22.2 二次函数与一元二次方程 新知梳理+典型例题+配套+练习题 2024-2025学年人教版数学九年级上册

22.2 二次函数与一元二次方程 ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 【题型1】判断抛物线与x轴的交点的情况 3 【题型2】利用二次函数求一元二次方程的近似解 6 【题型3】根据抛物线与x轴交点的个数求字母的值（或范围） 10 1．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 2．二次函数图象与x轴的交点和一元二次方程根的关系 对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）， （1）当Δ＝b2﹣4ac＞0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有2个交点（x1，0），（x2，0）； 一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （2）当Δ＝b2﹣4ac＝0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有1个交点（x1，0）； 一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根x1=x2． （3）当Δ＝b2﹣4ac＜0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有交点； 一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实数根． 3．二次函数与二次不等式的关系 利用二次函数图象求二次不等式的步骤： （1）作出二次函数的图象，并由图象确定图象与x轴有无交点，有几个交点； （2）观察图象，根据y＝ax2+bx+c图象位于x轴上方的部分求得不等式ax2+bx+c>0的解； 根据y＝ax2+bx+c图象位于x轴下方的部分求得不等式ax2+bx+c<0的解． 若y＝ax2+bx+c的图象没有位于x轴上方的部分，则不等式ax2+bx+c>0无解． 若y＝ax2+bx+c的图象没有位于x轴下方的部分，则不等式ax2+bx+c<0无解． 1．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 2．利用二次函数图象解二次不等式时注意抛物线的开口方向． 3．当函数图象与x轴必有交点时，函数所对应的方程的Δ≥0；函数图象过原点，即当x=0时，y=0；寻求y<0及y>0时x的取值范围，可利用其图象回答． 【题型1】判断抛物线与x轴的交点的情况 例1 （2024春•江阴市月考）二次函数的图象与轴公共点的个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 【分析】先计算出根的判别式的值得到△，然后根据根的判别式的意义得到抛物线与轴公共点的个数． 【解答】解：△， 二次函数的图象与轴只有一个公共点． 故选：． ◄ 点拨 ► 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根．抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点抛物线与轴相交； ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； ③没有交点抛物线与轴相离． 【变式1】　（2024•东莞市模拟）直线经过第一、三、四象限，则抛物线与轴的交点个数为　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【变式2】　（2024•雁塔区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线为常数）经过，且当时，的值随值的增大而减小，则该抛物线与轴交点的个数为　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【变式3】　（2023秋•海陵区期末）抛物线与轴的公共点个数为　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 1．【答案】 【分析】由直线经过第一、三、四象限可得，，再由△，可判断抛物线与轴无交点． 【解答】解：直线经过第一、三、四象限， ， 又由抛物线的解析式可知，△， 抛物线与轴无交点． 故选：． 2．【答案】 【分析】根据抛物线为常数）经过，可以得到的值，根据当时，的值随值的增大而减小和该抛物线的对称轴可以得到二次项系数的正负情况，从而可以得到的值，再令求出△的正负，从而可以判断该抛物线与轴交点的个数． 【解答】解：抛物线为常数）经过， ， 解得或， 抛物线的对称轴为直线，当时，的值随值的增大而减小， 该函数图象开口向上， ， ， ， 抛物线， 当时，， △， 该抛物线与轴交点的个数为0个， 故选：． 3．【答案】 【分析】根据根的判别式，可以得到方程时△的值，然后即可得到抛物线与轴的公共点个数． 