专题3.3 不等式（组）与方程（组）的综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题3.3 不等式（组）与方程（组）的综合 · 典例分析 【典例1】新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” （1）在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是______；（填序号） （2）若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； （3）若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围． 【思路点拨】 （1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“关联方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可； （3）先求出不等式组的解集，不等式组有4个整数解，即可得出的范围，然后求出方程的解为，根据“关联方程”的定义得出关于的不等式，最后取公共部分即可． 【解题过程】 解：（1）①，解得； ②，解得； ③，解得； 解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， ∵，在范围内， ∴不等式组“关联方程”是①②； 故答案为：①②； （2）解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， 关于的方程的解为， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴在范围内 ∴， 解得； （3）解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， ∵此时不等式组有4个整数解， ∴， 解得 关于的方程的解为， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴在范围内 ∴， 解得， 综上所述，． · 学霸必刷 1．（2023下·福建福州·七年级统考期末）已知、、满足，，且、、都为正数．设，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2023七年级下·重庆北碚·阶段练习）已知关于x的方程的解是非负数，且关于的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A．27 B．28 C．35 D．36 3．（2023下·全国·七年级专题练习）若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（　　） A．12 B．6 C． D． 4．（2023下·江苏南通·七年级阶段练习）已知关于x，y的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②当时，x，y的值互为相反数；③若，则；④的最大值为11，其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．②③④ D．①②④ 5．（2023下·江苏苏州·七年级阶段练习）若a，b满足，则S的取值范围是 ． 6．（2023下·山东济宁·七年级统考阶段练习）已知非负实数满足，记．则的最大值减去最小值的差为 ． 7．（2023下·福建泉州·七年级泉州五中校考期中）已知，同时满足，，若，，且x只能取两个整数，则a的取值范围是 ． 8．（2023下·河南周口·七年级校联考阶段练习）若整数a使关于x的不等式组有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ． 9．（2023下·河南南阳·七年级期中）已知：方程组的解中，是非负数，是正数．求所有满足题意的整数的和． 10．（2023下·江西宜春·七年级期中）若整数使关于的不等式组有解，且使关于，的方程组 的解为正整数，求所有满足条件的整数的值的积 11．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知方程组的解满足x为非正数，y不大于0． （1）求m的取值范围； （2）在m的取值范围内，求当m为何整数时，不等式的解为； （3）若，求p的最大值与最小值． 12．（2023下·湖北恩施·七年级阶段练习）阅读理解：我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则为，例如：． （1）填空：若，则___________，，则x的取值范围___________． （2）芳对于正整数m、n，满足，求的值； （3）若对于两个非负数x、y，满足，求实数k的取值范围． 13．（2023下·江苏南通·七年级阶段练习）如图，数轴上两点A、B对应的数分别是，1，点P是线段上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．    （1）在，0，2，3.5四个数中，连动数有______； （2）若k使得方程组中的x，y均为连动数，求k所有可能的取值； （3）若关于x的不等式组的解集中恰好有3个连动整数，求这3个连动整数的值及a的取值范围． 14．（2023下·福建泉州·七年级泉州七中校考期中）数学课上老师写了一个关于x，y的二元一次方程，（其中a为常数且）． （1）若是该方程的一个解，求a的值： （2）聪明的小明发现，当a每取一个值时，都可得到一个方程，而这些方程有一个公共解，请你帮小明求出这个公共解； （3）由得到用含x，y的代数式表示a，则______；当，时，；当，时，，在上述条件下，若m恰好有4个整数解，求n的取值范围． 15．（2023下·山西吕梁·七年级统考阶段练习）综合与探究 对实数x，y，我们定义一种新运算：（其中a，b为常数）．例如：，．