专题3.1 二次函数全章培优测试卷（必考点分类集训）-2024-2025学年九年级数学下册必考点分类集训系列（苏科版）

第5章 二次函数全章培优测试卷 【苏科版】 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，压轴题均有★标记。 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）若y＝（a2+a）是二次函数，那么（　　） A．a＝﹣1或a＝3 B．a≠﹣1且a≠0 C．a＝﹣1 D．a＝3 【分析】根据二次函数定义，自变量的最高指数是二，且系数不为0，列出方程与不等式即可解答． 【解答】解：根据题意，得：a2﹣2a﹣1＝2 解得a＝3或﹣1 又因为a2+a≠0即a≠0或a≠﹣1 所以a＝3． 故选：D． 2．（3分）将二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用配方法化成顶点式即可得到答案． 【解答】解：∵， ∴将二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为． 故选：D． 3．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 3 0 ﹣1 m 3 … ①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；③m的值为0；④图象不经过第三象限． 上述结论中正确的是（　　） A．①④ B．②④ C．③④ D．②③ 【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决． 【解答】解：由表格可知， 抛物线的对称轴是直线x1，故②错误， 抛物线的顶点坐标是（1，﹣1），有最小值，故抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，故①错误， 当y＝0时，x＝0或x＝2，故m的值为0，故③正确， 当y≤0时，x的取值范围是0≤x≤2，故④正确， 故选：C． 4．（3分）下表给出了二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值： x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … ﹣1 ﹣0.67 ﹣0.29 0.14 0.62 … 那么关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（　　） A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 【分析】观察表中数据得到抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点在（1.2，0）和点（1.3，0）之间，更靠近点（1.3，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程ax2+bx+c＝0一个根的近似值． 【解答】解：∵x＝1.2时，y＝ax2+bx+c＝﹣0.29； x＝1.3时，y＝ax2+bx+c＝0.14； ∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点在（1.2，0）和点（1.3，0）之间，且更靠近点（1.3，0）， ∴方程ax2+bx+c＝0有一个根约为1.27． 故选：C． 5．（3分）点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3），D（4，y4）是二次函数y＝﹣2x2﹣4x+c+2图象上的四个点，下列说法一定正确的是（　　） A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0 C．若y3y4＜0，则y1y2＜0 D．若y2y3＜0，则y1y4＞0 【分析】根据函数的表达式可得抛物线开口向下，对称轴为直线x1，再根据函数的单调性得知，y2＞y3＞y1＞y4，接着判断每个选项即可得出答案． 【解答】解：∵y＝﹣2x2﹣4x+c+2， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x1， ∴A（﹣4，y1）关于对称轴的对称点为（2，y1），B（﹣2，y2）关于对称轴的对称点为B（0，y2）， ∵0＜1＜2＜4，且当x＞1时，y随x的增大而减小， ∴y2＞y3＞y1＞y4， A．若y1y2＞0， 则y1，y2，y3同号， 则y4可能与它们同号，也可能异号 则y3y4＞0或y3y4＜0，故本选项不符合题意； B．若y1y4＞0， 则y2y3同号或者y2y3异号， 故本选项不符合题意； C．若y3y4＜0， 则y4＜0，y3＞0， 则y2＞0，y1＞0或y1＜0， 故本选项不符合题意； D．若y2y3＜0， 则y2＞0，y3＜0， 则y1＜0，y4＜0， 则y1y4＞0． 故本选项符合题意． 故选：D． 6．（3分）一位同学在画二次函数y＝2x2﹣bx+3的图象时，把﹣b看成了+b，结果所画图象是由原图象向左平移6个单位长度所得的图象，则b的值为（　　） A．24 B．﹣24 C．﹣12 D．