专题3.4 圆锥曲线的离心率问题-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3.4 圆锥曲线的离心率问题 【知识梳理】 1 【考点1：椭圆的离心率问题】 1 【考点2：双曲线的离心率问题】 8 【考点3：离心率综合问题】 13 【知识梳理】 1.一般求离心率有以下两种方法: 定义法：根据题意求出a,b,c的值,再由离心率定义:椭圆；双曲线直接求解； 方程法：由题意列出含有a,b,c的方程,借助于椭圆b2=a2-c2、双曲线b2=c2-a2消去b,构造a,c的齐次式,再求出e. 2.一般求离心率范围有以下两种方法: 构造不等式法：根据题设条件以及曲线的几何性质(如:曲线的范围、对称性、位置关系等),建立关于a,b,c的不等式,转化为关于a,c的齐次不等式,得到e的范围; 构造函数法:根据题设条件,用其他的变量或参数表示e,研究参数范围,结合函数性质,得到e的范围. 【考点1：椭圆的离心率问题】 【知识点：椭圆的离心率问题】 1．（浙江省台州市十校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题）已知椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率是 . 【答案】/0.5 【分析】根据椭圆的标准方程可算出和的值，再代入离心率公式即可. 【详解】由椭圆的标准方程可知，，所以， 因为，，所以，，所以离心率， 故答案为：. 2．（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）若某等腰直角三角形的两个顶点恰为椭圆C的两个焦点，另一个顶点在C上，则C的离心率为 . 【答案】或. 【分析】设，，且椭圆焦点位于轴上，讨论焦点与三角形顶点关系，结合椭圆定义、等腰三角形性质求椭圆参数，进而求离心率. 【详解】不妨设该等腰直角三角形为，，，且椭圆焦点位于轴上， 当椭圆以，为焦点时，根据对称性知，点为椭圆短轴上顶点， 则，，离心率. 当椭圆以或为焦点时，，， 离心率， 综上，椭圆的离心率为或. 故答案为：或 3．（24-25高二上·吉林通化·期中）已知P为椭圆C上一点，，为C的两个焦点，，，则C的离心率为 ． 【答案】 【分析】利用等腰三角形的性质及特殊角的三角函数值结合椭圆的定义与性质计算即可 【详解】如图，取线段的中点M，连接， 因为，， 所以，且， 所以， 设， 所以C的离心率为 ， 故答案为： 4．（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）设为椭圆上一点，为焦点，，，，则椭圆离心率的最大值为 . 【答案】/ 【分析】根据直角三角形的边角关系，用表示出，，结合三角函数的值域的求法和离心率的概念，可求离心率的最大值. 【详解】如图： 在中，，，所以，. 所以. 又，所以. 所以. 故答案为： 【点睛】方法点睛：在中，利用直角三角形的边角关系，可得，，所以椭圆离心率，再结合三角函数在给定区间上值域的求法可得离心率的最大值. 5．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）如图，椭圆C：的右顶点为A，上顶点为B，直线且在第一象限交椭圆于P点，设OP与AB的交点为M，若，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】联立方程求出点的坐标，再由可得点的坐标，代入椭圆方程，化简整理，由椭圆的离心率公式可得所求值. 【详解】由题意，， 则，且直线的方程为， 由可得，所以直线的方程为， 联立，解得，即， 因为，所以， 将代入椭圆方程化简得， 即，所以或（舍去）， 所以，即，所以离心率. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 6．（24-25高二上·吉林·期中）如图，椭圆的两个焦点分别为，以线段为边作等边三角形，若该椭圆恰好平分的另两边则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质和椭圆的定义，即可求解. 【详解】如图，与椭圆交于点，连结， 由题意可知，的边长为，点是的中点， 所以，，   ，所以. 故选：B 7．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理，易得等式求出离心率. 【详解】由椭圆定义得：，又因为， 所以解得：， 再由于，，结合勾股定理可得： ，解得，所以椭圆的离心率为， 故选：C. 8．（浙江省宁波市2024-2025学年高三上学期高考模拟考试数学试卷）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过上顶点作直线交椭圆于另一点.若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据椭圆的定义确定中各边的长度，再结合，用余弦定理列式，化简可求椭圆的离心率. 【详解】如图：    因为的周长为，，，所以，. 又， 所以. 所以椭圆的离心率为. 故选：C 9．（24-25高三上·上海·期中）已知椭圆 ，过点且倾斜角为 的光线，经直线反射后过C的右焦点，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记，反射点为，由直线的方程联立求得点坐标，而在直线上得出的关系，从而求得离心率． 【详解】， 由题意直线方程为，直线的方程为， 由解得， 点在直线上，则， ，由得， 解得（负值舍去）， 故选：A． 10．