拥有书籍本， 故答案为：． 7．（22-23九年级上·重庆大足·期末）某大闸蟹养殖户十月捕捞了第一批成熟的大闸蟹，并以每只相同的价格（价格为整数）批发给某经销商．十一月该养殖户捕捞了第二批成熟的大闸蟹，并将这批大闸蟹根据品质及重量分为（小蟹）、（中蟹）、（大蟹）三类，每类按照不同的单价（价格都为整数）进行销售，若6只类蟹、5只类蟹和4只类蟹的价格之和正好是第一批蟹16只的价格，而1只类蟹和1只类蟹的价格之和正好是第一批蟹2只的价格，且类蟹与类蟹每只的单价之比为，根据市场有关部门的要求三类蟹的单价之和不低于38元、不高于65元，则第一批大闸蟹每只价格为 元． 【思路点拨】 设第一批大闸蟹每只价格为a元，A类蟹每只x元，B类蟹每只y元，则C类蟹每只2x元，根据等量关系式：6只A类蟹价格+5只B类蟹价格+4只C类蟹的价格=第一批蟹16只的价格，1只A类蟹价格+1只B类蟹的价格=第一批蟹2只的价格，列出方程组，将a看作已知数，用a表示x，y，再根据A、B、C三类蟹的单价之和不低于38元、不高于65元，列出不等式组，解不等式组得出a的取值范围，最后根据a、x、y都是整数，得出a的值即可． 【解题过程】 解：设第一批大闸蟹每只价格为a元，A类蟹每只x元，B类蟹每只y元，则C类蟹每只元，根据题意得： ， 解得：， ∵A、B、C三类蟹的单价之和不低于38元、不高于65元， ∴，即， 解得：， ∵a取整数， ，13，14，15，16，17，18，19， 又∵，y都必须取整数， 只有符合题意， 即第一批大闸蟹每只价格为14元． 故答案为：14． 8．（22-23七年级下·辽宁大连·期末）西岗区某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球已知购买个篮球和个足球需要元；购买个篮球和个足球需要元． （1）根据以上信息解答若需要购买个篮球和个足球需要多少钱； （2）学校计划采购篮球、足球共个，并要求篮球不少于个，且总费用不超过元，则有哪几种购买方案？ 【思路点拨】 （1）设篮球的单价是元，足球的单价是元，根据“购买个篮球和个足球需要元；购买个篮球和个足球需要元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之可求出，的值，再将其代入中，即可求出结论； （2）设购买个篮球，则购买个足球，根据“购进篮球不少于个，且总费用不超过元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购买方案． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【解题过程】 （1）设篮球的单价是元，足球的单价是元， 根据题意得：， 解得：， ． 答：购买个篮球和个足球需要元； （2）设购买个篮球，则购买个足球， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为，，，， 共有种购买方案， 方案：购买个篮球，个足球； 方案：购买个篮球，个足球； 方案：购买个篮球，个足球； 方案：购买个篮球，个足球． 9．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）为了庆祝国庆，学校准备举办“我和我的祖国”演讲比赛．学校计划为比赛购买A、B两种奖品．已知购买1个A种奖品和4个B种奖品共需120元；购买5个A种奖品和6个B种奖品共需250元． （1）求A，B两种奖品的单价． （2）学校准备购买A，B两种奖品共60个，且B种奖品的数量多于A种奖品数量的，购买预算不超过1285元，请问学校有哪几种购买方案． 【思路点拨】 本题主要考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，掌握确定正确的相等关系与不等关系是解题的关键． （1）设A种奖品的单价x元，B种奖品的单价y元，由题意：购买1个A种奖品和4个B种奖品共需120元；购买5个A种奖品和6个B种奖品共需250元，列出方程组，解方程组即可； （2）设购买A种奖品m个，B种奖品个，由题意：B奖品的数量多于A奖品数量的，购买预算不超过1285元，列出不等式组，求出正整数解即可． 【解题过程】 （1）解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元， 由题意得： ， 解得：， 答：A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为25元； （2）解：设购买A种奖品m个，则购买B种奖品个， 由题意得： ， 解得：， ∵m为整数， ∴m可取43或44， ∴或16， ∴学校有两种购买方案： 方案一：购买A种奖品43个，购买B种奖品17个； 方案二：购买A种奖品44个，购买B种奖品16个． 10．（22-23七年级下·广西河池·期末）为了实现县域教育均衡发展，某县计划对，两类学校分批进行改进，根据预算，改造一所类学校和两所类学校共需资金万元，改造两所类学校和一所类学校共需资金万元． （1）改造一所类学校和一所类学校所需的资金分别是多少万元？ （2）该县计划今年对、两类学校共所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过万元，地方财政投入的改造资金不少于万元，其中地方财政投入到、两类学校的改造资金分别为每所万元和万元，请你通过计算求出改造方案？ 