第27章 相似三角形 章末复习题2024-2025学年人教版数学九年级下册

学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第27章 相似三角形 章末复习题（原卷版） 一、单选题 1．将图形甲通过缩小得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被缩小的是（   ） A．图形的面积 B．图形的周长 C．角的度数 D．边的长度 2．下列图中的两个菱形是位似图形，它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．黄金分割比广泛存在于艺术、自然、建筑等领域．例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图，枫叶的叶脉长为，为线段上一点，且满足，则称点为线段的黄金分割点，若的长度为，则符合题意的方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知在中，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，是的边上一点，下列条件：①；②；③；④．其中一定使的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在中，为边上的中点，交于点，若，则的面积为（ ） A．4 B．6 C．2 D． 7．如图，把矩形和矩形拼成如图所示的图案，已知，，，，是的中点，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 9．如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，9，则的长为（ ） A． B． C．4 D．5 10．如图，点分别在菱形的边、上，且，交于点G，延长交的延长线于点H，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，，，平分，平分，过点D作直线，分别交于点P、Q，若，则线段的长是（   ） A．5 B． C． D．6 12．如图，为等边的边上的高，，，为上一动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，四边形和相似，已知，，，则 ． 14．如图，已知等腰三角形中，，，点P从点B出发沿以的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿以的速度向点B运动，在运动过程中，当时， ． 15．如图是跷跷板示意图，将其几何图形抽象出来，支柱经过的中点与地面垂直于点，，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度为 ． 16．如图，已知点分别在的边上，，且，若，则 ． 17．如图，在中，，，D是中点，，垂足为，（1）的值为 ．（2）若，则 ． 18．如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接，交于点．若，，则的长为 ，的面积为 ． 19．如图（1），将正方形纸片对折，使与重合，折痕为，如图（2），展开后再折叠一次，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，交于点，若，则 ， ． 三、解答题 20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．(1)在轴右侧，以原点为位似中心，画出，使它与位似，且相似比为（点A，B，C的对应点分别为点，，）； (2)在（1）的条件下，求的面积． 21．如图，点D，E分别是边，上的点，点D在线段的垂直平分线上，，，(1)求证：是等边三角形；(2)求证：． 22．如图，点为线段上一点，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，与，分别相交于点，，与交于点．(1)求证：；(2)求的度数． 23．如图，在中，，，点在上，，连接交于点，点是上一点，且，连接．(1)证明：；(2)若，求的长． 24．如图，在直角中，，于点，平分交于点，交于点，交于．  (1)求证：；(2)已知，①求的值；②若，求的长． 25．学习了相似三角形知识，某校九年级（1）班三个学习小组运用了不同方法测量操场上旗杆的高度.（默认操场是水平的） 一小组 二小组 测量方法 借鉴泰勒斯测量金字塔的方法，利用影子测量． 借鉴平面镜反射原理，利用平面镜测量． 测量工具 卷尺 平面镜、卷尺 测量 示意图 测量过程 （1）如图1，当同学身高等于其影长时，小组同学测得旗杆的影长为 ，据此可得旗杆高度为________； （2）如图2，一名同学站在操场点处，前面水平放置平镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得该同学眼睛距地面高度 ，到镜面距离 ，镜面到旗杆的距离 ．求旗杆的高度； （3）三小组利用标杆进行测量，如图3，在操场点处树立标杆，一名同学在的延长线上移动，找到恰当的位置点，使得眼睛与标杆顶点，旗杆顶点在同一条直线上，小组同学测得 ， ， ， ．求旗杆的高度． 26．【问题呈现】如图①，和都是等边三角形，连接．求证：． 【类比探究】如图②，和都是等腰直角三角形，，连接、．请直接写出 的值． 【拓展提升】如图③，和都是直角三角形，，且 连接． （1）求 的值；（2）延长交于点F，交于点G．求证：． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第27章 相似三角形 章末复习题（解析版） 一、单选题 1．将图形甲通过缩小得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被缩小的是（   ） A．图形的面积 B．图形的周长 C．角的度数 D．边的长度 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似图形的性质，根据题意可得图形甲和图形乙相似，再由相似图形对应角相等，对应边的长成比例即可得到答案． 【详解】解：∵将图形甲通过缩小得到图形乙， ∴图形甲和图形乙相似， ∵相似图形对应角相等，对应边的长成比例， ∴在图形甲与图形乙的对应量中，没有被缩小的是角的度数，面积，周长和边长都被缩小， 故选：C． 2．下列图中的两个菱形是位似图形，它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查位似变换，理解位似变换的定义是解题关键．根据位似图形对应点的连线交于一点，交点就是位似中心解答即可． 【详解】解：如图，连接对应点，交于点P，则点即为位似中心． 故选：A． 3．黄金分割比广泛存在于艺术、自然、建筑等领域．例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图，枫叶的叶脉长为，为线段上一点，且满足，则称点为线段的黄金分割点，若的长度为，则符合题意的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，由实际问题抽象出一元二次方程，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义可得，从而可得，即可解答． 【详解】解：∵为线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．已知在中，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键：有两组角对应相等的两个三角形相似，两组对应边的成比例且夹角对应相等的两个三角形相似． 【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意； B、由两组对应边的成比例但是它们的夹角不一定相等，不可证阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意； C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意； D、两边对应成比例且它们的夹角相等，能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项D不符合题意； 故选：B． 5．如图，是的边上一点，下列条件：①；②；③；④．其中一定使的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定．和有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各个条件进行判断，从而得到答案． 【详解】解：∵， ∴当或，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断，故①正确，④正确； 当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断，故②正确； 当＝时，虽但不是其对应的夹角，所以与不相似，故③不正确． 因此有3个正确． 故选：C． 6．如图，在中，为边上的中点，交于点，若，则的面积为（ ） A．4 B．6 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行边形的性质，相似三角形的判定和性质，理解相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答关键． 根据平行四边形的性质求得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方来求出，同理可得求得，再根据平行四边形的一条对角线将这个平行四边形分成面积相等的两个部分来求解． 【详解】解： 中，为边上的中点， ，． ， ，， ， ，， 即， 同理可得， ． 故选：C． 7．如图，把矩形和矩形拼成如图所示的图案，已知，，，，是的中点，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意证明，进而得出，勾股定理求得，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵矩形和矩形 ∴， 又，，，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是的中点， ∴ 在中，， 在中，， 在中，， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，证明是解题的关键 8．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或计算． 【详解】解：当位似图形与在y轴同侧时， ∵，相似比为2， ∴； 当位似图形与在y轴两侧时， ∵，相似比为2， ∴； 故选：D． 9．如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，9，则的长为（ ） A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，能够通过已知条件准确构造辅助线是解决本题的关键． 根据线段的比例关系及中点平分边的特点过点构造与平行的辅助线，进而构成两组成比例的线段、，再根据比例得到线段之间的倍数关系，求出的长度即可． 【详解】解：过点作交于点． 又． ． 设，． 是的中点． ． 又 ． ． ． ． ． 即． 解得：． ． 故选：D． 10．如图，点分别在菱形的边、上，且，交于点G，延长交的延长线于点H，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形性质，相似三角形判定及性质等．根据题意设，则，，，证明，，继而得到本题答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴设，则，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 11．如图，在中，，，，平分，平分，过点D作直线，分别交于点P、Q，若，则线段的长是（   ） A．5 B． C． D．6 【答案】B 【分析】由勾股定理得，，由平分，平分，可得，由，可得，即，如图，，，设，则，，，由，可知，即，可求，，进而可求． 【详解】解：由勾股定理得，， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴，即， 如图， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∵， ∴，即， 解得，，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线，平行线的性质，等角对等边，相似三角形的性质等知识．熟练掌握勾股定理，角平分线，平行线的性质，等角对等边，相似三角形的性质是解题的关键． 12．如图，为等边的边上的高，，，为上一动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质；先找到点关于的对称点， 与的交点即为点的位置，此时最小即可求解． 【详解】解：如图，为点关于的对称点，连接 ，过点作 于点， 与关于对称， ， ， ， 的最小值为 ， 为等边三角形，为上的高，，， ，平分，点为中点， ，， ，， ， ， ， ﹣﹣ ， ， 的最小值为， 故选：C． 二、填空题 13．如图，四边形和相似，已知，，，则 ． 【答案】80 【分析】本题考查了相似图形的性质，解题的关键是掌握相似图形对应角相等． 根据相似图形的性质得出，，即可解答． 【详解】解：∵四边形和相似， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：80． 14．如图，已知等腰三角形中，，，点P从点B出发沿以的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿以的速度向点B运动，在运动过程中，当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．由得到，代入数据计算即可． 【详解】解：设运动时间为， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． 15．如图是跷跷板示意图，将其几何图形抽象出来，支柱经过的中点与地面垂直于点，，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度为 ． 【答案】90 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质．过点B作交的延长线于N，求得，得到，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：过点B作交的延长线于N，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴另一端B离地面的高度为． 故答案为：90． 16．如图，已知点分别在的边上，，且，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形相似的性质，根据相似三角形性质可得到，结合已知即可得出结果． 【详解】解：，， ， ， ， 故答案为：4． 17．如图，在中，，，D是中点，，垂足为， （1）的值为 ． （2）若，则 ． 【答案】 9 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． （1）先证，则利用相似比得到，然后根据是的中点得到，从而得到的值； （2）利用（1）的结论得到，即，则可判断，则根据相似三角形的性质得到，然后计算出的度数，从而得的度数． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， 故答案为：9； （2），， ， 即， 又， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 18．如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接，交于点．若，，则的长为 ，的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据勾股定理可得，过点A作于点H，进而可得，最后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ 由折叠的性质可知：， ∴， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴，， 过点A作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，． 19．如图（1），将正方形纸片对折，使与重合，折痕为，如图（2），展开后再折叠一次，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，交于点，若，则 ， ． 【答案】 /2.5/ / 【分析】首先根据正方形的性质可得，，由折叠可知，，，，设，则，在中利用勾股定理解得的值，即可求得的值；再证明，由相似三角形的性质可得，即可求得的值． 【详解】解：∵四边形为正方形，， ∴，， 由折叠可知，，，， 设，则， 在中，可得， ∴，解得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质和相似三角形的性质是解题关键． 三、解答题 20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)在轴右侧，以原点为位似中心，画出，使它与位似，且相似比为（点A，B，C的对应点分别为点，，）； (2)在（1）的条件下，求的面积． 【答案】(1)件解析 (2)1 【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质． （1）连接，并延长使，同理作出点和点的对应点，再顺次连接即可得； （2）先求出的面积，再利用相似三角形的性质得出两个三角形的面积比求解可得． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：根据图象可得， ∵与的相似比为， ∴与的面积比为， ∴面积． 故答案为：1． 21．如图，点D，E分别是边，上的点，点D在线段的垂直平分线上，，， (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，相似三角形的性质和判定， 对于（1），根据线段垂直平分线的性质得，再根据三角形内角和定理求出，可得结论； 对于（2），先根据“两角相等的两个三角形相似”得，可得，再结合等边三角形的性质可得答案． 【详解】（1）∵点D在线段的垂直平分线上， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴是等边三角形； （2）∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴． 22．如图，点为线段上一点，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，与，分别相交于点，，与交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理： （1）根据等腰直角三角形的性质，得到，，角的和差关系推出，即可得出结论； （2）相似三角形的对应角相等，结合8字型图，推出，平角的定义，求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵等腰直角三角形和等腰直角三角形， ∴， ∴， 勾股定理得：， ∴，， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．如图，在中，，，点在上，，连接交于点，点是上一点，且，连接． (1)证明：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）证明即可求证； （）证明，可得，即可求出，再根据求出，最后根据线段的和差关系求出即可； 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 24．如图，在直角中，，于点，平分交于点，交于点，交于．    (1)求证：； (2)已知， ①求的值； ②若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②3 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是： （1）证明，即可得证； （2）根据等角对等边证明，根据（1）中，可得出，即可求解； ②根据勾股定理求出，结合①中结论求出，证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：①由（1）知：，， 又，， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， 又， ∴， ∴，即， ∴． 25．学习了相似三角形知识，某校九年级（1）班三个学习小组运用了不同方法测量操场上旗杆的高度.（默认操场是水平的） 一小组 二小组 测量方法 借鉴泰勒斯测量金字塔的方法，利用影子测量． 借鉴平面镜反射原理，利用平面镜测量． 测量工具 卷尺 平面镜、卷尺 测量 示意图 测量过程 （1）如图1，当同学身高等于其影长时，小组同学测得旗杆的影长为 ，据此可得旗杆高度为________； （2）如图2，一名同学站在操场点处，前面水平放置平镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得该同学眼睛距地面高度 ，到镜面距离 ，镜面到旗杆的距离 ．求旗杆的高度； （3）三小组利用标杆进行测量，如图3，在操场点处树立标杆，一名同学在的延长线上移动，找到恰当的位置点，使得眼睛与标杆顶点，旗杆顶点在同一条直线上，小组同学测得 ， ， ， ．求旗杆的高度． 【答案】（1）；（2）旗杆的高度为；（3）旗杆的高度为 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． （1）由题意知，，即，求解作答即可； （2）由题意得，，，，， 证明，则，即，计算求解即可； （3）如图，设过点作平行于的直线分别交于点，由题意得，，，， ，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，即， 解得，， 故答案为：； （2）解：由题意得，，，，， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， 答：旗杆的高度为． （3）解：如图，设过点作平行于的直线分别交于点， 由题意得，，，， ， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：m， ∴， 答：旗杆的高度为． 26．【问题呈现】 如图①，和都是等边三角形，连接．求证：． 【类比探究】 如图②，和都是等腰直角三角形，，连接、．请直接写出 的值． 【拓展提升】 如图③，和都是直角三角形，，且 连接． （1）求 的值； （2）延长交于点F，交于点G．求证：． 【答案】【问题呈现】见解析；【类比探究】 ；【拓展提升】（1）；（2）见解析 【分析】问题呈现：由等边三角形的性质易得，由证明，则得； 类比探究：由等腰直角三角形及勾股定理得，且得，证明，即可求得的值； 拓展提升：（1）由已知条件得，得，，继而得，即可求得结果； （2）由得，由，由三角形内角和即可得要证结论． 【问题呈现】证明：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 【类比探究】∵和均为等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 【拓展提升】 ∴， ∵， ∴， 即， ∴； ∵， ∴， (2)证明：由(1)得：， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合，考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，有一定的综合性，灵活运用这些知识是解题的关键． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$