12 【分析】依据题意，先将二次函数y＝2x2﹣bx+3变形为顶点式y＝2（x2x）+32（x）2+3，再由平移的规律“上加下减，左加右减”得向左平移6个单位长度所得的解析式为y＝2（x6）2+3，最后结合画错的解析式y＝2x2+bx+3＝2（x）2+3，即可列式计算得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数y＝2x2﹣bx+3＝2（x2x）+32（x）2+3， 又向左平移6个单位长度， ∴所得的解析式为y＝2（x6）2+3． 又结合画错的解析式y＝2x2+bx+3＝2（x）2+3， ∴6． ∴b＝12． 故选：D． 7．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣3≤x≤﹣1时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（　　） A．1或﹣3 B．﹣3或﹣5 C．1或﹣1 D．1或﹣5 【分析】利用配方法可得出：当x＝m时，y的最小值为1．分m＜﹣3，﹣3≤m≤﹣1和m＞﹣1三种情况考虑：当m＜﹣3时，由y的最小值为5可得出关于m的一元二次方程，解之取其较小值；当﹣3≤m≤﹣1时，y的最小值为1，舍去；当m＞﹣1时，由y的最小值为5可得出关于m的一元二次方程，解之取其较大值．综上，此题得解． 【解答】解：∵y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1， ∴当x＝m时，y的最小值为1． 当m＜﹣3时，在﹣3≤x≤﹣1中，y随x的增大而增大， ∴9+6m+m2+1＝5， 解得：m1＝﹣5，m2＝﹣1（舍去）； 当﹣3≤m≤﹣1时，y的最小值为1，舍去； 当m＞﹣1时，在﹣3≤x≤﹣1中，y随x的增大而减小， ∴1+2m+m2+1＝5， 解得：m1＝﹣3（舍去），m2＝1． ∴m的值为﹣5或1． 故选：D． 8．（3分）廊桥是我国古老的文化遗产．如图是某座抛物线形廊桥的示意图，已知水面AB宽48m，拱桥最高处点C到水面AB的距离为12m，为保护该桥的安全，现要在该抛物线上的点E，F处安装两盏警示灯，若要保证两盏灯的水平距离EF是24m，则警示灯E距水面AB的高度为（　　） A．12m B．11m C．10m D．9m 【分析】建立适当的坐标系，利用待定系数法求得抛物线的解析式，再把x＝﹣12代入解析式求出y即可． 【解答】解：如图，以AB所在直线为x轴、线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系， 由题意知，A（﹣24，0），B（24，0），C（0，12）， 设过点A、B、C的抛物线解析式为：y＝ax2+12（a＜0）， 把点A（﹣24，0）的坐标代入，得 0＝a×（﹣24）2+12， 解得：a， 则该抛物线的解析式为：yx2+12； ∵EF＝24m， ∴xE＝﹣12， 把x＝﹣12代入yx2+12得， y（﹣12）2+12＝9， ∴警示灯E距水面AB的高度为9m， 故选：D． 9．（3分）如图，二次函数的图象与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交两点，则二次函数y＝（k﹣b）x2+ax+c﹣m的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【分析】依据题意，由二次函数的图象与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交两点的横坐标分别为﹣1和2，从而可得方程ax2+bx+c＝kx+m，即ax2+（b﹣k）x+c﹣m＝0的两根为﹣1和2，故函数y＝ax2+（b﹣k）x+c﹣m与x轴的交点为（﹣1，0），（2，0），则抛物线的对称轴是直线x，可得b﹣k＝﹣a，又a＞0，进而b﹣k＝﹣a＜0，从而k﹣b＞0，则有0，最后可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数的图象与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交两点的横坐标分别为﹣1和2， ∴可得方程ax2+bx+c＝kx+m，即ax2+（b﹣k）x+c﹣m＝0的两根为﹣1和2． ∴函数y＝ax2+（b﹣k）x+c﹣m与x轴的交点为（﹣1，0），（2，0）． ∴抛物线的对称轴是直线x． ∴b﹣k＝﹣a． 又∵a＞0， ∴b﹣k＝﹣a＜0． ∴k﹣b＞0． ∴0． ∴二次函数y＝（k﹣b）x2+ax+c﹣m的图象开口向上，对称轴在y轴的左边，故只有A选项符合题意． 故选：A． 10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论： ①abc＜0； ②3a+c＞0； ③（a+c）2＜b2； ④a+b＜m（am﹣b）（m＞0）； ⑤方程ax2+bx+c﹣m2﹣1＝0有一正一负两个实数解． 其中结论正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】依据题意，抛物线开口向上，对称轴是直线x1，抛物线与y轴于负半轴，又当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，从而逐个判断即可得解． 【解答】解：由题意，抛物线开口向上，对称轴是直线x1，抛物线与y轴于负半轴， ∴a＞0，b＝﹣2a＜0，c＜0． ∴abc＞0，故①错误． 又当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0， ∴a+2a+c＞0，即3a+c＞0，故②正确． 由a﹣b+c＞0， ∴b﹣a﹣c＜0． 