【思路点拨】 （）根据等量关系列出方程组，再解即可； （）列出不等式组，再解即可； 此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程组和不等式组． 【解题过程】 （1）解：设改造一所类学校和一所类学校所需的资金分别是，万元， 由题意得：， 解得， 答：改造一所类学校和一所类学校所需的资金分别是，万元； （2）设改造类学校所，则改造类学校所， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴， ∴， 故改造类学校所，改造类学校所． 11．（22-23八年级上·浙江金华·期中）接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒． （1）求每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输多少盒疫苗； （2）计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗，A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500盒，且总费用小于54000元，请求出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 【思路点拨】 本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． （1）设每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输x盒疫苗、y盒疫苗，利用“2辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒．”建立方程组解答即可； （2）设A型车a辆，则B型车辆，利用“运输物资不少于1500盒，且总费用小于54000元”建立不等式组求解即可． 【解题过程】 （1）解：设每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输x盒疫苗、y盒疫苗， 由题意可得，， 解得， 答：每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输150盒疫苗、100盒疫苗； （2）设A型车a辆，则B型车辆， 由题意可得，， 解得， ∵a为正整数， ∴，7，8， ∴共有三种运输方案， 方案一：A型车6辆，B型车6辆， 方案二：A型车7辆，B型车5辆， 方案三：A型车8辆，B型车4辆， ∵A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元，计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗， ∴A型车辆数越少，费用越低， ∴方案一所需费用最少，此时的费用为（元）， 答：方案一：A型车6辆，B型车6辆，方案二：A型车7辆，B型车5辆，方案三：A型车8辆，B型车4辆，其中方案一所需费用最少，最少费用是48000元． 12．（22-23六年级下·上海静安·期末）某学校组织340名师生进行长途考察活动，参加活动的每位老师均携带了一件行李，参加活动的所有学生中有的学生携带了行李（携带行李的学生每人携带一件），老师学生共带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车共10辆，经了解，甲种车每辆最多能载40人和16件行李，乙种车每辆最多能载30人和20件行李． （1）请问参加活动的老师和学生各有多少人？ （2）请你帮助学校列出所有可行的租车方案． 【思路点拨】 此题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知数，根据题意的两个不等关系得出不等式组． （1）设参加活动的老师人，学生人，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设租用甲车辆，则乙车辆，根据题意列出一元一次不等式组求解即可． 【解题过程】 （1）解：设参加活动的老师人，学生人， 由题意得 解得 答：参加活动的老师136人，学生204人． （2）解：设租用甲车辆，则乙车辆， 解得 所以有四种租车方案： 方案一：甲车4辆，乙车6辆； 方案二：甲车5辆，乙车5辆； 方案三：甲车6辆，乙车4辆； 方案四：甲车7辆，乙车3辆． 13．（2024七年级下·全国·专题练习）在北京进行的2022年冬季奥运会和冬季残奥会备受世界人士关注．吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”玩具随之大卖，购买8个“冰墩墩”和4个“雪容融”玩具共需960元，购买6个“冰墩墩”和8个“雪容融”玩具共需1020元． （1）分别求出“冰墩墩”和“雪容融”玩具的销售单价． （2）若每个“冰墩墩”玩具制作成本为60元，每个“雪容融”玩具成本为40元，准备制作两种吉祥物玩具共100个，总成本不超过5000元，且销售完该批次吉祥物玩具，利润不低于2480元，请问有哪几种制作方案？ 