【解答】解：抛物线， 当时，， △， 抛物线与轴的公共点个数为2个， 故选：． 【题型2】利用二次函数求一元二次方程的近似解 例2 （2024春•西山区校级期末）观察表格，估算一元二次方程的近似解： 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.19 0.44 由此可确定一元二次方程的一个近似解的范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】分析表格数据即可求解． 【解答】解：由表格中数据可知，逐渐增大，也随着增大， 当从1.6增大到1.7时，从负数为整数， 使得的在1.6到1.7之间． 故选：． ◄ 点拨 ► 1．利用抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标求一元二次方程ax2+bx+c=0的根．具体过程如下： ①在平面直角坐标系中画出抛物线y=ax2+bx+c； ②观察图象，确定抛物线与x轴的交点的横坐标； ③交点的横坐标为一元二次方程ax2+bx+c=0的根． 2．用两点夹逼法估计一元二次方程的根，具体方法如下：在交点（抛物线与x轴的交点）的两侧各取一点， 则一元二次方程的根在这两个点的横坐标之间． 3．通过取平均数求根的近似值，具体的操作过程如下： ①取使函数值异号且绝对值较小的两个自变量的值m，n； ②分别将，n（或，m）作为自变量的值代入函数解析式，判断其函数值是否异号； ③重复执行步骤①②，以提高根的估计值的精确度． 【变式4】　（2024春•海淀区校级月考）如表是若干组二次函数的自变量与函数值的对应值： 0.7 0.8 0.9 1.0 0.28 0.05 则下面哪个数是关于的方程的一个近似根（精确到　　 A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 【变式5】　（2024•潼关县一模）如表是部分二次函数的自变量与函数值的对应值： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 那么方程的一个根在　　范围之间． A． B． C． D． 【变式6】　（2023秋•头屯河区期末）如表给出了二次函数中，的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解（精确到为　　 2 2.1 2.2 2.3 2.4 0.24 0.89 1.56 A．2 B．2.1 C．2.2 D．2.3 4．【答案】 【分析】观察表格可得0.05更接近于0，得到方程的一个近似根（精确到是0.8，再由的对称轴为直线得到方程的另一个近似根（精确到是3.2． 【解答】解：二次函数， 对称轴为直线， 观察表格得：方程的一个近似根（精确到是0.8， 另一个近似根满足， ， 故选：． 5．【答案】 【分析】利用二次函数和一元二次方程的关系． 【解答】解：观察表格可知：当时，；当时，， 方程的一个根在范围是． 故选：． 6．【答案】 【分析】根据表格中的数据可得出“当时，；当时，．”由0.24更接近于0即可得出结论． 【解答】解：当时，；当时，． 更接近于0， 方程的一个近似根为2.2． 故选：． 【题型3】根据抛物线与x轴交点的个数求字母的值（或范围） 例3 若关于的函数与轴有两个不同的交点，则的值不可能是　　 A．4 B． C．5 D． 【答案】 【分析】关于的函数与轴有两个不同的交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，据此利用判别式求解即可． 【解答】解：关于的函数与轴有两个不同的交点， ， ， 四个选项中只有选项中的数不满足， 故选：． ◄ 点拨 ► 求二次函数图象与x轴的交点个数问题，可转化为判断对应的一元二次方程的根的个数． 【变式7】　（2024•犍为县模拟）若抛物线与轴有两个不同的交点，则的取值范围为　　 A． B． C．且 D．且 【变式8】　（2024•信阳一模）已知抛物线与轴有两个不同的交点，则的值可以为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9】　（2024•合肥模拟）已知二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为　　 A．1 B． C．2或 D．3或 7．【答案】 【分析】根据抛物线与轴有两个不同的交点，得出，进而求出的取值范围． 【解答】解：二次函数的图象与轴有两个交点 抛物线为二次函数 则的取值范围为且． 故选：． 8．【答案】 【分析】根据抛物线与轴有两个不同的交点，得出判别式△，从而得出结论． 【解答】解：抛物线与轴有两个不同的交点， 关于的方程有两个不同的实数根， △， 解得， 的值可以为4， 故选：． 9．【答案】 【分析】根据二次函数图象与轴有且只有一个交点，得出△，即可求出的值． 【解答】解：二次函数的图象与轴有且只有一个交点， △， 或， 故选：． 第1页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.2 二次函数与一元二次方程 ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 一、选择题（共10小题） 1．