已知，． （1）a＝ ，b＝ ． （2）已知x，y为非负整数，求关于x，y的方程的解． （3）若关于x，y的方程组的解满足，且m为非负整数，求m的值． （4）若关于x的不等式恰好有3个正整数解，求n的取值范围． 16．（2023上·湖南长沙·八年级校考开学考试）已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“完美解”． （1）已知①，②，③，则方程的解是不等式 （填序号）的“完美解”； （2）若是方程组与不等式的一组“完美解”，求a的取值范围； （3）若是方程与不等式组的“完美解”，求的取值范围． 17．（2023下·江苏连云港·七年级东海实验中学校考阶段练习）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． （1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； ①； ②． （2）若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围； （3）若关于x的组合是“无缘组合”；求a的取值范围． 18．（2023七年级下·湖南长沙·期末）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解” （1）已知①，②，③，试判断方程解是否为它与它们中某个不等式的“梦想解”； （2）若关于x，y的二元一次方程组的解是不等式组的梦想解，且m为整数，求m的值． （3）若关于x的方程的解是关于x的不等式组的“梦想解”，且此时不等式组有7个整数解，试求m的取值范围． 19．（2023下·湖南长沙·七年级校联考期末）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“包含”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解． 例如：不等式被不等式“包含”． （1）下列不等式（组）中，能被不等式“包含”的是 ． A、   B、      C、     D、 （2）若关于x的不等式被“包含”，若且，求M的最小值． （3）已知 ，，且k为整数，关于x的不等式P：，Q：，请分析是否存在k，使得P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由． 20．（2023下·福建福州·七年级期末）阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： （1）请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”______（直接填写序号） ①， ②， ③； （2）若是方程组与不等式的“理想解”，求q的取值范围； （3）当时，方程的解都是此方程与不等式的“理想解”．若且满足条件的整数n有且只有一个，求m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 不等式（组）与方程（组）的综合 · 典例分析 【典例1】新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” （1）在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是______；（填序号） （2）若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； （3）若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围． 【思路点拨】 （1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“关联方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可； （3）先求出不等式组的解集，不等式组有4个整数解，即可得出的范围，然后求出方程的解为，根据“关联方程”的定义得出关于的不等式，最后取公共部分即可． 【解题过程】 解：（1）①，解得； ②，解得； ③，解得； 解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， ∵，在范围内， ∴不等式组“关联方程”是①②； 故答案为：①②； （2）解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， 关于的方程的解为， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴在范围内 ∴， 解得； （3）解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， ∵此时不等式组有4个整数解， ∴， 解得 关于的方程的解为， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴在范围内 ∴， 解得， 综上所述，． · 学霸必刷 1．（2023下·福建福州·七年级统考期末）已知、、满足，，且、、都为正数．设，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 把当作常数解方程组，再代入，根据、、都为正数，求出的取值范围，从而求解． 【解题过程】 解：，， ，， ， 、、都为正数， ∴， ， ， ． 故选：A． 2．（2023七年级下·重庆北碚·阶段练习）已知关于x的方程的解是非负数，且关于的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A．27 B．28 C．35 D．36 【思路点拨】 表示出关于的方程的解，由方程有非负数解确定出的取值范围，再表示出不等式组的解集，由不等式组至多有3个整数解，得到的取值范围．再根据为整数，即可得出结果． 