【思路点拨】 本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用： （1）设“冰墩墩”的销售单价为元，“雪容融”的销售单价为元，根据购买8个“冰墩墩”和4个“雪容融”玩具共需960元，购买6个“冰墩墩”和8个“雪容融”玩具共需1020元，列出方程组求解即可； （2）设购买个“冰墩墩”，则购买个“雪容融”，根据总成本不超过5000元，利润不低于2480元，列不等式组求解即可． 【解题过程】 （1）解：设“冰墩墩”的销售单价为x元，“雪容融”的销售单价为y元， 依题意得：， 解得：， 答：“冰墩墩”的销售单价为90元，“雪容融”的销售单价为60元． （2）解：设制作m个“冰墩墩”，则制作个“雪容融”， 依题意得：， 解得：， ∵m为正整数， ∴m的值为48、49、50， ∴有3种制作方案： ①制作48个“冰墩墩”，52个“雪容融”； ②制作49个“冰墩墩”，51个“雪容融”； ③制作50个“冰墩墩”，50个“雪容融”． 14．（22-23七年级下·山西忻州·阶段练习）为保护环境，我市公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆．若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元． （1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？ （2）预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？ 【思路点拨】 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用； （1）等量关系式：购买A型公交车1辆的费用购买B型公交车2辆的费用400万元，购买A型公交车2辆的费用B型公交车1辆的费用共需350万元；据此列出方程组，即可求解； （2）不等关系式：购买A型公交车的费用购买B型公交车的费用1200万元，A型公交车的载客量B型公交车的载客量680万人次；据此列出不等式组，即可求解； 找出等量关系式和不等关系式是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，         由题意得，          解得，         答：购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元． （2）解：设购买A型公交车a辆，则购买B型公交车辆，           由题意得，          解得：，           因为a是整数， 所以取、、；           则取、、．           三种方案：①购买A型公交车6辆，B型公交车4辆；②购买A型公交车7辆，B型公交车3辆；③购买A型公交车8辆，B型公交车2辆． 15．（22-23七年级下·福建泉州·期末）第一届茶博会在海丝公园举行，全国各地客商齐聚于此，此届茶博会主题“精彩闽茶•全球共享”．一采购商看中了铁观音和大红袍这两种优质茶叶，并得到如表信息： 铁观音 大红袍 总价/元 质变/Akg 2 5 1800 3 1 1270 （1）求每千克铁观音和大红袍的进价； （2）若铁观音和大红袍这两种茶叶的销售单价分别为450元/kg、260元/kg，该采购商准备购进这两种茶叶共30kg，进价总支出不超过1万元，全部售完后，总利润不低于2660元，该采购商共有几种进货方案？（均购进整千克数）（利润＝售价﹣进价） 【思路点拨】 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用： （1）设每千克铁观音的进价是x元，每千克大红袍的进价是y元，利用总价=单价×数量，结合表格中的数据，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m千克铁观音，则购进千克大红袍，根据“进价总支出不超过1万元，全部售完后，总利润不低于2660元”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出该采购商共有2种进货方案． 【解题过程】 （1）解：设每千克铁观音的进价是x元，每千克大红袍的进价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：每千克铁观音的进价是350元，每千克大红袍的进价是220元； （2）设购进m千克铁观音，则购进千克大红袍， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为25，26， ∴该采购商共有2种进货方案． 16．（2024八年级·全国·竞赛）某运输公司有10名驾驶员和18名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和6辆载重量为6吨的乙型卡车．某天，该公司需运往A地至少80吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元． （1）若该公司派用10辆卡车，共有几种运输方案？ （2）哪种方案获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【思路点拨】 （1）设派用甲型卡车辆，根据题意列出不等式组，解不等式组即可得到答案； （2）根据（1）中求出的x的范围，确定方案，即可得到答案； 此题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题意，正确列出不等式组是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：设派用甲型卡车辆， 则 解得， 所以共有4种运输方案． （2）， 当，即派用甲型卡车8辆时，利润最大， 最大利润为（元）． 