又当x＝1时，y＝a+b+c＝b+a+c＜0， ∴（b﹣a﹣c）（b+a+c）＞0． ∴b2﹣（a+c）2＞0． ∴（a+c）2＜b2，故③正确． 由题意，∵当x＝1时，y取最小值＝a+b+c， ∴对于m＞0，即﹣m＜0，都有a（﹣m）2﹣bm+c＞a+b+c． ∴am2﹣bm＞a+b． ∴a+b＜m（am﹣b），故④正确． 由题意，∵m2≥0， ∴m2+1≥1＞0． 又对于直线y＝m2+1与抛物线y＝ax2+bx+c的交点横坐标为一正一负， ∴方程ax2+bx+c＝m2+1，即ax2+bx+c﹣m2﹣1＝0有一正一负两个实数解，故⑤正确． 故选：D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）将抛物线y＝2（x﹣1）2﹣1先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线y＝ax2+bx+c，则a+b+c＝　﹣1　． 【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可． 【解答】解：将抛物线y＝2（x﹣1）2﹣1先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线为y＝2（x﹣1+1）2﹣1﹣2，即y＝2x2﹣3， ∴a＝2，b＝0，c＝﹣3， ∴a+b+c＝2+0﹣3＝﹣1， 故答案为：﹣1． 12．（3分）已知二次函数y＝（a﹣1）x2+2ax+3a﹣2的图象的最低点在x轴上，则a＝　2　． 【分析】根据二次函数的最小值为0列式求解即可得到a的值，即可作答． 【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2+2ax+3a﹣2的图象的最低点在x轴上 ∴且a﹣1＞0， 整理得，2a2﹣5a+2＝0且a＞1， 解得a1＝2，（舍去）， 故答案为：2． 13．（3分）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（4，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c≤n的解集是 　﹣2≤x≤4　． 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到不等式ax2﹣mx+c≤n的解集，本题得以解决． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（4，q）两点， ∴ax2+c≤mx+n的解集是﹣2≤x≤4． ∴不等式ax2﹣mx+c≤n的解集是﹣2≤x≤4． 故答案为：﹣2≤x≤4． 14．（3分）有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：甲说：对称轴是直线x＝2；乙说：与x轴的两个交点的距离为6；丙说：顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9，则这条抛物线解析式的顶点式是 　y（x﹣2）2+3或y（x﹣2）2﹣3（答案不唯一）　． 【分析】依据题意，对称轴是直线x＝2，与x轴的两个交点距离为6，可得与x轴的两个交点的坐标为（﹣1，0），（5，0）；又结合顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9，可得顶点的纵坐标为±3，得顶点坐标为（2，3）或（2，﹣3），进而可得用顶点式表示的抛物线的解析式，答案不唯一． 【解答】解：由题意，∵对称轴是直线x＝2，与x轴的两个交点距离为6， ∴可得抛物线与x轴的两个交点的坐标为（﹣1，0），（5，0）（答案不唯一）． 又顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9， ∴顶点坐标为（2，3）或（2，﹣3）． 故可设函数解析式为y＝a（x﹣2）2+3或y＝a（x﹣2）2﹣3； 把点（5，0）代入y＝a（x﹣2）2+3得a； 把点（5，0）代入y＝a（x﹣2）2﹣3得a． ∴满足上述全部条件的一条抛物线的解析式为y（x﹣2）2+3或y（x﹣2）2﹣3（答案不唯一）． 故答案为：y（x﹣2）2+3或y（x﹣2）2﹣3（答案不唯一）． 15．（3分）已知二次函数有最大值﹣3，则实数a的值为 　或　． 【分析】本题是关于二次函数最值的“逆向问题”，由题设知，二次函数y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a的对称轴是直线x，而x的取值范围是x，所以要对是否在x的取值范围内讨论求解． 【解答】解：二次函数y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a的对称轴是直线x， （1）若，即﹣1≤a≤1，抛物线开口向下， 当x时，y最大值＝2a， ∵二次函数最大值﹣3，即a与﹣1≤a≤1矛盾，舍去． （2）若，即a＞1 当x时，y随x增大而减小， 当x时，y最大值＝﹣a2+4a﹣1， 由﹣a2+4a﹣1＝﹣3， 解得a＝2±． 又a＞1， ∴a＝2； （3）若，即a＜﹣1． 当x时，y随x增大而增大， 当x时，y最大值＝﹣a2﹣1， 由﹣a2﹣1＝﹣3， 解得a＝±． 又a＜﹣1，∴a． 综上所述，a＝2或a． 16．