（2024•郓城县三模）若函数的图象与轴只有一个交点，则的值是　　 A．3或5 B．3 C．4 D．5 2．（2023秋•巧家县期末）二次函数的部分图象如图所示，可知方程的一个根为，则方程的另一个根为　　 A． B． C． D． 3．（2024秋•颍上县校级月考）关于二次函数的图象，下列说法正确的是　　 A．对称轴是直线 B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．图象与轴没有交点 4．（2024•瓯海区校级三模）二次函数的部分对应值如下表所示： 3 4 0 则当时，的取值范围为　　 A． B． C．或 D．或 5．（2023秋•东港区校级期末）已知二次函数的与的部分对应值如下表： 0 1 3 5 0 0 下列结论：①抛物线开口向上；②抛物线对称轴为直线；③的另一个解是；④当时，；⑤抛物线与轴的两个交点间的距离是4，其中，正确的个数　　 A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2023秋•昆明期末）已知抛物线与轴交于点，，则关于的方程的解是　　 A．， B．， C．， D．， 7．（2024•高新区校级三模）若关于的一元二次方程的一个根为2，则二次函数与轴的交点坐标为　　 A．、 B．、 C．、 D．、 8．（2023秋•东莞市期末）二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，设一元二次方程的根为，，且，则下列说法正确的是　　 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 0.13 A． B． C． D． 9．（2024•滑县二模）二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 10．（2023秋•嵩明县期末）根据下列表格，判断出方程的一个近似解（结果精确到是　　 3.5 2.08 0.82 A． B． C． D． 二、填空题（共10小题） 11．（2024春•海淀区校级期末）若抛物线与轴有公共点，则的取值范围是 　　． 12．（2024•丰城市校级开学）若函数的图象与坐标轴有两个不同的交点，则的值为 　　． 13．（2024•宁夏）若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是 　　． 14．（2023秋•岳阳县期末）二次函数与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的解为 　　． 15．（2024•道里区校级开学）如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若与轴的其中一个交点为，则由图象可知，与轴的另一个交点坐标是 　　． 16．（2024•瑶海区校级模拟）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围为　　． 17．（2024•天心区校级开学）方程的两个根是，，那么二次函数与轴的交点坐标是 　　． 18．（2023秋•兴宾区期末）抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是 　　 19．（2023秋•罗定市期末）如图是函数的部分图象，则该函数图象与轴负半轴的交点坐标是 　　． 20．（2024•东昌府区二模）如图，抛物线的顶点坐标是，若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 　　． 三、解答题（共5小题） 21．（2024•新会区校级开学）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 2 … y … ﹣3 ﹣4 ﹣3 5 … （1）求二次函数的解析式； （2）求该函数图象与x轴的交点坐标． 22．（2023秋•丰台区期末）已知二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表所示： 0 1 2 4 8 3 0 3 （1）求二次函数的解析式及顶点坐标； （2）直接写出当时，的取值范围． 23．（2024•岳麓区校级开学）已知二次函数． （1）函数的开口方向是 　　，对称轴是直线 　　； （2）函数的顶点式为 　　，与轴的交点坐标是 　　； （3）当 　　时，函数随的增大而增大；当 　　时，的值小于0； （4）该二次函数与一次函数的交点坐标为 　　． 24．（2024•兴宁区校级开学）已知二次函数，请解答下列问题： （1）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象（不用列表）； （2）此函数图象与轴的交点坐标为 　　； （3）直接写出当时，的取值范围． 25．（2024•西山区校级开学）已知二次函数为常数，且． （1）求证：该函数的图象与轴总有两个公共点； （2）若点，在函数图象上，比较与的大小． 一、选择题（共10小题） 1．