专题4.3 对数（4类必考点）-2024-2025学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第一册）

专题4.3 对数 【考点1：对数的概念判断与求值】 1 【考点2：指数式与对数式的互化】 4 【考点3：对数的运算性质】 7 【考点4：换底公式及其应用】 10 【考点1：对数的概念判断与求值】 【知识点：对数的概念】 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式. 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若对数有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用对数的定义，列出不等式组并求解即得. 【详解】依题意，，解得且， 所以的取值范围是. 故答案为： 2．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】利用指数幂的运算化简，然后利用对数定义求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以. 故答案为： 3．（23-24高一上·福建厦门·期末）已知，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据对数运算分析求解. 【详解】因为，可得， 且，解得. 故选：B. 4．（24-25高一上·全国·随堂练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数真数和底数的性质进行求解即可. 【详解】因为对数式的底数为大于零不等于1的实数，真数为正实数， 所以有， 故选：C 5．（24-25高三上·安徽马鞍山·阶段练习）设函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先求出的值，再求即可. 【详解】因为， 所以． 故选：D． 6．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】对于ABC：根据对数的定义结合指数幂运算求解；对于D：举反例即可. 【详解】对于选项A：若，所有，故A正确； 对于选项B：若，则， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C错误； 对于选项D：例如，则，可得， 符合题意，但，故D错误； 故选：AB. 7．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2)0 (3)5 (4)441 【分析】（1）（2）根据对数的定义运算求解即可； （3）（4）根据对数恒等式结合指数运算求解即可. 【详解】（1）由题意可得：. （2）由题意可得：. （3）由题意可得：. （4）由题意可得：. 8．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)27 (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）将对数化为指数，结合指数运算求解； （3）（4）根据对数的定义逐步去对数，进而可得结果. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为，可得， 又因为且，得． （3）因为，得， 则，所以． （4）因为，可得， 则，所以． 【考点2：指数式与对数式的互化】 【知识点：指数式与对数式的互化】 1、ax＝N⇔x＝logaN； 2、loga1＝0，logaa＝1，＝N. 1．（2024高二下·湖北·学业考试）已知，则 . 【答案】 【分析】根据指数与对数的运算法则计算． 【详解】由得，则， 所以， 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·期中）已知，，则的值为 . 【答案】/ 【分析】将对数式化成指数式，利用指数幂的运算计算即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以. 故答案为:##. 3．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，把和用表示出来，根据等量关系求出的值，而，可得结果. 【详解】设， 则有，，， 可得，即，解得， 所以. 故选：D. 4．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将对数式化为指数式，然后两边平方即可得到，进而求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 故选：D. 5．（24-25高一下·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式进行转换： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据指数式与对数式的互化可依次将其转化. 【详解】（1）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. （2）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. （3）根据指数式和对数式的关系，可化为 （4）根据指数式和对数式的关系，可化为 6．（24-25高一上·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化. 【详解】（1），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （2），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （3），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （4），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （5），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （6），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. 【考点3：对数的运算性质】 【知识点：对数的运算性质】 运算法则 loga(M·N)＝logaM＋logaN a>0，且a≠1，M>0，N>0 loga＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM(n∈R) 重要推论 (1) ； (2)logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad. 1．（24-25高二上·云南迪庆·期中）计算 . 【答案】4 【分析】根据对数运算公式化简原式，即可求解. 【详解】原式 . 故答案为：4 2．（24-25高一上·湖南·期中） . 【答案】6 【分析】根据对数的运算法则和性质计算即可. 【详解】 . 故答案为：6. 3．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知x，y为正实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数与对数的运算性质，合理运算、化简即可得到结果. 【详解】当时，，，， 故A,B,C都不成立， 因为，故D正确. 故选：D. 4．（24-25高一上·上海·期中）已知， (1)求的值； (2)用a，b表示. 【答案】(1)108 (2) 【分析】（1）利用幂的运算性质计算即得； （2）利用对数换底公式和对数的运算性质化简计算即得. 【详解】（1）； （2）由，，可得 则. 5．