【解题过程】 解：解关于x的方程，得， 当时，原等式不成立， ， ， 解得：； 解不等式，得， 解不等式，得， ∵原不等式组至多有3个整数解， ，得， 故的取值范围是， 为整数， ， 符合条件的所有整数的和为， 故选：A． 3．（2023下·全国·七年级专题练习）若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（　　） A．12 B．6 C． D． 【思路点拨】 根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 【解题过程】 解：， ，得：， 解得， ，得：， 解得， ∵， ∴， 解得， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组只有3个整数解， ∴， 解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 4．（2023下·江苏南通·七年级阶段练习）已知关于x，y的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②当时，x，y的值互为相反数；③若，则；④的最大值为11，其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．②③④ D．①②④ 【思路点拨】 先利用加减消元法求出即可判断①②；根据推出，则即可判断③；先推出，再结合a的取值范围即可判断④． 【解题过程】 解： 用①-②得：，解得， 将代入①得：，解得， ∴方程组的解为， 把代入到中得， 解得符合题意，故①正确； 当时，， ∴，x，y的值互为相反数，故②正确； ∵， ∵， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴S的最大值为11，故④正确； 故选D． 5．（2023下·江苏苏州·七年级阶段练习）若a，b满足，则S的取值范围是 ． 【思路点拨】 将两式联立，得到方程组，解之得到，根据非负数的性质得到不等式组，解之可得S的范围． 【解题过程】 解：联立， 解得：， ∵，， ∴， 解得：， 故答案为：． 6．（2023下·山东济宁·七年级统考阶段练习）已知非负实数满足，记．则的最大值减去最小值的差为 ． 【思路点拨】 设，将用表示出来，由均为非负实数得关于的不等式组，求出取值范围，再将转化为的代数式，由的范围即可确定的最大值和最小值，从而即可求差． 【解题过程】 解：设， ∴，，， ∵，，， ∴， 解不等式组得， ∵， ∴， ∵,即， 的最大值为，最小值为10， 的最大值减去最小值的差， 故答案为：． 7．（2023下·福建泉州·七年级泉州五中校考期中）已知，同时满足，，若，，且x只能取两个整数，则a的取值范围是 ． 【思路点拨】 设两个整数为n，n+1，利用a这个量交叉传递，得到n的值，从而求解． 【解题过程】 解：由①与②进行如下运算： ①×3+②得到：4x+4y＝12， ∴x+y＝3， ∴， ∵，， ∴， 故， ∵x只能取两个整数， 故令整数的值为n，n+1， 则，， 故， ∴，且， ∴， ∴， ∴ ∴． 8．（2023下·河南周口·七年级校联考阶段练习）若整数a使关于x的不等式组有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ． 【思路点拨】 根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数得到即可解答． 【解题过程】 解：， 解不等式①得， 解不等式②得，， 不等式组有4个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入②得：，解得 方程组的解为：， ∵， ∴， 关于的方程组的解为整数， ， 当时，，符合题意； 所有满足条件的整数的值为． 故答案为：． 9．（2023下·河南南阳·七年级期中）已知：方程组的解中，是非负数，是正数．求所有满足题意的整数的和． 【思路点拨】 将当成常数，解二元一次方程组组，根据题意得，求出的范围即可得到答案． 【解题过程】 解：解该方程组得 ， ∵ ， ∴，解该不等式组得 ， 又∵k为整数 ， ∴k =0，1，2，3， 则所有整数的和为0+1+2+3 = 6． 10．（2023下·江西宜春·七年级期中）若整数使关于的不等式组有解，且使关于，的方程组 的解为正整数，求所有满足条件的整数的值的积 【思路点拨】 先根据不等式组有解求出a的范围，再根据关于x，y的方程组的解为正整数确定所有满足条件的整数a的值，最后求积即可解答． 【解题过程】 解：整理不等式组可得：， 由不等式组有解，得到，解得：， 解方程组，得， ∵关于x，y的方程组的解为正整数， ∴的值为或或或或或， ∴a的值为1或0或或或或， ∵a＜0， ∴a的值为或或或， ∴所有满足条件的整数a的值的积是． 11．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知方程组的解满足x为非正数，y不大于0． （1）求m的取值范围； （2）在m的取值范围内，求当m为何整数时，不等式的解为； （3）若，求p的最大值与最小值． 【思路点拨】 （1）首先对方程组进行化简，根据方程的解满足 为非正数， 不大于 0 ，就可以得出 的范围； （2） 解不等式 ，再根据即可求解； （3）分，，三种情况进行分类讨论； 【解题过程】 （1）解原方程组得：， 因为 为非正数， 不大于 0 ， 所以可得：， 解得： ； （2）解不等式 得： ， 因为 ， 所以 ， 解得: ， 所以 ， 所以整数 的值为 或 ； （3）因为 ， 当 时，， 因为 ， 所以当 时， 有最大值是 5 ； 当 时， 有最小值是 ， 当 时，， 综上所述， 的最大值是 5 ， 最小值是． 12．（2023下·湖北恩施·七年级阶段练习）阅读理解：我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则为，例如：． （1）填空：若，则___________，，则x的取值范围___________． （2）芳对于正整数m、n，满足，求的值； （3）若对于两个非负数x、y，满足，求实数k的取值范围． 