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线 （0≤x≤8）的图象如图所示，对任意的0≤a＜b≤8，称W为a到b时y的值的“极差”（即a≤x≤b时y的最大值与最小值的差），L为a到b时x的值的“极宽”（即b与a的差值），则当L＝7时，W的取值范围是 　4≤W　． 【分析】根据抛物线的一般式可得出对称轴和顶点坐标，然后根据L＝7，得出b＝a+7，即可得出0≤a＜a+7≤8，推出0≤a≤1和7≤a+7≤8，然后即可求出当a≤x≤a+7时y的最大值和最小值，即可写出W（a+4）2，然后根据0≤a≤1求出W的最大值和最小值即可求出范围． 【解答】解：根据题意可得：（x﹣3）2， ∴抛物线的对称轴x＝3，顶点坐标为（3，）， ∵L＝7，即b与a的差值为7， ∴b＝a+7， ∵0≤a＜b≤8，即0≤a＜a+7≤8， ∴0≤a≤1，则7≤a+7≤8， ∴当a≤x≤3时，y随x增大而增大，当3＜x≤a+7时，y随x的增大而减小， ∴当x＝3时，y有最大值，最大值为， 当x＝a+7时，y有最小值，最小值为（a+4）2， ∴W[（a+4）2]（a+4）2， 则对称轴a＝﹣4， ∴当0≤a≤1时，W随a的增大而增大， ∴当a＝0时，W有最小值，最小值为4， 当a＝1时，W有最大值，最大值为， 综上所述：4≤W； 故答案为：4≤W． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）求下列二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴： （1）y＝3x2﹣6x+4； （2）yx2+2x． 【分析】（1）将题目中的函数解析式化为顶点式，即可写出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴； （2）将题目中的函数解析式化为顶点式，即可写出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． 【解答】解：（1）∵y＝3x2﹣6x+4＝3（x﹣1）2+1， ∴该函数图象的开口向上，顶点坐标为（1，1），对称轴为直线x＝1； （2）∵yx2+2x（x﹣2）2， ∴该函数图象的开口向下，顶点坐标为（2，），对称轴为直线x＝2． 18．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣1 1 3 … y … ﹣3 0 1 0 … （1）求这个二次函数表达式； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象； （3）当x的取值范围为 　﹣3＜x＜5　时，y＞﹣3． 【分析】（1）设交点式为y＝a（x+1）（x﹣3），然后把（1，1）代入求出a即可； （2）利用描点法画二次函数图象； （3）先利用对称性确定函数值为﹣3所对应的自变量的值，然后结合函数图象求解． 【解答】解：（1）设二次函数的表达式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 把（1，1）代入得1＝a×2×（﹣2）， 解得a， ∴二次函数的表达式为y（x+1）（x﹣3）， 即yx2x； （2）如图，抛物线的顶点坐标为（1，1）， （3）∵y＝﹣3时，x＝﹣3或x＝5， ∴当﹣3＜x＜5时，y＞﹣3． 故答案为：﹣3＜x＜5． 19．（6分）已知二次函数y＝x2﹣4mx+3m2，m≠0． （1）求证：该二次函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）若m＞0，且两交点间的距离为2，求m的值． 【分析】（1）由题意得一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0，判断判根公式Δ与0的大小即可； （2）由题意知，解得符合要求的m的值． 【解答】（1）证明：由可得一元二次方程，x2﹣4mx+3m2＝0， ∴该二次方程的Δ＝（﹣4m）2﹣4×3m2＝4m2， ∵m≠0， ∴Δ＝4m2＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根，二次函数图象与x轴总有两个公共点； （2）解：由题意知， ∴， 解得m＝1或m＝﹣1（舍去）， ∴m的值为1． 20．（8分）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖5件．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售件数为y，每个月的销售利润为W元． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）若在销售过程中每一件商品有a（a＞4）元的其他费用，商家发现当售价每件不高于67元时，一个月的销售最大利润为2530，试求出a的值． 【分析】（1）由题意得y与x的函数关系式即可； （2）由题意得W与x的解析式为：W＝（200﹣5x）（50+x﹣40），即可求解； （3）由题意得：W＝（200﹣5x）（50+x﹣40﹣a）＝﹣5x2+（150+5a）x+（2000﹣200a），函数的对称轴为直线，再根据二次函数性质即可求解． 