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知直线与椭圆相交于A、B，且AB的中点为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法求得关系，再利用椭圆的离心率公式可得答案. 【详解】设两点坐标分别为，因为且AB的中点为， 所以，因为在椭圆上， 所以①， 两式相减，得， 根据，上式可化简为， 整理得，又，所以，即， 所以. 故选：B. 【考点2：双曲线的离心率问题】 【知识点：双曲线的离心率问题】 1．（江苏省南京市2024-2025学年高二上学期11月期中学情调研测试数学试题）两条渐近线互相垂直的双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨设双曲线的焦点在轴，设出双曲线的标准方程，则可表示出其渐近线的方程，根据两条直线垂直，推断出其斜率之积为，得到，再利用双曲线的离心率为． 【详解】设双曲线的标准方程为，则渐近线的方程为， 由两条渐近线互相垂直，即，即， 又双曲线的离心率为， 故选：B. 2．（24-25高二上·天津红桥·期中）过双曲线 的一个焦点作圆 的两条切线，切点分别为，若(O是坐标原点) ， 则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的对称性可知,在直角三角形中，利用三角函数即可求出，进而得到双曲线的离心率. 【详解】如图： 由题意知，根据双曲线及圆的对称性可知， 在直角三角形中，， 所以，即， 故选：B 3．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出圆心到双曲线渐近线的距离，再结合点到直线的距离公式求出的关系，即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径， 双曲线的渐近线方程为，即， 因为， 所以圆心到双曲线的渐近线的距离， 所以，即，所以， 即该双曲线的离心率为. 故选：D. 4．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用几何关系得到，又，得到，再结合双曲线的定义得到，即可求解. 【详解】设双曲线的焦距为，右焦点为，直线交于点，连接， 因为为正三角形，，所以为的中点，所以， 故，易知，所以， 由双曲线的定义知， 即，得. 故选：D． 5．（2024·湖南衡阳·一模）已知双曲线，两焦点分别为，，过右焦点作直线交右支于，点，且，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，假设，进而得到所需线段关于的表达式，两次利用余弦定理得到关于的等式，从而得到的比例，由此得解. 【详解】如图，因为，令，则，，    由双曲线定义，， 在中，， 由余弦定理， 得， 整理得，解得或（舍去）， 则，， 故在中，由余弦定理， 得， 整理得，则. 故选：C. 6．（2024·江西新余·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与交于两点（在第二象限），过作，垂足为，若，则的离心率为： . 【答案】 【分析】利用双曲线的定义结合勾股定理计算即可. 【详解】    设，双曲线的实轴长与焦距长分别为， 则由双曲线的定义可知， 因为，所以易知P为中点，即， 所以， 由勾股定理知：， 即， 所以离心率. 故答案为： 7．（24-25高三上·广东湛江·期中）已知双曲线的焦距为，直线与的交点为，若点到的左焦点的距离不小于点到的右焦点的距离的5倍，则C的离心率最大值为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义和几何性质，结合题意，列出不等式，解出离心率的最大值即可. 【详解】记的左焦点和右焦点分别为，，因为直线过点，所以①， ②，联立①②，解得 ，，故， 解得，则的离心率的最大值为. 故答案为：. 8．（24-25高二上·江西南昌·期中）已知双曲线的左､右作点分别为为坐标原点，倾斜角为的直线过右焦点且与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】由向量的运算将转化为，利用几何性质求得点，代入双曲线方程得的等量关系，求解离心率即可. 【详解】因为 ， 所以，则， 过作轴，垂足为， 由题意知，则，故， 在中，， 故，又点在双曲线上， 则，将代入整理得， 则，解得，又，得到， 所以双曲线的离心率为， 故答案为：. 【考点3：离心率综合问题】 【知识点：离心率综合问题】 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用椭圆与双曲线的定义得到关于的表达式，结合离心率的定义求解即可. 【详解】设椭圆与双曲线的半焦距为，则， 则，， 所以. 故答案为：． 2．（2024·四川成都·模拟预测）已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】设椭圆与双曲线的焦距，，由题意可得，用表示出，结合二次函数的性质即可得答案. 【详解】设椭圆与双曲线的焦距，， 由题意可得：，， ，，， ，，，. ， ，设，则， ， . 故答案为：. 3．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知中，，，点A在以B、C为焦点的椭圆上，同时点A在以B、C为焦点的双曲线上，若、的离心率分别为、，且，则 . 【答案】/ 【分析】解法一：根据题意，，进而得，解得或，再根据余弦定理求解即可得答案. 