答：派用甲型卡车8辆，乙型卡车2辆，利润最大，最大利润为元． 17．（22-23七年级下·重庆渝中·期末）吃粽子是端午节的习俗，某糕点店推出的“海鸭蛋蛋黄粽”和“红豆鲜肉粽”深受顾客喜欢．“海鸭蛋蛋黄棕”每个售价是“红豆鲜肉粽”的倍，去年端午节期间，“海鸭蛋蛋黄粽”销量为3500个，“红豆鲜肉粽”销量为2500个，两款粽子销售额共为50000元． （1）求“海鸭蛋蛋黄粽”和“红豆鲜肉粽”的售价各是多少元？ （2）糕点店在今年端午节前夕，“海鸭蛋蛋黄粽”和“红豆鲜肉粽”的进货量均为去年端午节期间两种粽子销售量的两倍，计划利用店庆活动让利于新老顾客，对两种粽子都开展降价的促销活动；其中，“海鸭蛋蛋黄棕”每个让利0.5a元销售（a为整数），“红豆鲜肉粽”则按原售价打（5+a）折出售，并且降价后的“海鸭蛋蛋黄棕”售价不低于“红豆鲜肉粽”售价的2倍，最终两种粽子全部都销售了出去，且总销售额不超过84000元，求出a的值． 【思路点拨】 （1）设“红豆鲜肉粽”的售价是x元，则“海鸭蛋蛋黄粽”的售价是元，利用总销售额＝销售单价×销售数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出“红豆鲜肉粽”的售价，再将其代入中即可求出“海鸭蛋蛋黄粽”的售价； （2）根据降价后的“海鸭蛋蛋黄棕”售价不低于“红豆鲜肉粽”售价的2倍，且两种粽子全部售出后的总销售额不超过84000元，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，再结合a为整数，即可得出结论． 【解题过程】 （1）设“红豆鲜肉粽”的售价是x元，则“海鸭蛋蛋黄粽”的售价是元， 依题意得：， 解得：， ∴， 答：“海鸭蛋蛋黄粽”的售价为10元，“红豆鲜肉粽”的售价是6元． （2）依题意得：， 解得：， 又∵a为整数， ∴， 答：a的值为2． 18．（22-23七年级下·湖北宜昌·期末）某研学基地为激发来研学学生参与活动的积极性，经常组织竞赛活动，并购买保温杯和台灯作为奖品奖励学生．该基地在某超市购买保温杯、台灯若干次，其中前两次购买时，均按标价购买；成为老顾客后，从第三次购买开始，保温杯、台灯同时以相同折扣数的打折价购买．前三次购买保温杯、台灯的数量及费用如下表所示： 购买保温杯的数量/个 购买台灯的数量/个 购买总费用/元 第一次购买 5 4 800 第二次购买 3 7 940 第三次购买 9 8 912 （1）求保温杯、台灯的标价； （2）某日，甲、乙两校师生同时来到该基地研学，基地为两校组织了一次陶泥制作比赛，并颁发奖品20个保温杯和10个台灯（均按打折价购买），甲、乙两校各获得15个奖品，甲校所获奖品的购买金额不低于800元，乙校所获奖品的购买金额不低于750元，求甲、乙两校分别获得保温杯和台灯各多少个？ 【思路点拨】 （1）设保温杯、台灯的标价为x元和y元，根据表中给的数量关系列出二元一次方程组解答即可； （2）求出第三次商品购进的打折数，然后利用不等式组解题即可． 【解题过程】 （1）解：设保温杯、台灯的标价为x元和y元， ，解得， 答：保温杯、台灯的标价为80元和100元． （2）解：第三次购买的打折数为：折， 设甲校获得保温杯a个，则 , 解得， 又∵a为整数， ∴， ∴甲校分别获得保温杯和台灯个和个，乙校分别获得保温杯和台灯个和个． 19．（22-23七年级下·重庆九龙坡·阶段练习）某家具店经销A、B两种品牌的儿童床，已知A品牌儿童床的售价为4200元，利润率为，B品牌儿童床的成本价为4200元，而每张B品牌儿童床的售价在成本的基础上增长了． （1）该店销售记录显示，四月份销售两种儿童床共20张，且销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，求该店四月份售出两种品牌的儿童床的数量； （2）根据市场调研，该店五月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的，而用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，请通过计算设计所有可能的进货方案； （3）在（2）的条件下，该店打算将五月份按计划购进的30张儿童床全部售出后，所获得利润的用于购买甲、乙两款教学仪器捐赠给某希望小学．已知购买甲款仪器每台300元，购买乙款仪器每台130元，且所捐的钱恰好用完，求该店捐赠甲，乙两款仪器的数量． 【思路点拨】 （1）设该店四月份售出品牌儿童床为张，品牌儿童床为张，根据四月份销售两种儿童床共20张和销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，可得二元一次方程组，解方程即可； （2）设该店四月份售出品牌儿童床为张，则品牌儿童床为张，根据购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的和两种儿童床的资金不超过115000元，可列一元一次不等式组，解不等式组即可解答； （3）在（2）的条件下，设该店捐甲、乙两款机器的数量分别为台，分类讨论，求的正整数解，从而得出结论． 