21.1 一元二次方程 新知梳理+典型例题+配套+练习题 2024-2025学年人教版数学九年级上册

21.1 一元二次方程 ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 【题型1】一元二次方程的定义 3 【题型2】一元二次方程的一般形式 5 【题型3】一元二次方程的解 8 知识点1：一元二次方程的概念 1．一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 2．一元二次方程必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式．方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）． （2）只含有一个未知数． （3）未知数项的最高次数是2． 知识点2：一元二次方程的一般形式 1．一元二次方程的一般形式为：，其中ax2，bx，c分别叫做二次项、一次项、常数项，a，b，c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项． 2．一元二次方程经过整理都可化成一般形式：． 在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号． 3．中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程． 知识点3：一元二次方程的解（根） 1．使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根． 2．判断一个数值是不是一元二次方程的解的方法：将该数值代入一元二次方程，看是否能使等式成立． 3．（1）若a+b+c=0，则一元二次方程必有一根为x=1；若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0． （2）若a-b+c=0，则一元二次方程必有一根为x=﹣1； 若x=﹣1是一元二次方程的一个根，则a﹣b+c=0． （3）若一元二次方程有一个根为0，则c=0；若c=0，则一元二次方程有一个根为0． 1．若明确是关于的一元二次方程，则隐含． 2．已知一元二次方程的一个根，求字母或代数式的值时，可以先将这个根代入原方程，得到一个关于所求字母的新方程，然后解这个新方程求出字母的值或整理该方程巧求代数式的值即可（求代数式的值时，经常用到整体代入法）． 【题型1】一元二次方程的定义 例1 （2024•高新区校级开学）若是关于的一元二次方程，则的值为　　 A．1 B．3 C． D． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：， 解得：， 故选：． ◄ 点拨 ► 1．判断一个整式方程是否为一元二次方程，应以化简后的结果为准． 2．三要素： （1）是整式方程； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2． 【变式1】　（2023秋•东莞市期末）下列方程是关于的一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【变式2】　（2023秋•柳州期末）下列方程中，是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【变式3】　（2023秋•船山区期末）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围　　 A． B． C． D． 1．【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义：等式两边都是整式，只含一个未知数，未知数的最高次数是2次的方程，叫做一元二次方程；一元二次方程的一般形式：，依次判断即可． 【解答】解：、是一元一次方程，不符合题意； 、是二元一次方程，不符合题意； 、是一元二次方程，符合题意； 、中，含有分式，不是整式方程，不符合题意． 故选：． 2．【分析】利用一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：、原方程为二元一次方程，不符合题意； 、原方程为二元二次方程，不符合题意； 、原方程为分式方程，不符合题意； 、原方程为一元二次方程，符合题意， 故选：． 3．【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，可得，再解即可． 【解答】解：关于的方程是一元二次方程， ， 解得． 故选：． 【题型2】一元二次方程的一般形式 例2 （2024•修水县一模）将一元二次方程化成一般形式后，若二次项的系数是3，则一次项的系数是　　 A． B．2 C． D．4 【答案】 【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出一次项系数即可． 【解答】解：， ， 一次项的系数是． 故选：． ◄ 点拨 ► 1．一元二次方程经过整理都可化成一般形式：，其中叫作二次项，是二次项系数；叫作一次项，是一次项系数；叫作常数项． 注意区分二次项与二次项系数，一次项与一次项系数． 2．中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程． 3．在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号． 【变式4】　（2024春•肇源县月考）将一元二次方程化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为　　 A．2，3 B．3，1 C．， D．2， 【变式5】　（2024•津市市一模）一元二次方程的一次项系数为　　 A． B． C．3 D．6 【变式6】　（2024春•崇川区校级月考）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为 　　． 4．【答案】 【分析】根据的二次项系数和一次项系数分别是，，据此即可作答． 【解答】解：， ， 二次项系数和一次项系数分别为2，， 故选：． 5．【答案】 【分析】根据一元二次方程的一般形式：，，为常数且是解题的关键． 【解答】解：， ， ， 一元二次方程的一次项系数为， 故选：． 6．【答案】2． 【分析】一元二次方程的常数项为0时，需满足“常数项，二次项系数”． 【解答】解：由题意，，且， 解得． 故答案为：2． 【题型3】一元二次方程的解 例3 （2024•岷县校级三模）若是关于的一元二次方程的解，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】把代入一元二次方程得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：把代入方程得， 所以， 所以． 