【答案】 【分析】分及两种情况考虑：当时，由一次函数图象与轴只有一个交点，可得出符合题意；当时，由二次函数图象与轴只有一个交点结合根的判别式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值．综上即可得出结论． 【解答】解：①当，即时，， 令，则， 解得， 此时函数的图象与轴只有一个交点， ②当时， 二次函数的图象与轴只有一个交点， △， 解得． 综上所述，当图象与轴有且只有一个交点时，的值为3或5． 故选：． 2．【答案】 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，从而可确定方程的另一个根． 【解答】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 方程的根为，， 即方程的另一个根为． 故选：． 3．【答案】 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标，进而求解． 【解答】解：， 二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为， 故，错误，不符合题意； ， 抛物线开口向下， 顶点坐标为， 图象与轴没有交点， 故正确，符合题意； 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 故错误，不符合题意． 故选：． 4．【答案】 【分析】根据表格数据，利用二次函数的对称性可判断二次函数的对称轴，开口方向以及与轴的交点坐标；当时，函数图象在轴下方，据此求出的取值范围． 【解答】解：由表可知，二次函数图象的对称轴为直线， ，在此二次函数的图象上， 在对称轴左侧，随的增大而增大， 二次函数的图象开口向下，且与轴的交点为，， 当时，的取值范围为或． 故选：． 5．【答案】 【分析】先利用交点式求出抛物线解析式，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性可对②进行判断；利用抛物线对称性可对③进行判断；观察表格中数据，结合抛物线的开口方向可直接对④进行判断；利用与轴的交点坐标为，可对⑤进行判断． 【解答】解：设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 开口方向向上，①正确； 抛物线的对称轴为直线，所以②正确； 根据抛物线的对称性可知，当时，则当时，，故③正确； 抛物线与轴的交点坐标为，， 当时，，所以④错误，⑤正确． 故选：． 6．【答案】 【分析】利用抛物线与轴的交点的横坐标与一元二次方程根的联系即可得出结论． 【解答】解：与交于点，两点， 方程个根为，， 故选：． 7．【答案】 【分析】先把代入得出，再把代入，然后令，解方程即可． 【解答】解：关于的一元二次方程的一个根为2， ， 解得， 把代入中， 得， 当时，， 即， ， ， 解得或， 二次函数与轴的交点坐标为和， 故选：． 8．【答案】 【分析】根据表格找出的值接近0时对应的的值的取值范围，从而分析求解． 【解答】解：由表格可得： 当时，； 当时，， 又一元二次方程的根为，，且， ，， 故选：． 9．【答案】 【分析】一元二次方程的根即为二次函数的图象与直线的交点的横坐标，结合图象即可得到答案． 【解答】解方程可化为， 一元二次方程的根即为二次函数的图象与直线的交点的横坐标， 结合图象，可知二次函数的图象与直线有两个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根， 故选：． 10．【答案】 【分析】使的值最接近0的数即是方程的近似解，据此作答即可． 【解答】解：由表格数据可知，当时，的值为，最接近0， 故是方程的近似解， 故选：． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】． 【分析】根据抛物线与轴有公共点，△，列式计算即可． 【解答】解：抛物线与轴有交点， △， 解得：； 故答案为：． 12．【答案】或或0或1． 【分析】由题意函数与坐标轴有两个交点，要分两种情况：①函数为一次函数时；②函数为二次函数，分两种情况进行讨论，即当抛物线经过原点时，此时抛物线与轴还有一个除原点以外的交点；若抛物线不经过原点，则抛物线必与轴有一个交点，此时△，求出的值即可． 【解答】解：函数的图象与坐标轴有两个不同的交点， ①当函数为一次函数时，则即， 此时，与坐标轴有两个交点； ②当函数为二次函数时，即，分两种情况： 当抛物线经过原点时，，即， 此时， 则一个交点在原点，与轴的另一个交点为； 当抛物线不经过原点时，△， 解得：或1． 综上，或0或或1时，函数与坐标轴有两个交点， 故答案为：或或0或1． 13．【答案】． 【分析】利用根的判别式的意义得到△，然后解不等式即可． 【解答】解：二次函数的图象与轴有交点， △， 解得， 即的取值范围为． 故答案为：． 14．【答案】，． 【分析】根据抛物线的对称轴，确定抛物线与轴的两个交点的坐标，交点的横坐标就是方程的解． 【解答】解：二次函数的对称轴是， 关于的对称点为， 一元二次方程的解为，， 故答案为，． 15．