（24-25高三上·宁夏中卫·期中）（1）已知，，化简； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由分数指数幂的运算法则计算求解即可； （2）由对数的运算法则运算求解即可. 【详解】（1）； （2） 6．（24-25高一上·湖南常德·阶段练习）计算下列各式的值： (1)； (2)若，求的值； (3)已知实数，满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对数的运算性质即可求解， （2）（3）根据指数与对数的互化，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】（1） ； （2），又， 所以． （3）由，得．由， 所以，所以，解得：， 则，即， 所以，所以． 【考点4：换底公式及其应用】 【知识点：换底公式】 logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)； 1．（江苏省无锡市2024-2025学年高三上学期期中教学质量调研测试数学试题）已知实数满足且，则 . 【答案】 【分析】利用指数与对数的换算结合换底公式计算即可. 【详解】由可知， 所以，即， 所以. 故答案为： 2．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知，则的值为 . 【答案】 【分析】首先，将所给指数幂形式化为，，结合对数的运算性质及换底公式可得答案． 【详解】， ，， ，， ． 故答案为： 3．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指对互化的运算可得，利用对数的换底公式和对数的运算性质的应用即可求解. 【详解】由，得， 所以. 故选：A 4．（23-24高三上·福建福州·期中）设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据指对互化，利用对数表示，再结合对数运算判断选项. 【详解】由，得，，， ，，，则， 根据可知，. 故选：C 5．（24-25高一上·全国·课后作业）设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】令，且，即可表示出、、，再由、换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】依题意、、均不为， 令，且， 则，，． 因为，所以， 即， 所以，即． 6．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知且，且，证明：当时，； （2）设，，用a，b表示. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）设且，化为指数式，两边取对数可得，化简代入即可得出结果； （2）先利用换底公式求出，再求的值. 【详解】（1）根据题意，设，则， 两边同时取以a为底对数，得， 由对数运算性质，得， 因为，所以，所以，于是； （2）根据换底公式，，所以， 则. 7．（24-25高一下·全国·课后作业）求值： (1)． (2)． 【答案】(1)101 (2)2 【分析】（1）根据对数的运算性质及指数幂的运算即可求解； （2）根据对数的运算性质，结合换底公式即可求解. 【详解】（1） ． （2） . 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3）证明见解析； 【分析】（1）由题设条件结合对数的运算证明即可； （2）利用换底公式证明即可； （3）利用换底公式证明即可. 【详解】解答：（1）证明： 设，则，化为， 又，所以； （2）解：； （3）证明： ． 所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.3 对数 【考点1：对数的概念判断与求值】 1 【考点2：指数式与对数式的互化】 3 【考点3：对数的运算性质】 4 【考点4：换底公式及其应用】 6 【考点1：对数的概念判断与求值】 【知识点：对数的概念】 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式. 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若对数有意义，则的取值范围是 ． 2．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知，则 . 3．（23-24高一上·福建厦门·期末）已知，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 4．（24-25高一上·全国·随堂练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·安徽马鞍山·阶段练习）设函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点2：指数式与对数式的互化】 【知识点：指数式与对数式的互化】 1、ax＝N⇔x＝logaN； 2、loga1＝0，logaa＝1，＝N. 1．（2024高二下·湖北·学业考试）已知，则 . 2．（24-25高一上·上海·期中）已知，，则的值为 . 3．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式进行转换： (1)； (2)； (3)； (4). 6．（24-25高一上·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【考点3：对数的运算性质】 【知识点：对数的运算性质】 运算法则 loga(M·N)＝logaM＋logaN a>0，且a≠1，M>0，N>0 loga＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM(n∈R) 重要推论 (1) ； (2)logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad. 1．（24-25高二上·云南迪庆·期中）计算 . 2．（24-25高一上·湖南·期中） . 3．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知x，y为正实数，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·期中）已知， (1)求的值； (2)用a，b表示. 5．（24-25高三上·宁夏中卫·期中）（1）已知，，化简； （2）计算：． 6．（24-25高一上·湖南常德·阶段练习）计算下列各式的值： (1)； (2)若，求的值； (3)已知实数，满足，求的值． 【考点4：换底公式及其应用】 【知识点：换底公式】 logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)； 1．（江苏省无锡市2024-2025学年高三上学期期中教学质量调研测试数学试题）已知实数满足且，则 . 2．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知，则的值为 . 3．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）若，则（    ） A．2 B． C． D． 4．（23-24高三上·福建福州·期中）设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 6．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知且，且，证明：当时，； （2）设，，用a，b表示. 7．（24-25高一下·全国·课后作业）求值： (1)． (2)． 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$