解法二：由题知，，再根据得，进而得，或，，再根据余弦定理求解即可. 【详解】解：解法一：设，则， 由点A在以B、C为焦点的椭圆上，故： 又点A在以B、C为焦点的双曲线上，故： 故：，即 解得：或， 所以 故答案为： 解法二：由点A在以B、C为焦点的椭圆上，则： 由： 故，所以 又点A在以B、C为焦点的双曲线上，故： 所以，又， 所以，或， 所以 故答案为： 4．（24-25高三下·上海浦东新·阶段练习）设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先由椭圆标准方程和双曲线标准方程的定义，得出椭圆与双曲线共焦点，再分别表示出离心率，根据及即可求得的范围． 【详解】解：由题意知椭圆的，双曲线的， 则椭圆与双曲线共焦点，设，则，， ，， ， ， 设，则， 解得，即， 又，且， ， 故的取值范围是． 故答案为： 5．（23-24高三上·上海浦东新·期末）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别是，，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据椭圆和双曲线的定义、椭圆和双曲线的离心率公式，结合等腰三角形的性质，从而可得，进而可得到关于的表达式，构造函数，再根据函数在上的单调情况即可解得的取值范围． 【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为，，，， 由于是以为底边的等腰三角形， 由，即有，， 由椭圆的定义可得，由双曲线定义可得， 则，，相减可得， 即，得， 所以，， 显然在上单调递增， 所以， 所以的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：根据题意得到，从而得到关于的表达式，构造函数，再根据函数在上的单调性是解答本题的关键． 6．（多选）（23-24高二上·海南·期末）已知椭圆与双曲线有共同的左右焦点，，设椭圆和双曲线其中一个公共点为P，且满足，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则关于和，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】假设点P在第一象限，椭圆的长半轴长和双曲线的实半轴长分别为，半焦距为c，根据定义可知，进而解出，再由勾股定理得到间的关系，进而求得答案. 【详解】根据椭圆和双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，设椭圆与双曲线的半焦距为，椭圆的长半轴长和双曲线的实半轴长分别为，根据题意，，联立方程组解得：,而，则，于是，由基本不等式，易知，所以. 故选：AC. 7．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）已知椭圆：与双曲线：（，）有公共焦点，，且两条曲线在第一象限的交点为，若是以为底边的等腰三角形，，的离心率分别为和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】通过椭圆以及双曲线的焦距相等推出关系式，判断的正误；利用定义推出离心率的关系，判断、的正误；求解离心率的范围判断的正误即可． 【详解】设，的焦距为，由，共焦点知，故正确； △是以为底边的等腰三角形知，由在第一象限知：，即，即，即，故，错； 由，得，又，得，所以， 从而，故正确． 故选：． 8．（2024·辽宁锦州·模拟预测）已知，是椭圆：与双曲线：的公共焦点，，分别是与的离心率，且P是与的一个公共点，满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】BD 【分析】根据椭圆和双曲线的焦点可判断A,由圆锥曲线的定义以及离心率的计算公式可判断B，结合对勾函数的性质可判断C，利用三角换元可判断D. 【详解】对选项A：椭圆和双曲线共焦点，故，故A错误； 对选项B：，不妨设为第一象限的点，即，由于，，故，，故，即，即，故B正确；    对选项C：由得，则，令，所以， 由于，所以对勾函数在单调递增，故,没有最小值，故C错误， 对选项D：设，，， ，若最大值为，则，，，即，，，成立，故D正确； 故选：BD. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.4 圆锥曲线的离心率问题 【知识梳理】 1 【考点1：椭圆的离心率问题】 1 【考点2：双曲线的离心率问题】 3 【考点3：离心率综合问题】 4 【知识梳理】 1.一般求离心率有以下两种方法: 定义法：根据题意求出a,b,c的值,再由离心率定义:椭圆；双曲线直接求解； 方程法：由题意列出含有a,b,c的方程,借助于椭圆b2=a2-c2、双曲线b2=c2-a2消去b,构造a,c的齐次式,再求出e. 2.一般求离心率范围有以下两种方法: 构造不等式法：根据题设条件以及曲线的几何性质(如:曲线的范围、对称性、位置关系等),建立关于a,b,c的不等式,转化为关于a,c的齐次不等式,得到e的范围; 构造函数法:根据题设条件,用其他的变量或参数表示e,研究参数范围,结合函数性质,得到e的范围. 【考点1：椭圆的离心率问题】 【知识点：椭圆的离心率问题】 1．（浙江省台州市十校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题）已知椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率是 . 2．