【解答】解：（1）由题意得： y与x的函数关系式为：y＝200﹣5x； （2）由题意得：W＝（200﹣5x）（50+x﹣40）＝﹣5（x﹣15）2+3125， ∵﹣5＜0， ∴当x＝15时，W有最大值3125， 50+x＝65， ∴当售价定为每件65元，每个月的利润最大，最大的月利润是3125元； （3）由题意得：W＝（200﹣5x）（50+x﹣40﹣a）＝﹣5x2+（150+5a）x+（2000﹣200a）， 函数的对称轴为直线， ∵a＞4， ∴， ∵当售价每件不高于67元，即50+x≤67． ∴x≤17， ∵﹣5＜0，在对称轴左侧，W随x增大而增大， ∴当x＝17时，W有最大值，为2530，此时对称轴为直线x＝15． ∴（200﹣5×17）×（50+17﹣40﹣a）＝2530， 解得：a＝5， ∴a＝5． 21．（8分）某市为了创建国家卫生城市，给市民营造干净卫生的环境，每天需要洒水车为绿化带浇水，如图：洒水车喷水口H离地竖直高度OH为2米．可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，H点是下边缘抛物线的最高点，下边缘喷水的最大射程OB＝1.5米，上边缘抛物线最高点A离喷水口H的水平距离为2米，高出喷水口H的距离为0.5米． （1）请分别求出上、下边缘抛物线的函数关系式；（不写自变量的取值范围） （2）此时，距喷水口水平距离为7米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程． 【分析】（1）由题意知，A（2，2.5），H（0，2），B（1.5，0），把两个抛物线解析式设为顶点式，用待定系数法求解析式即可， （2）将y＝0代入，解得，，据此进行判断作答即可． 【解答】解：（1）根据题意得：上边缘抛物线的顶点是A（2，2.5）， 设上边缘抛物线的解析式是：y＝a（x﹣2）2+2.5， 把点H（0，2）代入得：2＝a（0﹣2）2+2.5， 解得：； ∴上边缘抛物线解析式为； ∵下边缘抛物线的顶点是H（0，2）， ∴设下边缘抛物线的解析式是y＝a′x2+2， 把点B（1.5，0）代入得：0＝2.25a′+2， 解得：， ∴下边缘抛物线解析式为； （2）令，则（x﹣2）2＝20， 解得：，， ∵， ∴该行人不会被洒水车淋到水． 22．（8分）某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|﹣3的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 m ﹣4 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … 其中，m＝　﹣3　； （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； （3）观察函数图象，写出两条函数图象的性质 　①函数图象关于y轴对称，②当x＞1时，y随x的增大而增大　； （4）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有 　2　个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|﹣3＝0有 　2　个实数根； ②函数图象与直线y＝﹣3轴有 　3　个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|﹣3＝﹣3有 　3　个实数根； ③关于x的方程x2﹣2|x|﹣3＝a有4个实数根时，a的取值范围是 　是﹣4＜a＜﹣3．　； ④不等式x2﹣2|x|＞3的解集是 　x＜﹣1或x＞3．　． 【分析】（1）把x＝﹣2代入函数解析式即可得m的值； （2）描点、连线即可得到函数的图象； （3）根据函数图象得到函数y＝x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；当x＞1时，y随x的增大而增大； （4）①根据函数图象与x轴的交点个数，即可得到结论；②根据y＝x2﹣2|x|﹣3的图象与直线y＝﹣3的交点个数，即可得到结论；③根据函数的图象即可得到a的取值范围． 【解答】解：（1）当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2﹣2×|﹣2|﹣3＝﹣3， ∴m＝﹣3， 故答案为：﹣3． （2）根据给定的表格中数据描点画出图形，如图所示． （3）观察函数图象，可得出：①函数图象关于y轴对称，②当x＞1时，y随x的增大而增大． 故答案为：①函数图象关于y轴对称，②当x＞1时，y随x的增大而增大； （4）①观察函数图象可知：当x＝﹣3、3时，y＝0， ∴该函数图象与x轴有2个交点， 即对应的方程x2﹣2|x|﹣3＝0有2个实数根． 故答案为：2；2． ②观察函数图象可知：函数y＝x2﹣2|x|﹣3的图象与y＝﹣3只有3个交点． 故答案为：3． ③观察图象可知：关于x的方程x2﹣2|x|﹣3＝a有4个实数根时，a的取值范围是﹣4＜a＜﹣3． 故答案为：﹣4＜a＜﹣3． ④不等式x2﹣2|x|＞3的解集是x＜﹣1或x＞3． 故答案为：x＜﹣3或者x＞3． 23．