【解题过程】 （1）解：设该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张， 根据题意可得方程， 解得， 该店四月份售出品牌儿童床为张，品牌儿童床为张； （2）解：设该店四月份售出品牌儿童床为张，则品牌儿童床为张， 由题意可得， 解得， 是正整数， 或17， 或13， 故所有可能的进货方案由两种，分别为：该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张； （3）解：在（2）的条件下，设该店捐甲、乙两款机器的数量分别为台， ①当购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张时， 售出后的利润为（元）， ， 即， 是正整数， ， ②当购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张时， 售出后的利润为（元）， ， 即， 是正整数， 无解， 综上所述，该店捐甲、乙两款机器的数量分别为3台、13台． 20．（22-23七年级下·福建泉州·期中）已知：点、在数轴上的位置如图所示，为原点，点对应的数是90．点从点出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向点运动，同时点从点出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向点运动（当点运动到点时，点、均停止运动）．设运动的时间为秒．    （1）若、两点相遇，求的值；； （2）若、两点相距18个单位长度，求的值； （3）若在、相遇前，线段之间只有10个整数点（不包括点、点），求的取值范围． 【思路点拨】 （1）由两点的路程之和等于90，再列方程求解即可； （2）由两点的路程之和等于或，再列方程求解即可； （3）设这10个整数为、、、、、，则可得，解得，由①、②有公共部分，可得，解得：，再确定k的整数值，从而可得答案． 【解题过程】 （1）解：设经过后，点A、B相遇． 依题意，得， 解得：． 答：经过秒钟后，点A、B相遇； （2）设经过（），A、B两点相距，依题意， 得：或， 解得，或． 综上所述，或． 答：经过秒或秒后，A、B两点相距； （3）设这10个整数为、、、、、，则 解得： 有解 ①、②有公共部分 解得： 为整数 将代入①、②，得： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.4 一元一次不等式组的应用 · 典例分析 【典例1】某经销商计划购进A，B两种农产品.已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元． （1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？ （2）该经销商计划用不超过5160元购进A，B两种农产品40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？ 【思路点拨】 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用． （1）设A种农产品的每件价格是x元，B种农产品每件的价格是y元，根据“购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元”，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该经销商购进A种农产品m件，则购进B种农产品件，利用总价单价数量，结合购进A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍且总价不超过5160元，列出一元一次不等式组，解之得出m的取值范围，根据m为正整数，分别求出利润比较即可． 【解题过程】 （1）解：设A种农产品的每件价格是x元，B种农产品每件的价格是y元， 依题意得： ， 解得：， 答：A种农产品每件的价格是120元，B种农产品每件的价格是150元； （2）解：设该经销商购进A种农产品m件，则购进B种农产品件， 依题意得：， 解得：， m为正整数， m可取28，29，30， 当购进A种农产品28件，则购进B种农产品件， 则 （元）， 当购进A种农产品29件，则购进B种农产品件， 则 （元）， 当购进A种农产品30件，则购进B种农产品件， 则 （元）， ， 购进A种农产品28件，则购进B种农产品件时获利最多， 答：购进A种农产品28件，则购进B种农产品件时获利最多． · 学霸必刷 1．（23-24八年级上·浙江金华·期中）八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学有植树但植树棵数不到3棵．则同学人数为（    ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 2．（22-23八年级上·广东东莞·开学考试）五月初五端午节这天，妈妈让小明去超市买豆沙馅和蛋黄鲜肉馅的粽子．豆沙馅的每个卖2元，蛋黄鲜肉馅的每个卖3元，两种的粽子至少各买一个，买粽子的总钱数不能超过15元．则不同的购买方案的个数为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 3．