5.2 解一元一次方程（第1课时 利用合并同类项解一元一次方程）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版2024）

5.2 解一元一次方程 人教版（2024）七年级数学上册 第五章 一元一次方程 第一课时 利用合并同类项解 一元一次方程 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1. 理解等式的基本性质，并能用它们来解方程. 2. 运用等式的基本性质解方程，逐步展现求解方程的般顺序 重点：同类项的概念，合并同类项的法则及应用. 难点：分析实际问题中的已知量和未知量，找出等量关 系，列出方程. 情景导入 解以 x 为未知数的方程，就是把方程逐步化为 的形式， 是转化的重要依据. x = a（常数） 等式的性质 1. 解方程：-2x = 6. 解：方程两边除以 -2，得 x = -3. → 系数化为 1 2. 方程 3x - 5x = 6 解是什么呢？ → ax = b（a、b 常数） → x = a 情景导入 3x - 5x = 6 如何转化为 ax = b 的形式？ 3x - 5x = . -2x → 合并同类项 解：合并同类项，得 -2x = 6 系数化为 1，得 x = -3. 新知探究 问题 1 某校三年共购买计算机 140 台，去年购买的数量是前年的 2 倍，今年购买的数量又是去年的 2 倍. 前年这所学校购买了多少台计算机？ 分析：设前年购买____台，则去年购买____台，今年购买_____台. x 2x 4x 根据问题中的相关等量关系： 前年购买量 + 去年购买量 + 今年购买量＝ 140 台 列得方程 x + 2x + 4x ＝ 140. “各个分量的和=总量”是一个基本的相等关系 新知探究 x + 2x + 4x ＝ 140. 把含有 x 的项合并同类项，得 7x ＝ 140. 系数化为 1，得 x ＝ 20. 因此，前年这所学校购买了 20 台计算机. 检验一下x =20是方程 x +2x + 4x =140的解. 思 考 上面解方程中“合并同类项”起了什么作用？ 解方程中合并同类项起了化简作用，即把含有未知数的项合并，从而把方程转化为 ax = b，使其更接近 x = a 的形式（其中 a、b 是常数）. 课本例题 例1 解下列方程： 解：合并同类项，得 系数化为 1，得 x = 4 （1） ； 根据等式的性质解一元一次方程时，得到的 x = m，就是方程的解（想一想为什么）. 今后，检验环节通常可以省略. （2）7x - 2.5x + 3x - 1.5x = -15×4 - 6×3 解：合并同类项，得 6x = -78 系数化为 1，得 x = -13 课本例题 例2 有一列数 1，-3，9，-27，81，-243，···，其中第 n 个数是 (-3)n-1 (n＞1)，如果这列数中某三个相邻数的和是 -1701，那么这三个数各是多少？ 分析：从符号和绝对值两方面观察，可发现这列数的排列规律，后面的数是它前面的数与 -3 的乘积. 解：设所求三个数中的第 1 个数是 x，则后两个数分别是 -3x，9x. 由三个数的和是-1701，得 x - 3x + 9x = -1701. 合并同类项，得 7x = -1701. 系数化为 1，得 x = -243. 所以 -3x = 729，9x = -2187. 答：这三个数是 -243，729，-2187. 课堂练习 1. 解下列方程： 解：合并同类项，得 系数化为1，得 （1）5x - 2x = 9； （2） ； 3x = 9 x = 3 合并同类项，得 系数化为1，得 （3）-3x + 0.5x = 10； 合并同类项，得 -2.5x = 10 系数化为 1，得 x = -4 （4）7x - 4.5x = 2.5×3–5. 合并同类项，得 系数化为 1，得 2.5x = 2.5 x = 1 2. 某工厂的产值连续增长，2022 年是 2021 年的 1.5 倍，2023 年是 2022 年的 2 倍，这三年的总产值为 550 万元. 2021 年的产值是多少万元？ 解：设 2021 年的产值是 x 万元. 根据题意，得 x + 1.5x + 2×1.5x = 550. 解得 x = 100. 答：2021 年的产值是 100 万元. 3. 某洗衣机厂今年计划生产 Ⅰ 型、Ⅱ 型、Ⅲ 型洗衣机共 25500 台，其中 Ⅰ 型、Ⅱ 型、Ⅲ 型三种洗衣机的数量之比为 1∶2∶14. 洗衣机厂计划生产这三种洗衣机各多少台？ 解：设计划生产 Ⅰ 型洗衣机 x 台， 则计划生产 Ⅱ 型洗衣机 2x 台，Ⅲ 型洗衣机 14x 台. 根据题意，得 x + 2x + 14x ＝ 25500. 解得 x = 1500. 所以 2x ＝ 3000，14x ＝ 21000. 答：洗衣机厂计划生产 Ⅰ 型、Ⅱ 型、Ⅲ 型洗衣机各 1500 台、 3000 台、21000 台. 分层练习-基础 1. 下列方程合并同类项不．正．确．的是(　C　) A. 3 x －2 x ＝4，合并同类项，得 x ＝4 B. 2 x －3 x ＝3，合并同类项，得－ x ＝3 C. 6 x －2 x ＋3 x ＝12，合并同类项，得 x ＝12 D. － ＋2 x ＝5，合并同类项，得－ x ＝5 C 2. [2024延庆期末]方程5 x －2 x ＝1的解是(　D　) A. x ＝ －3 B. x ＝ 3 C. x ＝－ D. x ＝ D 3. 若 x 的3倍比 x 的2倍多15，则 x 的值为(　C　) A. 5 B. 10 C. 15 D. 30 C 4. 