（10分）如图，直线yx+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2x+c经过B、C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标； （3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）先根据一次函数求B和C的坐标，再利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）如图1，过E作EG∥y轴，交直线BC于G，设E（m，m2m+4），则G（m，m+4），表示铅直高度EG的长，利用三角形面积公式及二次函数的最值得出点E的坐标； （3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4， ∴B（0，4）， 当y＝0时，x+4＝0， x＝6， ∴C（6，0）， 把B（0，4）和C（6，0）代入抛物线y＝ax2x+c中得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：yx2x+4； （2）如图1，过E作EG∥y轴，交直线BC于G， 设E（m，m2m+4），则G（m，m+4）， ∴EG＝（m2m+4）﹣（m+4）4m， ∴S△BECEG•OC6（4m）＝﹣2（m﹣3）2+18， ∵﹣2＜0， ∴S有最大值，此时E（3，8）； （3）yx2x+4（x2﹣5x）+4（x）2； 对称轴是：x， ∴A（﹣1，0） ∵点Q是抛物线对称轴上的动点， ∴Q的横坐标为， 在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形； ①如图2，以AM为边时，由（2），可得点M的横坐标是3， ∵点M在直线yx+4上， ∴点M的坐标是（3，2）， 又∵点A的坐标是（﹣1，0），点Q的横坐标为， 根据M到Q的平移规律：可知：P的横坐标为， ∴P（，）； ②如图3，以AM为边时，四边形AMPQ是平行四边形， 由（2），可得点M的横坐标是3， ∵A（﹣1，0），且Q的横坐标为， ∴P的横坐标为， ∴P（，）； ③以AM为对角线时，如图4， ∵M到Q的平移规律可得P到A的平移规律， ∴点P的坐标是（，）， 综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形， 点P的坐标是（，）或（，）或（，）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 二次函数全章培优测试卷 【苏科版】 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，压轴题均有★标记。 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）若y＝（a2+a）是二次函数，那么（　　） A．a＝﹣1或a＝3 B．a≠﹣1且a≠0 C．a＝﹣1 D．a＝3 2．（3分）将二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 3 0 ﹣1 m 3 … ①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；③m的值为0；④图象不经过第三象限． 上述结论中正确的是（　　） A．①④ B．②④ C．③④ D．②③ 4．（3分）下表给出了二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值： x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … ﹣1 ﹣0.67 ﹣0.29 0.14 0.62 … 那么关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（　　） A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 5．（3分）点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3），D（4，y4）是二次函数y＝﹣2x2﹣4x+c+2图象上的四个点，下列说法一定正确的是（　　） A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0 C．若y3y4＜0，则y1y2＜0 D．若y2y3＜0，则y1y4＞0 6．（3分）一位同学在画二次函数y＝2x2﹣bx+3的图象时，把﹣b看成了+b，结果所画图象是由原图象向左平移6个单位长度所得的图象，则b的值为（　　） A．24 B．﹣24 C．﹣12 D．12 7．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣3≤x≤﹣1时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（　　） A．1或﹣3 B．﹣3或﹣5 C．1或﹣1 D．1或﹣5 8．（3分）廊桥是我国古老的文化遗产．如图是某座抛物线形廊桥的示意图，已知水面AB宽48m，拱桥最高处点C到水面AB的距离为12m，为保护该桥的安全，现要在该抛物线上的点E，F处安装两盏警示灯，若要保证两盏灯的水平距离EF是24m，则警示灯E距水面AB的高度为（　　） A．12m B．11m C．10m D．9m 9．（3分★★★★）如图，二次函数的图象与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交两点，则二次函数y＝（k﹣b）x2+ax+c﹣m的图象可能为（　　） A． B． C． D． 10．（3分★★★★）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论： ①abc＜0； ②3a+c＞0； ③（a+c）2＜b2； ④a+b＜m（am﹣b）（m＞0）； ⑤方程ax2+bx+c﹣m2﹣1＝0有一正一负两个实数解． 其中结论正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）将抛物线y＝2（x﹣1）2﹣1先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线y＝ax2+bx+c，则a+b+c＝　 　． 12．（3分）已知二次函数y＝（a﹣1）x2+2ax+3a﹣2的图象的最低点在x轴上，则a＝　 　． 13．（3分）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（4，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c≤n的解集是 　 　． 14．（3分）有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：甲说：对称轴是直线x＝2；乙说：与x轴的两个交点的距离为6；丙说：顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9，则这条抛物线解析式的顶点式是 　 　． 15．（3分★★★★）已知二次函数有最大值﹣3，则实数a的值为 　 　． 16．（3分★★★★★）在平面直角坐标系中，抛物线 （0≤x≤8）的图象如图所示，对任意的0≤a＜b≤8，称W为a到b时y的值的“极差”（即a≤x≤b时y的最大值与最小值的差），L为a到b时x的值的“极宽”（即b与a的差值），则当L＝7时，W的取值范围是 　 　． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）求下列二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴： （1）y＝3x2﹣6x+4； （2）yx2+2x． 18．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣1 1 3 … y … ﹣3 0 1 0 … （1）求这个二次函数表达式； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象； （3）当x的取值范围为 　 　时，y＞﹣3． 19．（6分）已知二次函数y＝x2﹣4mx+3m2，m≠0． （1）求证：该二次函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）若m＞0，且两交点间的距离为2，求m的值． 20．（8分）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖5件．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售件数为y，每个月的销售利润为W元． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）若在销售过程中每一件商品有a（a＞4）元的其他费用，商家发现当售价每件不高于67元时，一个月的销售最大利润为2530，试求出a的值． 21．（8分）某市为了创建国家卫生城市，给市民营造干净卫生的环境，每天需要洒水车为绿化带浇水，如图：洒水车喷水口H离地竖直高度OH为2米．可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，H点是下边缘抛物线的最高点，下边缘喷水的最大射程OB＝1.5米，上边缘抛物线最高点A离喷水口H的水平距离为2米，高出喷水口H的距离为0.5米． （1）请分别求出上、下边缘抛物线的函数关系式；（不写自变量的取值范围） （2）此时，距喷水口水平距离为7米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程． 22．（8分★★★★）某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|﹣3的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 m ﹣4 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … 其中，m＝　 　； （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； （3）观察函数图象，写出两条函数图象的性质 　 　； （4）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有 　 　个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|﹣3＝0有 　 　个实数根； ②函数图象与直线y＝﹣3轴有 　 　个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|﹣3＝﹣3有 　 　个实数根； ③关于x的方程x2﹣2|x|﹣3＝a有4个实数根时，a的取值范围是 　 　； ④不等式x2﹣2|x|＞3的解集是 　 　． 23．（10分★★★★★）如图，直线yx+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2x+c经过B、C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标； （3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$