【思路点拨】 （1）根据二阶行列式的运算法则，列出方程或不等式，即可求解； （2）根据二阶行列式的运算法则，列出不等式，即可求解； （3）根据二阶行列式的运算法则，列出方程组，求出x，y，再根据均为非负数，得到关于k的不等式组，即可求解． 【解题过程】 （1）解：根据题意得：， 解得：， 根据题意得：， 解得：； 故答案为：，； （2）解：由题意得，， ， 是正整数， ，或 ； （3）解：由题意可得， ， 得：，解得：， 将代入②，得：， 解得， 均为非负数， ， 解得． 13．（2023下·江苏南通·七年级阶段练习）如图，数轴上两点A、B对应的数分别是，1，点P是线段上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．    （1）在，0，2，3.5四个数中，连动数有______； （2）若k使得方程组中的x，y均为连动数，求k所有可能的取值； （3）若关于x的不等式组的解集中恰好有3个连动整数，求这3个连动整数的值及a的取值范围． 【思路点拨】 （1）根据连动数的定义即可确定； （2）先表示出x，y的值，再根据连动数的范围求解即可； （3）求得不等式的解，根据连动整数的概念得到关于a的不等式，解不等式即可求得． 【解题过程】 （1）解：∵点P是线段上一动点，点A、点B对应的数分别是，1， 又∵， ∴连动数Q的范围为：或， ∴连动数有，2； 故答案为：，2； （2）解：， 得：， 得：， 要使x，y均为连动数， 或，解得或， 或，解得或， ∴或或； （3）解：解得： ， ∵解集中恰好有3个解是连动整数， ∴四个连动整数解为，1，2， ∴， ∴ ∴a的取值范围是． 14．（2023下·福建泉州·七年级泉州七中校考期中）数学课上老师写了一个关于x，y的二元一次方程，（其中a为常数且）． （1）若是该方程的一个解，求a的值： （2）聪明的小明发现，当a每取一个值时，都可得到一个方程，而这些方程有一个公共解，请你帮小明求出这个公共解； （3）由得到用含x，y的代数式表示a，则______；当，时，；当，时，，在上述条件下，若m恰好有4个整数解，求n的取值范围． 【思路点拨】 （1）把代入，求解即可； （2）由方程的解与a无关，可得方程组，根据解方程组，可得答案； （3）化简整理用含x，y的代数式表示a，之后将两种情况下的x、y代入a，可得，再根据题意得到，解之即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵是该方程的一个解， ∴， 解得：； （2）解：原方程整理得， 由题意得，方程的解与a无关， ∴， 解得， ∴这个公共解为； （3）解：， 即， ∴， ∴； 当，时，， 此时，即， ∴， 当，时，， 此时，即， ∴， ∴， ∵m恰好有4个整数解， ∴4个整数解为， ∴， 解得． 15．（2023下·山西吕梁·七年级统考阶段练习）综合与探究 对实数x，y，我们定义一种新运算：（其中a，b为常数）．例如：，．已知，． （1）a＝ ，b＝ ． （2）已知x，y为非负整数，求关于x，y的方程的解． （3）若关于x，y的方程组的解满足，且m为非负整数，求m的值． （4）若关于x的不等式恰好有3个正整数解，求n的取值范围． 【思路点拨】 （1）根据题目定义的新运算，结合，即可得出答案； （2）根据（1）中求解的a、b的值，结合、x，y为非负整数即可解出答案； （3）根据得出，将其两式相加，结合即可得到m的取值范围，再结合m为非负整数即可求解； （4）根据求解得到x的取值范围，再根据恰好有3个正整数解即可得到n的范围； 【解题过程】 （1）解：， 解得：； （2）解：由（1）知，， 则． ∵x，y为非负整数， ∴或． （3）解：依题意， ①＋②化简得． ∵，即 解得． 又∵m为非负整数， ∴m的值为0或1或2． （4）解：依题意得，解得． ∵此不等式有3个正整数解， ∴， 解得． 16．（2023上·湖南长沙·八年级校考开学考试）已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“完美解”． （1）已知①，②，③，则方程的解是不等式 （填序号）的“完美解”； （2）若是方程组与不等式的一组“完美解”，求a的取值范围； （3）若是方程与不等式组的“完美解”，求的取值范围． 【思路点拨】 （1）根据“完美解”的定义代入计算即可判断； （2）将上述两个方程相加可得：，再根据“完美解”得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可求解； （3）根据题意可得，即可得，，问题随之得解． 【解题过程】 （1）解，得：， ①，则方程的解不是不等式①的“完美解”； ②，则方程的解不是不等式②的“完美解”； ③，则方程的解是不等式③的“完美解”； 故答案为：③； （2）， 将上述两个方程相加可得：， 即有， ∵是方程组与不等式的一组“完美解”， ∴， 解得：， （3）根据题意有：， 解得：，， ∴， ∴， 即的取值范围为：． 17．（2023下·江苏连云港·七年级东海实验中学校考阶段练习）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． （1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； ①； ②． （2）若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围； （3）若关于x的组合是“无缘组合”；求a的取值范围． 【思路点拨】 （1）先求方程的解，再解不等式，根据“有缘组合”和“无缘组合“的定义，判断即可； （2）先解方程和不等式，然后根据“有缘组合”的定义求a的取值范围； （3）先解方程和不等式，然后根据“无缘组合”的定义求a的取值范围． 【解题过程】 解：（1）①∵2x-4＝0， ∴x=2， ∵5x-2＜3， ∴x＜1， ∵2不在x＜1范围内， ∴①组合是“无缘组合”； ②， 去分母，得：2（x-5）＝12-3（3-x）， 去括号，得：2x-10＝12-9+3x， 移项，合并同类项，得：x＝-13． 