21.3 实际问题与一元二次方程 新知梳理+典型例题+配套+练习题 2024-2025学年人教版九年级数学上册

21.3 实际问题与一元二次方程 ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 一、选择题（共8小题） 1．（2023秋•交口县期末）据国家统计局发布的《2023年国民经济和社会发展统计公报》显示，2021年和2023年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2021年至2023年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为，依题意可列方程为　　 A． B． C． D． 2．（2024•南岗区校级一模）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有81台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•怀仁市期末）如图，某小区有一块长，宽的矩形花园，现要修三条入口宽度相等的小路，每条小路的两边是互相平行的．若使剩余面积为．求小路的入口宽度．若设小路的入口宽度为 ，则根据题意所列方程正确的是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•福州期末）在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•仁寿县期末）如图，中，，，，点从点出发向终点以1个单位长度移动，点从点出发向终点以2个单位长度移动，、两点同时出发，一点先到达终点时、两点同时停止，则　　秒后，的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 6．（2023秋•武隆区期末）将一个容积为的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，根据题意，列出关于的方程为　　 A． B． C． D． 7．（2024•阿城区三模）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是　　 A． B． C． D． 8．（2024•临沭县一模）苍源河公园结合临沭的文化和地域特色，为临沭打造了一片集运动、休闲、游憩、文化体验为一体的滨水空间．该项目2023年第一季度共投入资金0.4亿元，第三季度共投入资金0.6亿元，设第二、三季度投入资金的平均增长率为，则依题意可列方程为　　 A． B． C． D． 二、填空题（共8小题） 9．（2024春•姜堰区期末）一枚圆形古钱币的中间是一个边长为的正方形孔，已知正方形面积是圆面积的，设圆的半径为，可得方程　 　． 10．（2024春•东阳市期中）为积极响应国家“双减”政策，某县推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次，设从第一批到第三批公益课受益学生人次的平均增长率为，则可列方程 　　． 11．（2024春•莱芜区期末）参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了55次，那么到会的人数是 　　． 12．（2023秋•岳阳期末）某件羊毛衫的售价为1000元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为810元，设平均每次降价的百分率为，根据题意可列方程为 　　． 13．（2024•鹿城区校级开学）某商品经过连续两次涨价，销售单价由原来的100元涨到144元，则平均每次涨价的百分率为 　　． 14．（2024春•任城区校级期末）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为　　． 15．（2024春•文登区期末）某市举行中学生足球联赛，每两个队之间都要进行一场比赛，共要比赛66场．若有支球队参赛，则可列方程 　　． 16．（2024春•北京期末）随着生活水平的提高，人们越来越关注健康的生活环境，家庭及办公场所对空气净化器的需求量逐月增多．经调查，某品牌的空气净化器今年三月份的销售量为8万台，五月份的销售量为9.68万台，若销售量的月平均增长率相同，均为，则可列方程为 　　． 三、解答题（共8小题） 17．（2023秋•邻水县期末）在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率； （2）某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 18．（2023秋•怀集县期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 19．（2024•宝安区校级模拟）2023年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率． （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 20．（2024春•安庆期中）如图，中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为． （1）若的面积是面积的，求的值？ （2）的面积能否为面积的一半？若能，求出的值；若不能，说明理由． 21．（2024春•南岗区校级月考）随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2012年底拥有家庭轿车64辆，2014年底家庭轿车的拥有量达到100辆． （1）若该小区2012年底到2014年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2015年底家庭轿车将达到多少辆？ （2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位．据测算，建造费用分别为室内车位5000元个，露天车位1000元个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，求该小区最多可建室内车位多少个？ 22．（2024•凉州区二模）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那么每件衬衫应降价多少元？ 23．（2024春•田阳区期末）如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒． （1）无盖方盒盒底的长为　　，宽为　　（用含的式子表示）． （2）若要制作一个底面积是的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 24．（2024春•栖霞市期末）2023年杭州亚运会文创产品热销，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”凭借时尚可爱的形象更是“圈粉”无数．某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物摆件，以每件69元的价格出售．经统计，4月份的销售量为192件，6月份的销售量为300件． （1）求该款吉祥物摆件4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物摆件每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物摆件售价为多少元时，月销售利润达7200元？ 一、选择题（共8小题） 1．【答案】 【分析】利用2023年全国居民人均可支配收入年全国居民人均可支配收入年至2023年全国居民人均可支配收入的年平均增长率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：． 故选：． 2．【答案】 【分析】设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了台电脑，这台电脑又感染给了台电脑．等量关系：经过两轮感染后就会有81台电脑被感染． 【解答】解：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，列方程得： ， 即． 故选：． 3．【答案】 【分析】设小路宽为米，根据矩形的面积公式结合剩余的面积为，即可得出关于的一元二次方程，即可得出结论． 【解答】解：设小路的入口宽度为 ， 由题意可得：， 故选：． 4．【答案】 【分析】设一共邀请了支球队参加比赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间都进行一场比赛），则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【解答】解：由题意得，． 故选：． 5．【答案】 【分析】设秒后，的面积等于4，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：设秒后，的面积等于4， 由题意得：，，则， ， ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 即1秒后，的面积等于4， 故选：． 6．【答案】 【分析】根据题意表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积即可． 【解答】解：由题意可得：长方体的长为：15，宽为：， 则根据题意，列出关于的方程为：． 故选：． 7．【答案】 【分析】如果该厂五、六月份平均每月的增长率为，那么可以用分别表示五、六月份的产量，然后根据第二季度共生产零件182万个可得出方程． 【解答】解：依题意得五、六月份的产量为、， ． 故选：． 8．【答案】 【分析】设第二、三季度投入资金的平均增长率为，根据该项目2023年第一季度共投入资金0.4亿元，第三季度共投入资金0.6亿元，列出方程即可． 【解答】解：设第二、三季度投入资金的平均增长率为， 则． 故选：． 二、填空题（共8小题） 9．【分析】根据正方形面积是圆面积的，列出方程即可． 【解答】解：设圆的半径为，由题意得 ． 故答案为：． 10．【答案】． 【分析】设受益学生人次的平均增长率为，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”列出方程，即可求解． 【解答】解：设受益学生人次的平均增长率为，根据题意得： ． 故答案为：． 11．【答案】11． 【分析】设到会的有人，根据参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了55次，列出一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：设到会的有人， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 故答案为：11． 12． 【分析】根据该羊毛衫的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程即可． 【解答】解：依题意，得：， 故答案为：． 13．【答案】． 【分析】设平均每次涨价的百分率为，利用增长率问题可得，然后解方程求出，再进行检验确定答案． 【解答】解：设平均每次涨价的百分率为， 根据题意得，， 解得，，（舍去）， 答：平均每次涨价的百分率约为． 故答案为：． 14． 【分析】设运动时间为，则，，利用三角形面积的计算公式结合的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【解答】解：设运动时间为，则，， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：2． 15．【答案】． 【分析】利用比赛的总场数参赛队伍数（参赛队伍数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：． 故答案为：． 16．【答案】． 【分析】设月平均增长率为，根据三月及五月的销售量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：． 故答案为：． 三、解答题（共8小题） 17．【答案】（1）； （2）21万元． 【分析】（1）设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为，该汽车企业2020年新能源汽车销售总量为辆，则该汽车企业2022年新能源汽车销售总量为辆，利用该汽车企业2022年新能源汽车销售总量该汽车企业2020年新能源汽车销售总量该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率），可得出关于的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆，利用该店销售该款汽车平均每周的销售利润每辆的销售利润每周的销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为，该汽车企业2020年新能源汽车销售总量为辆，则该汽车企业2022年新能源汽车销售总量为辆， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽量让利于顾客， ． 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 18． 【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染个人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论． 【解答】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染个人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染8个人． （2）（人． 答：经过三轮传染后共有729人会患流感． 19． 【分析】（1）设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为，根据2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件．列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设该款吉祥物降价元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润达8400元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为； （2）设该款吉祥物降价元，则每件的利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， （不符合题意，舍去）， 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元． 20． 【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出面积为，的面积为，由题意列出方程解答即可； （2）由等量关系列方程求出的值，但方程无解． 【解答】解：（1），， ， 整理得， 解得． 答：当时的面积为面积的； （2）当时， ， 整理得， △， 此方程没有实数根， 的面积不可能是面积的一半． 21．【答案】（1）该小区到2015年底家庭轿车将达到125辆；（2）小区最多可建室内车位21个． 【分析】（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为，根据某小区2012年底拥有家庭轿车辆，2014年底家庭轿车的拥有量达到100辆列一元二次方程求出的值，进一步计算即可； （2）设该小区可建室内车位个，根据计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，据此列一元一次不等式组，求出的取值范围，据此即可解答． 【解答】解：（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为， 根据题意可得：，解得：或（舍去）， （辆． 答：该小区到2015年底家庭轿车将达到125辆． （2）设该小区可建室内车位个，则露天车位个， 根据题意可得：，解得：， 为整数， 小区最多可建室内车位21个． 答：小区最多可建室内车位21个． 22． 【分析】设每件衬衫应降价元，那么就多卖出件，根据扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，根据每天盈利1200元，可列方程求解． 【解答】解：设每件衬衫应降价元， 由题意得：， 即， ， ， 解得：或 为了减少库存，所以． 故每件衬衫应降价20元． 23． 【分析】（1）用长方形纸板的长和宽减去两个小正方形的边长，即可求出结论； （2）根据长方形的面积公式结合底面面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【解答】解：（1）无盖方盒盒底的长为，宽为． 故答案为：；． （2）依题意，得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：剪去的正方形的边长为． 24．【答案】（1）； （2）60元． 【分析】（1）设该款吉祥物摆件4月份到6月份销售量的月平均增长率为，利用该款吉祥物摆件6月份的销售量该款吉祥物摆件4月份的销售量该款吉祥物摆件4月份到6月份销售量的月平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该吉祥物摆件售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，利用总利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该款吉祥物摆件4月份到6月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物摆件4月份到6月份销售量的月平均增长率为； （2）设该吉祥物摆件售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：当该吉祥物摆件售价为60元时，月销售利润达7200元． 第1页（共16页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.3 实际问题与一元二次方程 ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 【题型1】数字问题 3 【题型2】变化率问题 6 【题型3】商品销售问题 8 【题型4】存款利息问题 12 【题型5】面积问题 15 【题型6】单循环、双循环问题 19 知识点1：列一元二次方程解应用题的一般步骤 （1）审：审清题意，分清已知量和未知量，明确各量之间的关系． （2）设：设元，也就是设未知数，可直接设未知数或间接设未知数． （3）找：根据题目中的关键语句，找出等量关系． （4）列：根据等量关系列出一元二次方程． （5）解：解一元二次方程，求出未知数的值． （6）验：检验所求解的合理性． （7）答：写出答案，应遵循“问什么答什么的原则”． 注意：不要忘记检验方程的解是否符合实际意义． 在实际问题中，由一元二次方程解得的根要符合实际情况，如人数为自然数，几何图形中的长度、面积等为正数，银行存款利率不能为负． 知识点2：常见题型 1．数字问题 一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，则这个两位数表示为10a+b；一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数表示为100a+10b+c． 2．平均变化率问题 设基数为a，平均增长（或减少）率为x，则第一次增长（或减少）后的值为a（1±x），第二次增长（或减少）后的值为a（1±x）2，以此类推，第n次增长（或减少）后的值为a（1±x）n． 3．利润问题 利润=售价一进价； 利润率==； 售价=进价×（1+利润率）； 打折后的价格=售价×打折数×． 总利润=总售价－总成本=单个利润×总销售量． 列一元二次方程解决实际问题时应注意： （1）注意各类实际问题中常见的等量关系． （2）注意文字语言与代数式之间的互化，能把用文字语言表述的关系用代数式表示出来． （3）注意单位问题，一是在设未知数时必须写清单位；二是列方程时，要注意方程两边的单位必须一致，答时必须写上单位． （4）一般情况下一元二次方程有两个解，所以要注意检验方程的解是否符合题意及使实际问题有意义． 【题型1】数字问题 例1 （2023•翼城县一模）读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄） 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 东吴都督而立年，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符； 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ 【分析】设周瑜去世时的年龄的个位数字为，则十位数字为．根据题意建立方程求出其值就可以求出其结论． 【解答】解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为，则十位数字为．由题意得； ， 解得：， 当时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去； 当时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意． 答：周瑜去世时的年龄为36岁． ◄ 点拨 ► 数字在哪位上，该数位上的数字就乘哪个进率． 【变式1】　（2023秋•西华县月考）有一个两位数，两个数位上数字的和是6，这个两位数是这两个数位上数字的积的3倍，则这个两位数是 　　． 【变式2】　（2023秋•罗山县校级月考）一个两位数，十位数字比个位数字大3．若这两个数字之积等于这个两位数的，则这个两位数是　　． 【变式3】　（2023秋•临汾月考）一个两位数，个位数字比十位数字大4，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数，求原来的两位数． 1．【答案】24或15． 【分析】根据“这个两位数是这两个数位上数字的积的3倍”设未知数列方程求解 【解答】解：设这个两位数的个位为，则十位数为， 根据题意可得，， 整理得， 解得或5， 当时，，故这个两位数为； 当时，，故这个两位数为． 故答案为：24或15． 2．【答案】63． 【分析】设这个两位数的个位数字为，则十位数字为，根据这两个数字之积等于这个两位数的，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合为非负整数，即可得出的值，再将其代入中即可求出结论． 【解答】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又为非负整数， ， ． 故答案为：63． 3．【答案】26． 【分析】先设原来的两位数的十位数字为，再根据题意列出等式，最后进行计算即可． 【解答】解：设原来的两位数的十位数字为， ， 整理得： 解得：， （不符合题意，舍去） ，故原来的两位数为26． 答：原来的两位数为26． 【题型2】变化率问题 例2 （2024春•岳麓区校级期末）某种品牌运动服的每件零售价为560元，经过两次降价，降为315元，若每次平均降价率为，则下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用经过两次降价后该品牌运动服每件的零售价该品牌运动服每件的原零售价每次平均降价率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：． 故选：． ◄ 点拨 ► 平均增长（或减少）率公式为a（1±x）n=b． a其中是变化前的数量； b是变化后的数量； n是变化的年数或次数． 【变式4】　（2023秋•潼南区期末）某超市第一季度中，1月的营业额为200万元，2、3月的总营业额为1000万元，如果平均每月增长率为，由题意可列方程　　 A． B． C． D． 【变式5】　（2024•广南县模拟）某市2021年年底自然保护区覆盖率为，经过两年努力，该市2023年年底自然保护区覆盖率达到，求该市这两年自然保护区面积的年均增长率．设该市这两年自然保护区面积的年均增长率为，则下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【变式6】　（2024•高平市三模）山西省所有公立医疗机构于2024年3月25日起全面执行第九批国家组织药品集中带量采购中选结果．相关负责人表示，重点药品降价将明显减轻患者负担，某药品通过连续两轮降价，每粒从200元降至15元．若该药品每轮降价率相同．设每轮降价率为，则根据题意可列方程为　　 A． B． C． D． 4．【答案】 【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，利用等量关系：二月份的营业额三月份的营业额万元，把相关数值代入即可． 【解答】解：该超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为， 该超市二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元， 又、3月的总营业额为1000万元， ． 故选：． 5．【答案】 【分析】利用该市2023年年底自然保护区覆盖率该市2021年年底自然保护区覆盖率该市这两年自然保护区面积的年均增长率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：． 故选：． 6．【答案】 【分析】利用经过两次降价后的价格原价该药品每轮降价率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：． 故选：． 【题型3】商品销售问题 例3 （2024•广东一模）香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120件，每件盈利200元，为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售出30件，如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价 　　元． 【答案】80． 【分析】设每件应降价元，则每件的销售利润为元，每月可售出件，利用总利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要尽快减少库存，即可确定结论． 【解答】解：设每件应降价元，则每件的销售利润为元，每月可售出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽快减少库存， ， 每件应降价80元． 故答案为：80． ◄ 点拨 ► 利润=售价一进价； 利润率==； 售价=进价×（1+利润率）； 打折后的价格=售价×打折数×． 总利润=总售价－总成本=单个利润×总销售量． 【变式7】　（2024春•海阳市期末）某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．该店要想平均每天盈利12160元，则每顶帐篷应降价多少元？设降价元，下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【变式8】　（2024•祁县模拟）上党腊驴肉是山西长治的传统名吃，其肉质肥而不腻、瘦而不柴，香味四溢、回味无穷．某特产专卖店购进一批袋装上党腊驴肉，进价为40元袋，经市场调查发现，当销售单价为60元时，每天可售出300袋；销售单价每降低1元，每天可多售出20袋．若销售单价降低元，该专卖店每天销售这种腊驴肉可获得利润5000元，则可列方程为　　 A． B． C． D． 【变式9】　（2023秋•北海期末）某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20件，每件可盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售出5件．若要平均每天盈利1600元，则应降价 　　元． 7．【答案】 【分析】当每顶帐篷降价元时，每顶帐篷利润为元，平均每天可售出顶，利用总利润每顶帐篷的销售利润日销售量，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：当每顶帐篷降价元时，每顶帐篷利润为元，平均每天可售出顶， 根据题意得：． 故选：． 8．【答案】 【分析】设销售单价降低元，则每天可售出袋，根据总利润每个的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程． 【解答】解：依题意得：， 故选：． 9．【答案】4或36． 【分析】设每件降价元，则每件可盈利元，平均每天可售出件，利用总利润每件的盈利平均每天的销售量，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设每件降价元，则每件可盈利元，平均每天可售出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 若要平均每天盈利1600元，则应降价4或36元． 故答案为：4或36． 【题型4】存款利息问题 例4 （2022春•万秀区校级期中）2019年小王看中了某楼盘以12000元的均价对外销售面积为的某户型，由于资金不足，决定等两年再考虑买房．自2019年底出现疫情以来，商品房价格下调，2021年的该户型的均价为9720元． （1）求这一户型的均价平均每年下调的百分率； （2）进入2022年后小王得知该户型仍有少量库存在售，单价较2021年的均价再次下调相同的百分率．小王计算了一下自己的资金，在过去的24个月中，每月固定存上相同数量的资金（存入的资金是100的整数倍），加上原有积蓄30万元，还可以向银行贷款50万元，可以凑齐房款，请问小王在过去的两年中每月至少固定存入多少钱？ 【答案】（1）； （2）小王在过去的两年中每月至少固定存入3200元钱． 【分析】（1）设这一户型的均价平均每年下调的百分率为，由题意：2019年的均价为12000元，2021年的该户型的均价为9720元．列出一元二次方程，解方程即可； （2）设小王在过去的两年中每月固定存入元钱，由题意列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设这一户型的均价平均每年下调的百分率为， 由题意得：， 解得：，（不合题意舍去）， 答：这一户型的均价平均每年下调的百分率为； （2）设小王在过去的两年中每月固定存入元钱， 由题意得：， 解得：，且取100的整数倍， 最小值为3200， 答：小王在过去的两年中每月至少固定存入3200元钱． ◄ 点拨 ► 税前利息=本金×利率×期数． 【变式10】　（2022秋•蓬安县期中）若某银行经过两次降息，使三年期存款的年利率由降至，则平均每次降息的百分比是　　 A． B． C． D． 【变式11】　（2022秋•平泉市校级月考）某人在银行存了400元钱，两年后连本带息一共取款484元，设年利率为，则列方程为　 　，解得年利率是　 　． 【变式12】　（2022秋•株洲期中）2019年，我市某楼盘以每平方米7200元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2021年的均价为每平方米5832元． （1）求平均每年下调的百分率； （2）假设2022年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金25万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算） 10．【答案】 【分析】等量关系：经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由降至． 【解答】解：经过一次降息，是； 经过两次降息，是． 则有方程． 解方程得或（舍去）． 即：平均每次降息的百分率为． 故选：． 11．【分析】本题为复利问题，一般形式为，如果设年利率为，那么根据题意可得出方程．解方程可得出年利率为． 【解答】解：设年利率为， 则根据公式可得：； 解得：． 12．【答案】（1）平均每年下调的百分率为； （2）张强的愿望能实现． 【分析】（1）设平均每年下调的百分率为，根据题意得到，然后可求得下调的百分比； （2）根据总房款每平方米的均价平方数，求出总房款，与张强持有的现金与银行贷款之和比较，即可得到答案． 【解答】解：（1）设平均每年下调的百分率为，则 ． 解得：，（不合题意舍去）． 答：平均每年下调的百分率为； （2）张强的愿望能实现，理由如下： （万元）． 由于，所以张强的愿望能实现． 【题型5】面积问题 例5 （2024•瑶海区校级模拟）如图，矩形是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边的长为，边的长为，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为 ，下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由人行通道的宽度为 ，可得出每个展位的长为，宽为，根据每个展位的面积都为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：人行通道的宽度为 ， 每个展位的长为，宽为． 依题意得：， 即． 故选：． ◄ 点拨 ► 规则图形利用各几何图形的面积公式； 不规则图形分割或组合成规则图形，利用割补法求面积的和或差． 【变式13】　（2024春•宁阳县期末）如图，一农户要建议个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为，则可以列出方程是　　 A． B． C． D． 【变式14】　（2024春•钱塘区期末）金沙湖大剧院以形似水袖、飘飘而立，势如水形、绝美的颜值，成为金沙湖畔最具魅力的城市地标．如图，某摄影爱好者拍摄了一副长为，宽为的金沙湖大剧院风景照，现在风景画四周镶一条等宽的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是，设纸边的宽为，则满足的方程是　　 A． B． C． D． 【变式15】　（2024春•利辛县期末）我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽不及长一十二步（宽比长少一十二步），则“阔”是　　 A．12步 B．24步 C．36步 D．72步 13．【答案】 【分析】根据各边之间的关系，可得出平行于墙的一边长为，结合花圃面积为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：篱笆的总长度为，与墙垂直的一边长为， 平行于墙的一边长为． 根据题意得：． 故选：． 14．【答案】 【分析】如果设纸边的宽为 ，那么挂图的长和宽应该为和，根据总面积即可列出方程． 【解答】解：设纸边的宽为 ，那么挂图的长和宽应该为和， 根据题意可得出方程为：， 故选：． 15．【答案】 【分析】设“阔”是步，则长是步，根据直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设“阔”是步，则长是步， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， “阔”是24步． 故选：． 【题型6】单循环、双循环问题 例6 （2023春•北碚区校级月考）新春佳节，某班同学两两之间全部互发祝福短信，共发2450条，设全班共有名学生，可列方程　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据全班的人数，可得出每名学生需发送条祝福短信，利用发送短信的总条数全班人数（全班人数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：全班共有名学生， 每名学生需发送条祝福短信． 根据题意得：． 故选：． ◄ 点拨 ► （1）单循环问题（握手、两队打一场比赛）：设参加球队数为x，则全部比赛场数为； （2）双循环问题（两队打两场比赛、互赠卡片）：设参加球队数为x，则全部比赛场数为． 【变式16】　（2023秋•渌口区期末）某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则九年级班级的个数为　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【变式17】　（2023秋•安次区校级月考）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？如果共有支队伍参赛，根据题意，列出方程为　　 A． B． C． D． 【变式18】　（2023秋•曲靖期末）初三毕业之际，在毕业晚会上同学们互赠照片以表留念，每人给其他同学送一张照片，一共送出110张照片，设晚会上有人，则可列方程为　　 A． B． C． D． 16．【答案】 【分析】设九年级共有个班，根据“赛制为单循环形式，且共需安排15场比赛”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出九年级的班级数． 【解答】解：设九年级共有个班， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），． 故选：． 17．【答案】 【分析】利用比赛场次数参赛队伍的数量（参赛队伍的数量），即可得出关于的一元二次方程，变形后即可得出结论． 【解答】解：依题意得：， 即． 故选：． 18．【答案】 【分析】利用赠送照片的总张数参会人数（参会人数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：晚会上有人，且每人给其他同学送一张照片， 每人需送出张照片． 根据题意得：． 故选：． 第20页（共22页） 学科网（北京）股份有限公司 $$