补全下列解方程的过程： (1)6 x － x ＝4. 解：合并同类项，得 ＝4. 系数化为1，得 x ＝ ⁠. (2)－4 x ＋6 x －0.5 x ＝－0.3. 解：合并同类项，得 ＝－0.3. 系数化为1，得 x ＝ ⁠. 5 x 　 　 1.5 x 　 －0.2　 5. [教材P121练习T3变式]甲、乙、丙三名同学向贫困山区的 希望小学捐赠图书，已知这三名同学捐赠图书本数的比是 1∶2∶4，如果他们共捐315本，那么这三名同学各捐书多 少本？设甲同学捐 x 本，根据题意可列方程为 ⁠ ⁠. x ＋2 x ＋ 4 x ＝315　 6. [教材P121练习T1变式]解下列方程： (1)－3 x ＋0.2 x ＝8.4； 解： x ＝－3 (2)3 m ＋10 m －0.5 m ＝30－5； 解： m ＝2 (3)2 x － x ＝6－8； 解： x ＝4 (4)6 m －1.5 m －2.5 m ＝3. 解： m ＝1.5 7. 【教材P120问题1变式立德树人·低碳环保】为了方便居民低碳出行，北京市某共享单车公司计划用三年时间向城区投入共享电动车共计14 000辆，去年投入的数量是前年的2倍，今年投入的数量又是去年的2倍.前年投入了多少辆共享电动车？ 解： 设前年投入了 x 辆共享电动车，则去年投入了 2 x 辆，今年投入4 x 辆. 根据题意，得 x ＋2 x ＋4 x ＝14 000.解得 x ＝2 000. 答：前年投入了2 000辆共享电动车. 分层练习-巩固 8. [2024泉州五中模拟]若关于 x 的方程 a －3 ax ＝14的解是 x ＝－2，则 a 的值为(　C　) A. －14 B. －2 C. 2 D. 14 C 9. [教材P121练习T3变式]甲、乙、丙三村合修一条公路，计划出工84人，按3∶4∶7出工，求各村出工的人数. ①设甲、乙、丙三村分别派3 x 人、4 x 人、7 x 人， 依题意得3 x ＋4 x ＋7 x ＝84； ②设甲村派 x 人，依题意得 x ＋4 x ＋7 x ＝84； ③设乙村派 x 人，依题意得 x ＋ x ＋ x ＝84； ④设丙村派 x 人，依题意得3 x ＋4 x ＋ x ＝84. 上面所列方程中正确的有(　A　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 A 10. 【新视角·新定义题】对于任意四个有理数 a ， b ， c ， d ，我们规定 ：( a ， b ) &( c ， d ) ＝ bc － ad .例如：(1， 2) &(3，4)＝2×3－ 1×4＝ 2，已知：( x ，2) &( x ，－1) ＝12，则 x 的值是(　B　) A. －12 B. 4 C. －4 D. 12 B 11. 【新视角·规律探究题】一个数列，按一定规律排列如下形式：1，－4，16，－64，256，－1 024，…，其中某三个相邻的数的和为－13 312，则其中间的数是 ⁠. 4096　 12. [2024重庆模拟]列式计算. (1) x 的5倍与 x 的2倍的和等于14，求 x ； 解： (1)根据题意，得5 x ＋2 x ＝14，解得 x ＝2. (2)一个数减去它的20％后，等于46.2的 ，求这个数. 解： (2)设这个数为 x ，根据题意，得 x －20％ x ＝46.2× ，解得 x ＝19.25， 所以这个数为19.25. 13. 【情境题·生活应用2024四川期末】在寒冷的冬天，为预防感冒，我国民间常用生姜、红糖和水按2∶5∶75的质量比煮成“姜汤”服用.煮一碗410 g“姜汤”，需要准备生姜多少克？(水分蒸发忽略不计) 解： 设需要准备生姜2 x g， 则需要准备红糖5 x g， 水75 x g. 依题意，得2 x ＋5 x ＋75 x ＝410.解得 x ＝5.所以2 x ＝10. 答：需要准备生姜10 g. 14. [2024葫芦岛连山区月考]借助方程可将循环小数化成分数.例如，在将0. 化为分数时，可设0. ＝ x .由0. ＝0.333…可知，10 x ＝3.333….所以10 x ＝3＋0.3.所以10 x ＝3＋ x .解这个方程，得 x ＝ ，即0. ＝ .(1)将0.4 化为分数，填写下面的空格： 设0.4 ＝ x ，由0.4 ＝0.455 5…可知，10 x ＝4＋0. . 所以100 x ＝45＋0. .所以 ⁠. 解这个方程，得 x ＝ ⁠. 100 x －10 x ＝45－4　 　 (2)将0.2 化为分数. 解： (2)设 x ＝0.2 ，则10 x ＝2＋0. ， 1 000 x ＝245＋0. ， 所以1 000 x －10 x ＝245－2. 解这个方程，得 x ＝ . 分层练习-拓展 15. 【新考向·数学文化】我国明代数学家程大位曾提出一个有趣的问题： 有一个人赶着一群羊在前面走，另一个人牵着一只羊跟在后面，后面的人问赶羊的人说：“你这群羊有一百只吗？”赶羊的人回答：“我再得这么一群羊，再得这群羊的一半，再得这群羊的四分之一，把你牵的羊也给我，我恰好有一百只羊.”这群羊有多少只？请你解决这个问题. 解： 设这群羊有 x 只. 由题意得2 x ＋ x ＋ x ＋1＝100， 即 x ＋1＝100，解得 x ＝36. 答：这群羊有36只. 课堂小结 1. 会用合并同类项解一元一次方程. 解方程的步骤： 合并同类项（合并同类项法则） 系数化为1（等式性质2） 2. 学会找等量关系列一元一次方程. 实际问题 一元一次方程 作答 设未知数 列方程 解方程 $$