解不等式， 去分母，得：2（x+3）-4＜3-x， 去括号，得：2x+6-4＜3-x， 移项，合并同类项，得：3x＜1， 化系数为1，得：x＜． ∵-13在x＜范围内， ∴②组合是“有缘组合”； （2）解方程5x+15＝0得， x＝-3， 解不等式，得： x＞a， ∵关于x的组合是“有缘组合”， ∴-3在x＞a范围内， ∴a＜-3； （3）解方程， 去分母，得5a-x-6＝4x-6a， 移项，合并同类项，得：5x＝11a-6， 化系数为1得：x＝， 解不等式+1≤x+a， 去分母，得：x-a+2≤2x+2a， 移项，合并同类项，得：x≥-3a+2， ∵关于x的组合是“无缘组合， ∴<-3a+2， 解得：a<． 18．（2023七年级下·湖南长沙·期末）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解” （1）已知①，②，③，试判断方程解是否为它与它们中某个不等式的“梦想解”； （2）若关于x，y的二元一次方程组的解是不等式组的梦想解，且m为整数，求m的值． （3）若关于x的方程的解是关于x的不等式组的“梦想解”，且此时不等式组有7个整数解，试求m的取值范围． 【思路点拨】 （1）先求出方程的解和不等式组的解集，即可判断； （2）先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出，解不等式组即可； （3）先求出不等式组的解集，不等式组有7个整数解，即可得出，然后解方程得：，，根据“梦想解”的定义得出，即可得出． 【解题过程】 （1）解方程得， 解①得：，故方程不是①的“梦想解”； 解②得：，故方程不是②“梦想解”； 解③得：，故方程是③的“梦想解”； 故答案为：③ （2）解方程 得： ∴ ∵解是不等式组的梦想解 ∴ ∴ m为整数， ∴m为14或15； （3）解不等式组得：， 不等式组的整数解有7个， 令整数的值为，，，，，， 则有：，． 故， 且， ， ， ， ， 解方程得：， 方程是关于的不等式组的“梦想解”， ， 解得， 综上的取值范围是． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式（组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“关联方程”是解题的关键． 19．（2023下·湖南长沙·七年级校联考期末）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“包含”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解． 例如：不等式被不等式“包含”． （1）下列不等式（组）中，能被不等式“包含”的是 ． A、   B、      C、     D、 （2）若关于x的不等式被“包含”，若且，求M的最小值． （3）已知 ，，且k为整数，关于x的不等式P：，Q：，请分析是否存在k，使得P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）分别求出四个选项中不等式（组）的解集，再根据“包含”关系的定义逐一判断即可； （2）根据题意可得，解得，再根据已知条件推出，由此即可得到答案； （3）先解方程组得到，再由，，求出，再根据P、Q之间的包含关系求出，由此即可得到答案． 【解题过程】 （1）解：A、不等式的解集为， ∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意 B、不等式的解集为， ∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意 C、不等式的解集为， ∴不等式能被不等式“包含”，符合题意 D、不等式组无解， ∴不等式组不能被不等式“包含”，不符合题意 故选C； （2）解：关于x的不等式被“包含”， ∴ 解得 ，    又∵， 解得． ∴， ∵， ∴ ， ∴M的最小值是19． （3）解：解方程组得 ∵，， ∴ 解得， ∵k为整数， ∴k的值为，0，1，2； 不等式P：整理得，；不等式Q：的解集为 ， ∵P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含” ∴不等式P：的解集为 ， ∴，且， 解得， ∴． 20．（2023下·福建福州·七年级期末）阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： （1）请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”______（直接填写序号） ①， ②， ③； （2）若是方程组与不等式的“理想解”，求q的取值范围； （3）当时，方程的解都是此方程与不等式的“理想解”．若且满足条件的整数n有且只有一个，求m的取值范围． 【思路点拨】 （1）根据“理想解”的定义进行求解即可； （2）把代入相应的方程组和不等式，从而求得q的取值范围； （3）根据当时，方程的解都是此方程与不等式的“理想解”，可求得， ，从而得到，结合且满足条件的整数n有且只有一个，此时n恰好有一个整数解－2，从而可求m的范围． 【解题过程】 （1）解：3x-5=4， 解得：x=3， 当x=3时， ①， 解得：，故①不符合题意； ②， 解得：x≤3，故②符合题意； ③， 解得， 故不等式组的解集是：，故③符合题意； 故答案为：②③； （2）解：∵是方程组与不等式的“理想解” ∴， 解得， ∴， 解得； （3）解：∵当时，方程的解都是此方程与不等式的“理想解”， ∴， 解得， 由解得． 当时， ∴， 即. ∵方程的解都是此方程与不等式的“理想解”， ∴， ∴． ∵满足条件的整数n有且只有一个， ∴ ∴ 解得 ∴， ， ∴此时n恰好有一个整数解-2， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$