（22-23七年级下·江苏南通·期末）已知a，b，c是三个非负数，且满足，，设，则s的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）某公司组织员工去公园划船，报名人数不足50，在安排乘船时发现，若每只船坐6人，则有18人无船可坐；若每只船坐10人，则其余的船坐满后有一只船不空也不满，参加划船的员工共有 人． 5．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）圆圆去商店购买A，B两种书签，共用了10元钱，A种书签每枚1元，B种书签每枚2元．若每种书签至少买一枚，且A种书签的数量比B种书签的数量多，则A种书签至少购买 枚． 6．（22-23八年级下·四川达州·阶段练习）“书香文化节”是我校的四大节日之一，某年级甲、乙、丙三个班在“书香文化节”期间各自建立了本班的图书角．建立之初这三个班的图书角的书籍总本数大于且小于．第一周结束后，三个图书角共补充了本图书，此时三个图书角的书本数量之比为；第二周结束后，三个图书角又共补充了本图书，此时三个图书角的书本数量之比为．若每个班的图书角的书籍总本书为正整数，则第二周结束后丙班图书角拥有书籍 本． 7．（22-23九年级上·重庆大足·期末）某大闸蟹养殖户十月捕捞了第一批成熟的大闸蟹，并以每只相同的价格（价格为整数）批发给某经销商．十一月该养殖户捕捞了第二批成熟的大闸蟹，并将这批大闸蟹根据品质及重量分为（小蟹）、（中蟹）、（大蟹）三类，每类按照不同的单价（价格都为整数）进行销售，若6只类蟹、5只类蟹和4只类蟹的价格之和正好是第一批蟹16只的价格，而1只类蟹和1只类蟹的价格之和正好是第一批蟹2只的价格，且类蟹与类蟹每只的单价之比为，根据市场有关部门的要求三类蟹的单价之和不低于38元、不高于65元，则第一批大闸蟹每只价格为 元． 8．（22-23七年级下·辽宁大连·期末）西岗区某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球已知购买个篮球和个足球需要元；购买个篮球和个足球需要元． （1）根据以上信息解答若需要购买个篮球和个足球需要多少钱； （2）学校计划采购篮球、足球共个，并要求篮球不少于个，且总费用不超过元，则有哪几种购买方案？ 9．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）为了庆祝国庆，学校准备举办“我和我的祖国”演讲比赛．学校计划为比赛购买A、B两种奖品．已知购买1个A种奖品和4个B种奖品共需120元；购买5个A种奖品和6个B种奖品共需250元． （1）求A，B两种奖品的单价． （2）学校准备购买A，B两种奖品共60个，且B种奖品的数量多于A种奖品数量的，购买预算不超过1285元，请问学校有哪几种购买方案． 10．（22-23七年级下·广西河池·期末）为了实现县域教育均衡发展，某县计划对，两类学校分批进行改进，根据预算，改造一所类学校和两所类学校共需资金万元，改造两所类学校和一所类学校共需资金万元． （1）改造一所类学校和一所类学校所需的资金分别是多少万元？ （2）该县计划今年对、两类学校共所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过万元，地方财政投入的改造资金不少于万元，其中地方财政投入到、两类学校的改造资金分别为每所万元和万元，请你通过计算求出改造方案？ 11．（22-23八年级上·浙江金华·期中）接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒． （1）求每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输多少盒疫苗； （2）计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗，A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500盒，且总费用小于54000元，请求出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 12．（22-23六年级下·上海静安·期末）某学校组织340名师生进行长途考察活动，参加活动的每位老师均携带了一件行李，参加活动的所有学生中有的学生携带了行李（携带行李的学生每人携带一件），老师学生共带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车共10辆，经了解，甲种车每辆最多能载40人和16件行李，乙种车每辆最多能载30人和20件行李． （1）请问参加活动的老师和学生各有多少人？ （2）请你帮助学校列出所有可行的租车方案． 13．（2024七年级下·全国·专题练习）在北京进行的2022年冬季奥运会和冬季残奥会备受世界人士关注．吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”玩具随之大卖，购买8个“冰墩墩”和4个“雪容融”玩具共需960元，购买6个“冰墩墩”和8个“雪容融”玩具共需1020元． （1）分别求出“冰墩墩”和“雪容融”玩具的销售单价． （2）若每个“冰墩墩”玩具制作成本为60元，每个“雪容融”玩具成本为40元，准备制作两种吉祥物玩具共100个，总成本不超过5000元，且销售完该批次吉祥物玩具，利润不低于2480元，请问有哪几种制作方案？ 14．