故选：． ◄ 点拨 ► 方程的解的定义是解方程过程中验根的依据．将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方程的根；若不相等，就不是这个方程的根． 【变式7】　（2024春•苍梧县期末）如果2是一元二次方程的一个根，那么常数的值是　　 A．2 B． C．3 D． 【变式8】　（2024春•海阳市期末）若关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为　　 A．1 B．0 C． D． 【变式9】　（2024春•衢州期末）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为　　 A． B． C．2023 D．2025 7．【分析】把代入已知方程列出关于的新方程，通过解方程来求的值． 【解答】解：是一元二次方程的一个根， ， 解得，． 故选：． 8．【答案】 【分析】先把代入一元二次方程得到，解方程得到或，然后根据一元二次方程的定义确定的值． 【解答】解：把代入一元二次方程得， 解得或， ， ． 故选：． 9．【答案】 【分析】利用一元二次方程解的定义得到，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算． 【解答】解：把代入方程得， 所以， 所以． 故选：． 第9页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.1 一元二次方程 ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 一、选择题（共12小题） 1．（2024春•泗阳县期末）下列是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•丰城市校级月考）下列方程是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•凉州区校级期末）已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为　　 A．0 B．0或 C．1 D． 4．（2024春•平阴县期末）若一元二次方程的一个根是，则的值是　　 A．0 B． C．1 D．不能确定 5．（2024春•临邑县期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为　　 A．0 B．1 C．2 D．4 6．（2024春•松北区期末）一元二次方程化为一般形式后，常数项为　　 A． B．6 C． D．5 7．（2024春•海曙区期末）若关于的一元二次方程有一个实数根为，则的值为　　 A．1 B．3 C． D． 8．（2024春•万载县月考）关于的一元二次方程的一次项是　　 A． B．4 C． D． 9．（2024春•钱塘区期末）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为　　 A． B．2 C．2或 D．4或 10．（2024春•海门区校级月考）若是一元二次方程的一个根，则的值是　　 A． B． C．3 D．15 11．（2023秋•辽中区期末）若是方程的一个根，则　　 A．3 B．4 C． D． 12．（2024春•乐清市期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 二、填空题（共12小题） 13．（2024•南昌一模）已知是一元二次方程的一个解，则的值是 　　． 14．（2024春•德清县期末）已知是方程的根，则代数式的值为 　　． 15．（2024春•龙泉驿区校级月考）已知是关于的方程的一个根，则　　． 16．（2024•鹿城区校级开学）已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为　　． 17．（2024春•姑苏区校级期中）已知方程，当　　时，是关于的一元二次方程． 18．（2024春•南岗区校级月考）方程化为一元二次方程的一般形式是 　　． 19．（2024•汉川市模拟）已知一元二次方程，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是 　　． 20．（2023秋•朝阳区校级期末）将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 　　． 21．（2023秋•忠县期末）一元二次方程的一次项的系数是 　　． 22．（2024春•重庆期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值为 　　． 23．（2023秋•靖宇县期末）若关于的方程是一元二次方程，则的值是 　　． 24．（2023秋•社旗县期末）写出一个关于的一元二次方程，使其一次项系数为，你写出的一元二次方程是：　　． 三、解答题（共7小题） 25．（2023秋•龙岗区校级月考）已知关于的方程． （1）当为何值时，该方程是一元二次方程？ （2）当为何值时，该方程是一元一次方程？ 26．（2023秋•东乡区校级月考）已知关于的方程，试问： （1）为何值时，该方程是关于的一元一次方程？ （2）为何值时，该方程是关于的一元二次方程？ 27．（2022秋•河池期末）关于的一元二次方程的常数项为0，求的值． 28．（2023春•鄞州区期末）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 29．（2022秋•丰顺县校级月考）已知一元二次方程． （1）如果方程有一个根是1，那么、、之间有什么关系？ （2）如果方程有一个根是，那么、、之间有什么关系？ （3）如果方程有一个根是0，那么方程的系数或常数项有什么特征？ 30．（2022秋•海东市期中）关于的一元二次方程化为一般形式后为，试求，的值． 31．（2024•南山区校级三模）已知，． （1）化简； （2）若是方程的一个根，求的值． 一、选择题（共12小题） 1．【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：．中未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； ．是一元二次方程，故本选项符合题意； ．中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； ．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：． 2．【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义即可解答． 【解答】解：．中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； ．