专题3.4 抛物线（特色专题卷）-2024-2025学年高二数学特色专题卷（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3.4 抛物线 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（23-24高二上·湖北黄石·期末）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于两点，若为等边三角形，则的值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（2024·湖北·一模）抛物线y2=2px（p>0）上一点M（3，y）到焦点F的距离|MF|=4，则抛物线的方程为（    ） A．y2=8x B．y2=4x C．y2=2x D．y2=x 4．（23-24高二上·重庆·期末）如图，过拋物线的焦点的直线与拋物线交于两点，与其准线交于点（点位于之间）且于点且，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三下·湖北·期中）若抛物线与圆x2+y2﹣2ax+a2﹣1＝0有且只有两个不同的公共点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C．﹣1＜a＜1 D．﹣1＜a＜1或 6．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知点是抛物线上的动点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·四川广安·一模）过抛物线的焦点F且倾斜角为锐角的直线与C交于两点A，B（横坐标分别为，，点A在第一象限），为C的准线，过点A与垂直的直线与相交于点M．若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 8．（2024·湖南益阳·一模）如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是的中点，且，则线段的长为（    ） A．5 B．6 C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高二上·广东·阶段练习）已知曲线．（    ） A．若，则C是圆，其半径为n B．若，则C是双曲线，其渐近线方程为 C．若，且，则C是椭圆，其焦点在x轴上 D．若C是等轴双曲线，则以原点为顶点以为准线的抛物线方程为 10．（23-24高三上·山西·期末）若为抛物线上的动点，焦点为，点，直线：，则下列说法正确的有（    ） A．的最小值为4 B．点到直线和轴的距离之和的最小值为 C．点到直线的距离的最小值为1 D．过，两点的直线与抛物线相交的弦长为8 11．（24-25高三上·江苏·阶段练习）如图，抛物线：的焦点为，过的直线交于两点，过分别作的准线的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则直线的方程为或 B． C．以线段为直径的圆与轴相切 D． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高三上·山东威海·阶段练习）焦点坐标为的抛物线的标准方程为 . 13．（2024·全国·模拟预测）如图，已知抛物线，圆，，为抛物线上的两点，，则直线被圆所截的弦长最小值为 ．    14．（24-25高三下·四川·阶段练习）已知AB，CD是过抛物线焦点F且互相垂直的两弦，则的值为 . 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（23-24高二上·广东汕头·期末）已知抛物线，焦点为，顶点为原点. （1）求抛物线的焦点坐标准线方程； （2）若，求到的距离； （3）若点在抛物线上移动，是的中点，求点的轨迹方程． 16．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知直线l过抛物线的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，，P为C的准线上一点． (1)求抛物线的标准方程； (2)求的面积． 17．（2024·云南保山·模拟预测）已知过点的抛物线的焦点为F，直线与抛物线的另一交点为B，点A关于x轴的对称点为. （Ⅰ）求p的值； （Ⅱ）求直线与x轴交点的坐标. 18．（23-24高二上·安徽黄山·期末）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. （1）求抛物线的方程； （2）过点（坐标原点）分别作交抛物线于两点(不与重合)，且.求证：直线过定点. 19．（24-25高二上·重庆长寿·阶段练习）已知点是抛物线上的一点，是焦点，是原点，若，. (1)求抛物线的方程； (2)过的两条直线，满足，交于、；交于、，，的面积分别为，，求的最小值及此时的的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.4 抛物线 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（23-24高二上·湖北黄石·期末）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据抛物线中p的几何意义可求解． 【详解】解：抛物线的焦点到准线的距离是， 故选：D． 2．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于两点，若为等边三角形，则的值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据抛物线的几何性质可得准线方程为：，即可与双曲线联立得，即可根据等边三角形的性质求解. 【详解】解：抛物线的焦点坐标为，准线方程为：， 准线方程与双曲线联立可得：，解得，故, 因为为等边三角形，所以， 即有，解得 故选：C 3．（2024·湖北·一模）抛物线y2=2px（p>0）上一点M（3，y）到焦点F的距离|MF|=4，则抛物线的方程为（    ） A．y2=8x B．y2=4x C．y2=2x D．y2=x 【答案】B 【分析】根据抛物线的焦半径公式，求得p的值，即可得答案. 【详解】由题意可得： ， 则 ，故抛物线方程为 ， 故选:B 4．（23-24高二上·重庆·期末）如图，过拋物线的焦点的直线与拋物线交于两点，与其准线交于点（点位于之间）且于点且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，然后结合条件可得，即求. 【详解】设于点，准线交轴于点G， 则，又， ∴，又于点且， ∴BE∥AD， ∴，即， ∴， ∴等于. 故选：B. 5．（23-24高三下·湖北·期中）若抛物线与圆x2+y2﹣2ax+a2﹣1＝0有且只有两个不同的公共点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C．﹣1＜a＜1 D．﹣1＜a＜1或 【答案】D 【分析】联立两方程整理后，由题意可知方程有两个相等的正根或有一个正根，一个负根，从而可得关于实数a的不等式. 【详解】解：联立抛物线与圆的方程可得 ，整理得， ，由题意知，方程有两个相等的正根或有一个正根，一个负根， 则或， 解得或， 故选:D. 【点睛】本题考查了圆与抛物线的位置关系，考查了一元二次方程根的分布.本题的易错点是未能正确分析出有两个交点的充要条件. 6．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知点是抛物线上的动点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立，根据题意，由直线与抛物线C有交点求解. 【详解】设直线的斜率为k,则直线的方程为， 由题意，得直线与抛物线C有交点， 联立方程，得， 当时，，即； 当时，， 解得且． 综上所述，． 故选：D． 7．（2024·四川广安·一模）过抛物线的焦点F且倾斜角为锐角的直线与C交于两点A，B（横坐标分别为，，点A在第一象限），为C的准线，过点A与垂直的直线与相交于点M．若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】由已知可求得直线的斜率为，则直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，可求出，，即可解得结果. 【详解】设直线的斜率为，倾斜角为，. 由抛物线的定义知，，又，所以为等边三角形，且轴，所以，则. ，则直线的方程为， 联立直线的方程与抛物线的方程，可得， 解得，，显然，所以，， 所以，. 故选：C. 8．（2024·湖南益阳·一模）如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是的中点，且，则线段的长为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，，由此可得参数，进一步可得抛物线方程以及直线方程，联立结合韦达定理以及抛物线定义即可求解. 【详解】由题意是的中点，所以，， 由图知，所以， 又，所以， 所以， 而，所以直线， 联立抛物线方程得，，化简整理得， 所以，. 故选：C. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高二上·广东·阶段练习）已知曲线．（    ） A．若，则C是圆，其半径为n B．若，则C是双曲线，其渐近线方程为 C．若，且，则C是椭圆，其焦点在x轴上 D．若C是等轴双曲线，则以原点为顶点以为准线的抛物线方程为 【答案】BD 【分析】 由各选项的条件结合圆锥曲线的性质一一判断即可. 【详解】对于A：若则曲线，表示圆心在原点，半径为，故A错误； 对于B：若，当，时曲线，表示焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为， 当，时曲线，表示焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，故B正确； 对于C：因为且，当时曲线无意义，故C错误； 对于D：若为等轴双曲线，则且，即与互为相反数且均不为， 当，，则以原点为顶点以为准线的抛物线方程为， 当，，则以原点为顶点以为准线的抛物线方程为， 故D正确； 故选：BD 10．（23-24高三上·山西·期末）若为抛物线上的动点，焦点为，点，直线：，则下列说法正确的有（    ） A．的最小值为4 B．点到直线和轴的距离之和的最小值为 C．点到直线的距离的最小值为1 D．过，两点的直线与抛物线相交的弦长为8 【答案】BD 【分析】利用抛物线的定义以及数形结合思想，可判断AB选项；利用点到直线的距离公式以及二次函数的基本性质可判断C选项；联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理及焦点弦的弦长公式，可判断D． 【详解】抛物线的焦点为，准线方程. A．如图，过点作垂直准线于点，交抛物线于点，则. 则有，即的最小值为5，故A错.    B．点到轴的距离，设点到直线的距离为， 所以. 易知的最小值为点到直线的距离， 故的最小值为， 所以的最小值为，故B正确.    C．设，则点到直线距离. 因此当时，有最小值，故C错. D．由题得直线的方程为， 设直线与抛物线的交点，， 由得，所以， ∴，故D正确.    故选：BD. 11．（24-25高三上·江苏·阶段练习）如图，抛物线：的焦点为，过的直线交于两点，过分别作的准线的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则直线的方程为或 B． C．以线段为直径的圆与轴相切 D． 【答案】BCD 【分析】对于A：设出直线方程，与抛物线联立，利用韦达定理及焦半径公式计算；对于B：通过计算来判断；对于C：通过计算线段的中点到轴的距离来判断；对于D：利用韦达定理分别计算即可判断. 【详解】对于A：由题意知，，显然直线的斜率不为0， 设直线的方程为，，， 所以，，由得， 所以，. 若， 则， 解得或， 所以直线的方程为或，故A错误； 对于B：因为，， 所以，所以，故B正确； 对于C：由抛物线定义知，，线段中点的横坐标， 即线段的中点到轴的距离是， 所以以线段为直径的圆与轴相切，故C正确； 对于D：， ， 所以，故D正确. 故选：BCD. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高三上·山东威海·阶段练习）焦点坐标为的抛物线的标准方程为 . 【答案】 【详解】试题分析：由题意可设抛物线的标准方程为，其中，所以抛物线的标准方程为 考点：抛物线的标准方程 13．（2024·全国·模拟预测）如图，已知抛物线，圆，，为抛物线上的两点，，则直线被圆所截的弦长最小值为 ．    【答案】 【分析】设，，由得到方程，求出，设直线的方程，联立抛物线方程，得到，故，直线恒过定点，当直线与垂直时，弦长最小，由垂径定理求出弦长. 【详解】设，，则，， 由得，即，解得（舍去0）． 当直线的斜率为0时，此时直线与抛物线只有一个交点，不合要求， 直线的斜率不为零，设直线的方程为， 联立，消整理得， 则，所以，所以． 令，得，则直线恒过定点． 又当直线与垂直，即与轴垂直时，直线被圆所截的弦长最小， 最小值为． 故答案为： 14．（24-25高三下·四川·阶段练习）已知AB，CD是过抛物线焦点F且互相垂直的两弦，则的值为 . 【答案】 【分析】设直线、的方程联立抛物线，若，，，，应用韦达定理求、、、，根据抛物线的定义易得、，进而求目标式的值. 【详解】由题设，直线、的斜率一定存在， 设为，，，联立抛物线方程，可得且， ∴，，而，， ∴， 由，设为，，，联立抛物线，可得，同理有，， ∴， 综上，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：设直线方程联立抛物线，结合韦达定理及抛物线的定义求、，进而求目标式的值. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（23-24高二上·广东汕头·期末）已知抛物线，焦点为，顶点为原点. （1）求抛物线的焦点坐标准线方程； （2）若，求到的距离； （3）若点在抛物线上移动，是的中点，求点的轨迹方程． 【答案】（1）；（2）5；（3） 【分析】（1）由，可得，从而可求抛物线的焦点坐标与准线方程；（2）将代入抛物线方程，求得的值，利用到的距离等于到准线的距离 可求到的距离；（3）设，则，利用逆代法可求点的轨迹方程． 【详解】（1）因为，所以， 抛物线的焦点坐标是（1,0），准线方程是. （2）点Q（a,4）在抛物线上， ∴16=4×a，a=4, 到的距离等于到准线的距离 ∴PF=4+1=5. (3)设，则， ， . 【点睛】本题主要考查抛物线的方程、定义与几何性质，考查了轨迹方程的求解方法，属于中档题. 求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入. 16．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知直线l过抛物线的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，，P为C的准线上一点． (1)求抛物线的标准方程； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)36 【分析】（1）根据题意结合抛物线的定义可得，求出； （2）先求出，再利用面积公式可求的面积. 【详解】（1）设抛物线的解析式， 则焦点为，对称轴为轴，准线为， 因为直线经过抛物线的焦点，A，B是与的交点， 又因为轴，则，解得， 所以抛物线的标准方程. （2）过点作直线l的垂线，垂足为， 因为点在准线上，则， 所以.    17．（2024·云南保山·模拟预测）已知过点的抛物线的焦点为F，直线与抛物线的另一交点为B，点A关于x轴的对称点为. （Ⅰ）求p的值； （Ⅱ）求直线与x轴交点的坐标. 【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）. 【分析】（Ⅰ）将点的坐标代入抛物线方程，由此求得的值. （Ⅱ）先求得点坐标，然后求得直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程，求得点的坐标，求得关于轴的对称点的坐标，求得直线的方程，由此求得直线与x轴交点的坐标. 【详解】（Ⅰ）把代入抛物线方程，得. （Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线方程为，且焦点， ∴直线的方程为，即， 与联立，消去x得， 解得或， ∴B点的纵坐标为，代入，得， ∴， 而关于x轴的对称点， ∴的方程为， 当时，，所以直线与x轴交点的坐标为. 【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线相交所得交点坐标的求法，考查直线方程，属于中档题. 18．（23-24高二上·安徽黄山·期末）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. （1）求抛物线的方程； （2）过点（坐标原点）分别作交抛物线于两点(不与重合)，且.求证：直线过定点. 【答案】（1）；（2）直线过定点，证明见解析. 【解析】（1）由抛物线的定义求得，得抛物线方程； （2）设直线方程为， ，，直线方程代入抛物线方程，由判别式大于0得参数满足的条件，应用韦达定理得，计算由可得，从而求得参数，并可得出的范围．此时由直线方程可得定点坐标． 【详解】（1）由抛物线定义可知：，则， 所以抛物线的方程为 （2）设直线方程为， ， 联立得， 则即 且，         ，所以， 又，，因此可得     即， 代入得，或 所以直线方程为，由此可知直线过定点. 【点睛】方法点睛：本题考查主要考查抛物线中直线过定点问题，解题方法是设而不求的思想方程，即设直线方程为，设交点坐标为，，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得，代入已知求出参数值，然后由直线方程得定点坐标． 19．（24-25高二上·重庆长寿·阶段练习）已知点是抛物线上的一点，是焦点，是原点，若，. (1)求抛物线的方程； (2)过的两条直线，满足，交于、；交于、，，的面积分别为，，求的最小值及此时的的方程. 【答案】(1) (2)的最小值为，的方程为 【分析】（1）求得点坐标并代入抛物线方程，求得，进而求得抛物线的方程. （2）设出直线的方程并与抛物线方程联立，结合弦长公式，求得，进而求得，求得表达式后利用基本不等式求得最小值，并求得此时对应的的方程. 【详解】（1）依题意，，所以在抛物线上， ，∴或， ∵，∴，故抛物线的方程为. （2）设， ∴， 由题意可知直线不与轴重合，设， ∴， ∴，，，， ， 用换可以得， ∴， 当且仅当时取等号， 即，∴. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$