（22-23七年级下·山西忻州·阶段练习）为保护环境，我市公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆．若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元． （1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？ （2）预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？ 15．（22-23七年级下·福建泉州·期末）第一届茶博会在海丝公园举行，全国各地客商齐聚于此，此届茶博会主题“精彩闽茶•全球共享”．一采购商看中了铁观音和大红袍这两种优质茶叶，并得到如表信息： 铁观音 大红袍 总价/元 质变/Akg 2 5 1800 3 1 1270 （1）求每千克铁观音和大红袍的进价； （2）若铁观音和大红袍这两种茶叶的销售单价分别为450元/kg、260元/kg，该采购商准备购进这两种茶叶共30kg，进价总支出不超过1万元，全部售完后，总利润不低于2660元，该采购商共有几种进货方案？（均购进整千克数）（利润＝售价﹣进价） 16．（2024八年级·全国·竞赛）某运输公司有10名驾驶员和18名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和6辆载重量为6吨的乙型卡车．某天，该公司需运往A地至少80吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元． （1）若该公司派用10辆卡车，共有几种运输方案？ （2）哪种方案获得的利润最大，最大利润是多少元？ 17．（22-23七年级下·重庆渝中·期末）吃粽子是端午节的习俗，某糕点店推出的“海鸭蛋蛋黄粽”和“红豆鲜肉粽”深受顾客喜欢．“海鸭蛋蛋黄棕”每个售价是“红豆鲜肉粽”的倍，去年端午节期间，“海鸭蛋蛋黄粽”销量为3500个，“红豆鲜肉粽”销量为2500个，两款粽子销售额共为50000元． （1）求“海鸭蛋蛋黄粽”和“红豆鲜肉粽”的售价各是多少元？ （2）糕点店在今年端午节前夕，“海鸭蛋蛋黄粽”和“红豆鲜肉粽”的进货量均为去年端午节期间两种粽子销售量的两倍，计划利用店庆活动让利于新老顾客，对两种粽子都开展降价的促销活动；其中，“海鸭蛋蛋黄棕”每个让利0.5a元销售（a为整数），“红豆鲜肉粽”则按原售价打（5+a）折出售，并且降价后的“海鸭蛋蛋黄棕”售价不低于“红豆鲜肉粽”售价的2倍，最终两种粽子全部都销售了出去，且总销售额不超过84000元，求出a的值． 18．（22-23七年级下·湖北宜昌·期末）某研学基地为激发来研学学生参与活动的积极性，经常组织竞赛活动，并购买保温杯和台灯作为奖品奖励学生．该基地在某超市购买保温杯、台灯若干次，其中前两次购买时，均按标价购买；成为老顾客后，从第三次购买开始，保温杯、台灯同时以相同折扣数的打折价购买．前三次购买保温杯、台灯的数量及费用如下表所示： 购买保温杯的数量/个 购买台灯的数量/个 购买总费用/元 第一次购买 5 4 800 第二次购买 3 7 940 第三次购买 9 8 912 （1）求保温杯、台灯的标价； （2）某日，甲、乙两校师生同时来到该基地研学，基地为两校组织了一次陶泥制作比赛，并颁发奖品20个保温杯和10个台灯（均按打折价购买），甲、乙两校各获得15个奖品，甲校所获奖品的购买金额不低于800元，乙校所获奖品的购买金额不低于750元，求甲、乙两校分别获得保温杯和台灯各多少个？ 19．（22-23七年级下·重庆九龙坡·阶段练习）某家具店经销A、B两种品牌的儿童床，已知A品牌儿童床的售价为4200元，利润率为，B品牌儿童床的成本价为4200元，而每张B品牌儿童床的售价在成本的基础上增长了． （1）该店销售记录显示，四月份销售两种儿童床共20张，且销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，求该店四月份售出两种品牌的儿童床的数量； （2）根据市场调研，该店五月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的，而用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，请通过计算设计所有可能的进货方案； （3）在（2）的条件下，该店打算将五月份按计划购进的30张儿童床全部售出后，所获得利润的用于购买甲、乙两款教学仪器捐赠给某希望小学．已知购买甲款仪器每台300元，购买乙款仪器每台130元，且所捐的钱恰好用完，求该店捐赠甲，乙两款仪器的数量． 20．（22-23七年级下·福建泉州·期中）已知：点、在数轴上的位置如图所示，为原点，点对应的数是90．点从点出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向点运动，同时点从点出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向点运动（当点运动到点时，点、均停止运动）．设运动的时间为秒．    （1）若、两点相遇，求的值；； （2）若、两点相距18个单位长度，求的值； （3）若在、相遇前，线段之间只有10个整数点（不包括点、点），求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$