【答案】． 【分析】利用抛物线的对称性即可求得抛物线与轴的另一个交点坐标． 【解答】解：点与关于直线对称， 抛物线与轴的另一个交点坐标为． 故答案为：． 16．【答案】． 【分析】利用根的判别式的意义得到△，然后解不等式即可． 【解答】解：根据题意得，△， 解得，， 的取值范围为， 故答案为：． 17．【答案】、，． 【分析】令，得到关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出二次函数图象与轴的交点坐标． 【解答】解：二次函数与轴的交点坐标的纵坐标是0，即的两根是该函数与轴交点的横坐标， 二次函数与轴的交点坐标是、，． 故答案为：、，． 18． 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，然后写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：抛物线的对称轴为直线， 而抛物线与轴的一个交点坐标为， 所以抛物线与轴的另一个交点坐标为， 所以当时，． 故答案为． 19．【答案】． 【分析】根据二次函数的性质，抛物线的对称轴为直线，然后写出点关于直线的对称点即可． 【解答】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为． 故答案为：． 20．【答案】． 【分析】将一元二次方程根的情况转化为抛物线与直线的交点问题，据此列式解答即可． 【解答】解：关于的一元二次方程无实数根， 抛物线与没有交点， 抛物线的顶点坐标是， ． 故答案为：． 三、解答题（共5小题） 21．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3； （2）（﹣3，0），（1，0）． 【分析】（1）由表格中的数据，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）求出y＝0时x的值，即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意，得c＝﹣3． 将点（2，5），（﹣1，﹣4）代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3； （2）当y＝0时，x2+2x﹣3＝0， 解得：x＝﹣3或x＝1， ∴该函数图象与x轴的交点坐标（﹣3，0），（1，0）． 22．【答案】（1）；顶点坐标为；（2）或． 【分析】（1）依据题意，观察表格数据，先求出对称轴是直线，顶点坐标为，从而可设二次函数的解析式为，又图象过，计算进而可以得解； （2）依据题意，令，得或，又抛物线开口向上，从而时，的取值范围是函数图象是轴上方的部分对应的自变量，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，根据表格数据，可得抛物线的对称轴是直线， 顶点坐标为． 可设二次函数的解析式为． 又图象过， ． ． 二次函数的解析式为． （2）由题意，令， 或． 又抛物线开口向上， 时，的取值范围是函数图象是轴上方的部分对应的自变量． 或． 23．【答案】（1）向下，； （2），，，； （3），或； （4），． 【分析】（1）根据二次函数系数的正负来判断开口方向，，开口向下，利用二次函数的顶点坐标公式，得到顶点坐标； （2）把二次函数解析式化为的形式，即可得到结果；当和时，即可得到函数图象与轴的交点坐标； （3）根据二次函数图象的对称轴，结合函数的开口方向，即可得到对称轴左边的部分函数随的增大而增大；根据图象中位于轴下方的部分，得到的值小于0时，对应的的范围； （4）由二次函数与一次函数解析式，组成联立方程组，解方程组，得到解，即为两函数的交点坐标． 【解答】解：二次函数， （1），，， ，对称轴， 二次函数的开口向下，对称轴为直线， 故答案为向下，； （2）， ， 顶点式：； 当时，， 即， ， ，， 与轴的交点坐标为，，， 故答案为：，，，； （3）二次函数的开口向下，对称轴为直线， 当时，函数随的增大而增大， 二次函数的开口向下，与轴的交点坐标为，，， 当或时，的值小于0， 故答案为：；或； （4）， 解得或， 交点坐标为，． 故答案为：，． 24．【答案】（1）见解答； （2）、； （3）或． 【分析】（1）由，画出函数的大致图象，即可求解； （2）令，则或，即可求解； （3）观察函数图象即可求解． 【解答】解：（1）， 函数的大致图象如下： （2）令，则或， 故答案为：、； （3）观察函数图象知，当时，的取值范围为：或． 25．【答案】（1）见解析； （2）当或时，；当时，；当时，． 【分析】（1）令，则，可求出，，再根据，即得出方程有两个不相等的解，即说明该函数的图象与轴总有两个公共点； （2）将，代入，得：，，从而可求出，最后分类讨论解答即可． 【解答】（1）证明：令，即， 或， ，， ，， 方程有两个不相等的实数根， 该函数的图象与轴总有两个公共点； （2）解：点，在函数图象上， 当时，， 当时，， ， 当或时，； 当时，； 当时，． 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $$