21.2 解一元二次方程 新知梳理+典型例题+配套+练习题 2024-2025学年人教版九年级数学上册

21.2 解一元二次方程 ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 一、选择题（共10小题） 1．（2024•大洼区校级二模）关于的一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．与的取值有关，无法确定根的情况 2．（2023秋•晋中期末）用配方法解方程配方后的方程是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•淮滨县期末）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 4．（2023秋•定州市期末）方程的解是　　 A． B． C．， D．， 5．（2024•北戴河区一模）已知，互为倒数，则关于的方程根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．有一根为1 6．（2024•柘城县校级模拟）若关于的方程没有实数根，则的值可以是　　 A．5 B．4 C．3 D．2 7．（2024春•迎江区校级期末）若关于的方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两边长，则△的周长为　　 A．8 B．10 C．12 D．8或10 8．（2024春•迎江区校级期末）已知关于的一元二次方程的一个解是，则方程的另一个解为　　 A． B．2 C． D．3 9．（2024•息县三模）对于实数、定义运算“”为，例如，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 10．（2024春•牟平区期末）已知，是方程的两根，则的值是　　 A．0 B． C． D．6 二、填空题（共10小题） 11．（2024•古浪县三模）若，且一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　． 12．（2024•鞍山模拟）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 　　． 13．（2024•九台区一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　　． 14．（2024•中山市校级一模）关于的一元二次方程有两个不同的实数根，，且，则　　． 15．（2024•海州区校级三模）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是　　． 16．（2024•湖南模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实根，则m的值为 　 　． 17．（2024•福田区校级一模）已知关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是 　　． 18．（2024•罗湖区校级自主招生）已知实数，满足，且，则　　． 19．（2024•河东区一模）已知、满足，，，且，则　　． 20．（2024春•濉溪县期末）若，则的值为 　　． 三、解答题（共8小题） 21．（2024•深圳模拟）解方程：． 22．（2023秋•东辽县期末）阅读下面的例题： 解方程：． 解：①当时，原方程化为， 解得，（不合题意，舍去）； ②当时，原方程化为， 解得（不合题意，舍去），． 综上，原方程的根是，． 请参照例题解方程：． 23．（2024•石家庄一模）下面是杨老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程，请认真阅读并完成任务． 解：第一步 第二步 第三步 第四步 ，第五步 （1）任务一：①小颖解方程的方法是 　　． ．直接开平方法 ．配方法 ．公式法 ．因式分解法 ②第二步变形的依据是 　　； （2）任务二：请你按要求解下列方程： ①；（公式法）②．（因式分解法） 24．（2024春•莒县校级期末）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 或 ， 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程： （1）； （2）． 25．（2024春•仓山区校级期末）解方程： （1）． （2）． 26．（2024•船营区校级开学）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当时，求此时方程的根． 27．（2024•南关区校级开学）解下列方程： （1）； （2）． 28．（2024春•利辛县月考）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出，将的值再代入 中解的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上过方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可．根据上述方法，完成下列问题： （1）若，则的值为 　　； （2）解方程：． 一、选择题（共10小题） 1．【答案】 【分析】根据根的判别式即可求解． 【解答】解：关于的一元二次方程， △， ， ， 方程有两个不相等的实根， 故选：． 2．【答案】 【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【解答】解：方程移项得：， 配方得：，即． 故选：． 3．【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义可得且△，解不等式组即可． 【解答】解：关于的一元二次方程有实数根， 且△， 解得且． 故选：． 4．【答案】 【分析】先移项得到，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：， ， 或， 所以，． 故选：． 5．【答案】 【分析】根据根的判别式得到△，根据，互为倒数，得到，解之即可． 【解答】解：关于的方程根的判别式为△， ，互为倒数， ， ． 原方程无实数根， 故选：． 6．【答案】 【分析】利用根的判别式求出的取值范围，可得结论． 【解答】解：由题意，知△，解得． 的值可以是5， 故选：． 7．【答案】 【分析】先求出方程的解，再根据三角形三边的关系即可解决问题． 【解答】解：由得， ， 所以，． 因为此方程的两个实数根是等腰三角形的两边上， 则当2为腰时，，此情况舍去． 当4为腰时，，符合要求， 所以△的周长为． 故选：． 8．【答案】 【分析】设方程的另一个解为，根据根与系数的关系得到，然后解一次方程即可． 【解答】解：设方程的另一个解为， 根据题意得， 解得． 故选：． 9．【答案】 【分析】根据运算“”的定义将方程转化为一般式，由根的判别式△，即可得出该方程有两个不相等的实数根． 【解答】解：， ， ， △， 关于的方程有两个不相等的实数根． 故选：． 10．【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【解答】解：，是方程的两根， ，， ． 故选：． 二、填空题（共10小题） 11． 【分析】根据非负数的性质求出、的值，转化成关于的不等式即可解答． 【解答】解：， ，， 原方程为， 该一元二次方程有实数根， △， 解得：， 方程是一元二次方程， ， 的取值范围是：且， 故答案为：且． 12．【答案】． 【分析】利用根与系数的关系求解． 【解答】解：，是一元二次方程的两个实数根， ． 故答案为：． 13．【答案】． 【分析】根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围． 【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， △， 解得：． 故答案为：． 14．【答案】． 【分析】根据根与系数的关系得到，，再由变形得到，即可得到，然后解此方程代入根的判别式后取舍即可． 【解答】解：关于的一元二次方程有两个不同的实数根，， ，， △ ， ， ， ， ， ， 解得：，， 当时，△，不符合题意，舍去； 当时，△，符合题意； 综上，． 故答案为：． 15． 【分析】利用判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可． 【解答】解：根据题意得△，解得． 故答案为：． 16．【答案】见试题解答内容 【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝0，然后解关于m的方程即可． 【解答】解：∵x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝0， 解得m＝1． 故答案为：1． 17．【答案】． 【分析】利用根与系数之间的关系求解 【解答】解：设另一个根为，由根与系数之间的关系得， ， ， 故答案为， 18．【答案】50． 【分析】由两个方程的形式可知，，是方程的两个根，根据根与系数的关系得到与的数量关系并代入计算即可． 【解答】解：由题意可知，，是方程的两个根， ，即， ， ． 故答案为：50． 19．【答案】． 【分析】根据题意可得、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，据此解方程求出、的值，然后代值计算即可． 【解答】解：，，且， 、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， 解方程得或， 不妨设，， ， 故答案为：． 20．【答案】5． 【分析】根据换元法，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案． 【解答】解：设原方程等价于， 即， 解得，， ， ， 故答案为：5． 三、解答题（共8小题） 21． 【分析】利用因式分解法解出方程． 【解答】解： 或 ，． 22．【答案】原方程的根是，． 【分析】仿照题干所给例题分类讨论：当时，去绝对值得到，利用因式分解求解；当时，原方程化为，利用因式分解法求解． 【解答】解：①当时， 原方程可化为， 解得（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去）； ②当时，原方程可化为， 解得，． 综上所述，原方程的根是，． 23．【答案】（1）①； ②等式的基本性质； （2）①，； ②，． 【分析】（1）①利用配方法解方程的方法可以判断； ②根据等边的基本性质求解； （2）①先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解； ②先把方程变形为，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）①小颖解方程的方法为配方法； 故答案为：； ②第二步变形的依据是等式的基本性质； 故答案为：等式的基本性质； （2）①， ，，， △， ， 所以，； ②， ， ， 或， 所以，． 24．【答案】（1），； （2），． 【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【解答】解：（1）． ， 或， ，； （2）， ， 或， ，． 25． 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【解答】解：（1）． ， ， ，． （2），，， ． ， ． 26．【答案】（1）为任意实数； （2），． 【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出△，据此即可得出为任意实数； （2）将代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论． 【解答】解：（1）由题意得：△， 解得为任意实数； （2）当时，方程为， 则， 解得：，． 27．【答案】（1），． （2），． 【分析】（1）利用因式分解法解方程． （2）利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）， ， ， 则或， 解得：，． （2）， ， ， 则或， 解得：，． 28．【答案】（1）2； （2），，，． 【分析】（1）设，则原方程可化为，整理得，然后利用直接开平方法解方程，从而利用非负数的性质可得到的值； （2）把原方程看作的一元二次方程，则，利用因式分解法得到或，然后分别解和即可． 【解答】解：（1）设，则， 原方程可化为， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， 所以的值为2； 故答案为：2； （2）， ， ， 或， 解方程得，； 解方程得，， 所以原方程的解为，，，． 第1页（共16页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2 解一元二次方程 ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 【题型1】直接开平方法 4 【题型2】配方法 6 【题型3】公式法 9 【题型4】因式分解法 12 【题型5】用合适的方法解一元二次方程 14 【题型6】根与系数的关系 19 知识点1：直接开平方法 直接开平方法：利用平方根的定义通过直接开平方将一元二次方程“降次”为一元一次方程进行求解． 解形如的方程： 当时，方程有两个相等的实数根，即； 当时，方程有两个不相等的实数根，即； 当时，方程没有实数根． 知识点2：配方法 1．概念：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2．用配方法解一元二次方程“ax2＋bx+c=0（a≠0）”的一般步骤是： （1）将方程化为一般形式ax2＋bx+c=0； （2）移项，将常数项移到方程的右边ax2＋bx=﹣c； （3）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数a； （4）配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为的形式； （5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n≤0，则原方程无解． 3．一般地，如果将一个一元二次方程通过配方转化成的形式，那么就有： （1）当时，方程有两个不相等的实数根：，． （2）当时，方程有两个相等的实数根：． （3）当时，方程没有实数根． 知识点3：公式法 1．解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式（）．当时，方程（）的实数根可以写成的形式．这个式子叫做一元二次方程（）的求根公式． 利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． 2．解题步骤： （1）化：把一元二次方程化为一般形式． （2）定：确定a，b，c的值． （3）算：计算判别式的值． （4）求：在的前提下，将a，b，c的值代入求根公式求解． （若，则方程无实数根） 知识点4：因式分解法 1．因式分解的方法： （1）提公因式法； （2）公式法：包含平方差公式和完全平方公式； （3）十字相乘法． 2．可化为的方程，用因式分解法求解． 3．切记不能在方程两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根． 知识点5：根的判别式 求出判别式的值，判断根的情况： （1）方程有两个不相等的实数根． （2）方程有两个相等的实数根． （3）方程没有实数根． 1．使用配方法时，一次项系数决定了完全平方式是两数差的平方还是两数和的平方． + + 2．由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 3．使用判别式之前，先把方程化成一般形式，以便正确找出a，b，c的值（注意符号）． 注意：当时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程只有一个实数根． 【题型1】直接开平方法 例1 （2023秋•太和县期末）方程的解是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】开方得出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：开方得：， 解得：，， 故选：． ◄ 点拨 ► 1．直接开平方法：形如的方程，可直接开平方求解． （1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数． （2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程． （3）记忆口诀：左平方，右非负，系数化为1，开平方取正负． 2．方法是根据平方根的意义开平方． 3．形如的一元二次方程若有解，则两个解互为相反数． 【变式1】　（2024春•长乐区期末）一元二次方程根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式2】　（2024春•顺义区期末）方程的解是　　 A． B． C．， D．， 【变式3】　（2024春•西湖区期中）若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是　　 A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 1．【答案】 【分析】利用直接开平方法即可解决问题． 【解答】解：因为，且没有平方根， 所以一元二次方程没有实数根． 故选：． 2．【答案】 【分析】首先移项，把移到方程右边，再两边直接开平方即可． 【解答】解：， 移项得：， 两边直接开平方得：， ，． 故选：． 3．【答案】 【分析】方程的两根互为相反数，据此可得，求得的值，继而可得答案． 【解答】解：由题意知，方程的两根互为相反数， ， 解得， ，， 故选：． 【题型2】配方法 例2 （2024春•怀宁县期末）用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【解答】解：方程， 整理得：， 配方得：，即． 故选：． ◄ 点拨 ► 1．先看一元二次方程，是否适合用配方法． 2．使用配方法时，一次项系数决定了完全平方式是两数差的平方还是两数和的平方． + + 【变式4】　（2024春•甘井子区期末）用配方法解方程，变形后的结果正确的是　　 A． B． C． D． 【变式5】　（2024春•顺义区期末）一元二次方程配方后可变形为　　 A． B． C． D． 【变式6】　（2023秋•大足区期末）用配方法解一元二次方程，此方程可化为　　 A． B． C． D． 4．【答案】 【分析】利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 5．【答案】 【分析】根据配方法即可求出答案． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 6．【答案】 【分析】把常数项3移项后，在左右两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【解答】解：， ， ． 故选：． 【题型3】公式法 例3 （2024春•涡阳县期末）解方程：． 【答案】，． 【分析】先化为一般式，再运用代入数值，进行化简计算，即可作答． 【解答】解：， 化为一般式， ，，， △， 则． 即，． ◄ 点拨 ► 使用判别式之前，先把方程化成一般形式，以便正确找出a，b，c的值（注意符号）． 注意：当时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程只有一个实数根． 【变式7】　（2024春•蚌山区月考）若一元二次方程的根为，则该一元二次方程为　　 A． B． C． D． 【变式8】　（2024•海陵区一模）一元二次方程的解是　　． 【变式9】　（2024春•利辛县期末）解方程：． 7．【答案】 【分析】根据解一元二次方程公式法，即可解答． 【解答】解：若一元二次方程的根为，则该一元二次方程为， 故选：． 8． 【分析】，，，△，然后代入求根公式进行计算即可． 【解答】解：，，， △， ， 所以，． 故答案为，． 9．【答案】． 【分析】用公式法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：， ， 则△， 所以， 所以． 【题型4】因式分解法 例4 （2024春•鲤城区校级期末）解一元二次方程：． 【答案】． 【分析】利用十字相乘法把方程左边分解因式，从而把一元二次方程化成两个一元一次方程，解方程求出方程的解即可． 【解答】解：， ， ，， 解得：． ◄ 点拨 ► 利用因式分解求解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 基本原理： 左边为整式的乘积的形式，右边等于0，则让左边的整式分别等于0即可求解． 即：，则0或0． 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）整理：移项，使方程的右边化为零； （2）分解：将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）转化：令每个因式分别为零； （4）求解：两个因式分别为零的解就都是原方程的解． 【变式10】　（2024春•招远市期末）一元二次方程的根是　　 A． B．0 C．或5 D．1或5 【变式11】　（2024•贵州）一元二次方程的解是　　 A．， B．， C．， D．， 【变式12】　（2024•奇台县校级模拟）方程的解是　　 A．， B．， C．， D．， 10．【答案】 【分析】先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得． 【解答】解：， ， ， 或， 解得，， 故选：． 11．【答案】 【分析】直接提取公因式，进而分解因式解方程即可． 【解答】解：， ， 则或， 解得：，． 故选：． 12．【答案】 【分析】用因式分解法求解即可． 【解答】解：， ， 或， ，． 故选：． 【题型5】用合适的方法解一元二次方程 例5 （2023秋•平原县期末）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）， ， ，即， ， ，； （2）， ， ， ，即， 或， ，． ◄ 点拨 ► 1．方程没有一次项时用直接开平方法较为简单． 二次项系数为1，一次项系数为偶数时，用配方法较为简单． 当各项系数均为整数，且较小时，首选公式法． 一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的形式时，用因式分解法较为简单． 2．配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0． 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便． 总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次． 【变式13】　（2024•雁塔区校级开学）解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式14】　（2023秋•伊犁州期末）用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【变式15】　（2023秋•沂水县期末）解方程 （1）； （2）． 13．【答案】（1），； （2），； （3），； （4），． 【分析】（1）利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答； （3）利用解一元二次方程公式法进行计算，即可解答； （4）利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）； ， ， 或， ，； （2）， ， ， ， 或， ，； （3）， △， ， ，； （4）， ， ， ， ， 或， ，． 14．【分析】（1）利用配方法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【解答】解：（1）， ， 则，即， 解得， ，即，； （2）， ， 则或， 解得，． 15．【答案】（1），． （2），． 【分析】（1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （4）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）， ， ， ， 或， ，． （2）， ， 或， ，． 【题型6】根与系数的关系 例6 （2024春•蒙城县期末）若方程的两根为，，则的值为　　 A．2 B． C． D． 【分析】由方程的两根为、，根据一元二次方程根与系数的关系，即可求得，，又由，代入求解即可求得答案． 【解答】解：方程的两根为、， ，， ． 故选：． ◄ 点拨 ► 1．若关于的一元二次方程．有两个根分别为，则． 根与系数的关系又叫韦达定理． 注意：（1）运用根与系数关系的前提条件是． （2）在一元二次方程中，注意隐含条件． 2．已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有的式子，再运用根与系数的关系求解． 例如：，注意． 常见的公式变形： （1） （2） （3） （4） 【变式16】　（2024•河东区模拟）设方程的两实数根为，，则的值为　　 A． B．1 C． D．2 【变式17】　（2024春•仓山区校级期末）若，是一元二次方程的两个实数根，则　　． 【变式18】　（2024•雁塔区校级开学）已知关于的方程． （1）求证：无论为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，，求代数式的值． 16．【答案】 【分析】直接利用根与系数的关系即可得到答案． 【解答】解：方程的两实数根为，， ． 故选：． 17． 【分析】直接利用根与系数的关系求解． 【解答】解：根据根与系数的关系得． 故答案为：3． 18．【答案】（1）见解答； （2）0． 【分析】（1）求出△，可知△，故总有两个实数根； （2）先求出与的值，代入代数式进行计算即可． 【解答】（1）证明：△ ， ， △， 该方程总有两个实数根； （2）解：该方程的两个实数根为，， ，， ． 第21页（共22页） 学科网（北京）股份有限公司 $$