（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）若某等腰直角三角形的两个顶点恰为椭圆C的两个焦点，另一个顶点在C上，则C的离心率为 . 3．（24-25高二上·吉林通化·期中）已知P为椭圆C上一点，，为C的两个焦点，，，则C的离心率为 ． 4．（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）设为椭圆上一点，为焦点，，，，则椭圆离心率的最大值为 . 5．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）如图，椭圆C：的右顶点为A，上顶点为B，直线且在第一象限交椭圆于P点，设OP与AB的交点为M，若，则椭圆的离心率为 ． 6．（24-25高二上·吉林·期中）如图，椭圆的两个焦点分别为，以线段为边作等边三角形，若该椭圆恰好平分的另两边则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 7．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．（浙江省宁波市2024-2025学年高三上学期高考模拟考试数学试卷）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过上顶点作直线交椭圆于另一点.若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高三上·上海·期中）已知椭圆 ，过点且倾斜角为 的光线，经直线反射后过C的右焦点，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知直线与椭圆相交于A、B，且AB的中点为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【考点2：双曲线的离心率问题】 【知识点：双曲线的离心率问题】 1．（江苏省南京市2024-2025学年高二上学期11月期中学情调研测试数学试题）两条渐近线互相垂直的双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·天津红桥·期中）过双曲线 的一个焦点作圆 的两条切线，切点分别为，若(O是坐标原点) ， 则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 4．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·湖南衡阳·一模）已知双曲线，两焦点分别为，，过右焦点作直线交右支于，点，且，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江西新余·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与交于两点（在第二象限），过作，垂足为，若，则的离心率为： . 7．（24-25高三上·广东湛江·期中）已知双曲线的焦距为，直线与的交点为，若点到的左焦点的距离不小于点到的右焦点的距离的5倍，则C的离心率最大值为 . 8．（24-25高二上·江西南昌·期中）已知双曲线的左､右作点分别为为坐标原点，倾斜角为的直线过右焦点且与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率为 ． 【考点3：离心率综合问题】 【知识点：离心率综合问题】 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的值为 ． 2．（2024·四川成都·模拟预测）已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围为 . 3．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知中，，，点A在以B、C为焦点的椭圆上，同时点A在以B、C为焦点的双曲线上，若、的离心率分别为、，且，则 . 4．（24-25高三下·上海浦东新·阶段练习）设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是 ． 5．（23-24高三上·上海浦东新·期末）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别是，，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是 ． 6．（多选）（23-24高二上·海南·期末）已知椭圆与双曲线有共同的左右焦点，，设椭圆和双曲线其中一个公共点为P，且满足，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则关于和，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）已知椭圆：与双曲线：（，）有公共焦点，，且两条曲线在第一象限的交点为，若是以为底边的等腰三角形，，的离心率分别为和，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·辽宁锦州·模拟预测）已知，是椭圆：与双曲线：的公共焦点，，分别是与的离心率，且P是与的一个公共点，满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最大值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$