，化简可得，是一元一次方程，不符合题意； ．，符合一元二次方程的定义，符合题意； ．当时，该方程不是一元二次方程，不符合题意． 故选：． 3．【答案】 【分析】直接把代入进而方程，再结合，进而得出答案． 【解答】解：关于的一元二次方程有一个根为， ，且， 则的值为：． 故选：． 4．【答案】 【分析】把代入方程计算求出的值． 【解答】解：把代入方程得：， 故选：． 5．【分析】把代入方程计算求出的值，代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：把代入方程得：，即， 则原式， 故选：． 6．【答案】 【分析】方程化为一般形式后，找出常数项即可． 【解答】解：方程整理得：， 即， 则常数项为5． 故选：． 7．【答案】 【分析】将代入原方程即可解决问题． 【解答】解：将代入原方程得， ， 解得． 故选：． 8．【答案】 【分析】根据一元二次方程的一般形式解答即可． 【解答】解：一元二次方程的一次项为， 故选：． 9．【答案】 【分析】由一元二次方程的定义可得，由题意又知，联立不等式组，求解可得答案． 【解答】解：根据题意可得： ， 解得． 故选：． 10．【答案】 【分析】将代入原方程，即可求解． 【解答】解：是一元二次方程的一个根， ， 解得：， 故选：． 11．【答案】 【分析】把代入一元二次方程得到，然后解一次方程即可． 【解答】解：把代入方程得， 解得． 故选：． 12．【答案】 【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解答】解：．，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； ．，是一元一次方程，故本选项不符合题意； ．该方程是分式方程，故本选项不符合题意； ．，含有两个未知数，不属于一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：． 二、填空题（共12小题） 13． 【分析】将代入方程得到关于的方程，解得即可． 【解答】解：根据题意，将代入方程得到：， 解得：， 故答案为：． 14．【答案】2025． 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得出，然后整体代入即可求值． 【解答】解：是方程的根， ， ， ， 故答案为：2025． 15．【答案】4． 【分析】利用一元二次方程根的定义得到，通过变形处理即可得到答案． 【解答】解：是关于的方程的一个根， ， ． 故答案为：4． 16．【答案】． 【分析】由于时，由得，则可利用一元二次方程的解的定义判定该方程一定有一个根为． 【解答】解：把代入方程得， 所以该方程一定有一个根为． 故答案为：． 17．【答案】． 【分析】据一元二次方程的定义列式代数计算，即可作答． 【解答】解：是关于的一元二次方程． ，， ， 故答案为：． 18．【答案】． 【分析】将一元二次方程化为一般形式，即，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，去括号合并同类项整理即可． 【解答】解：， ， ， 故答案为：． 19．【答案】． 【分析】先把化方程为一般式，从而得到常数项． 【解答】解：， 去括号，得， 合并，得， 所以常数项是． 故答案为：． 20． 【分析】根据题意正确得出一元二次方程的一般形式，进而可得到答案． 【解答】解：一元二次方程化成一般形式之后，二次项的系数是2， 化成的一般形式为， 一次项系数为． 故答案为：． 21．【答案】． 【分析】找出一元二次方程的一次项系数即可． 【解答】解：元二次方程的二次项系数是． 故答案为：． 22． 【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案． 【解答】解：方程是关于的一元二次方程， ，， 解得：． 故答案为：． 23． 【分析】根据一元二次方程的定义可得且，解得的值即可． 【解答】解：关于的方程是一元二次方程， 且， 解得：， 故答案为：1． 24．【答案】（答案不唯一）． 【分析】根据一元二次方程的一般形式得出答案即可． 【解答】解：一元二次方程为． 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题（共7小题） 25． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义求解即可； （2）根据一元一次方程的定义求解即可． 【解答】解：（1）根据题意，， 解得：， 当时，该方程是一元二次方程； （2）根据题意，且， 解得：， 故当时，该方程是一元一次方程． 26．【答案】（1）或； （2）． 【分析】（1）根据一元一次方程的定义得出或或，再求出即可； （2）根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可． 【解答】解：（1）要使关于的方程是一元一次方程，分3种情况： ①，解得：，该方程是一元一次方程； ②，解得：，该方程是一元一次方程； ③，解得：，该方程是一元一次方程； 所以当或时，该方程是关于的一元一次方程； （2）要使关于的方程是一元二次方程，必须且， 解得：，都满足， 所以时，该方程是关于的一元二次方程． 27．【分析】常数项为0，即，再根据方程是一元二次方程，须满足，问题可求． 【解答】解：由题意，得：①，②， 解①得：或1；解②得：，． 28．【答案】（1）等腰三角形； （2），． 【分析】（1）把代入方程得，整理后根据等腰三角形的判定判断即可； （2）根据等边三角形的性质得出，代入方程，即可得出，再解方程即可． 【解答】解：（1）是等腰三角形， 理由是：把代入方程得：， ， ， 的形状是等腰三角形； （2）是等边三角形， ， ， ， 即， 解得：，， 即这个一元二次方程的根是，． 29．【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）把代入方程可得、、之间的关系； （2）把代入方程可得、、之间的关系； （3）把代入方程可得、、之间的关系． 【解答】解：（1）将代入原方程得：， 即； （2）将代入原方程得：， 即； （3）将代入原方程可得：， ． 30．【答案】，． 【分析】先利用乘法公式展开，再合并得到一般式为，于是得到，，然后解方程得到、的值． 【解答】解：， ， 所以，， 解得，． 31．【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）通分，化成同分母，进行计算即可； （2）把代入方程，得到，整体代入（1）中结果进行求解即可． 【解答】解：（1） ； （2）是方程的一个根， ， ． 第1页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $$