第20讲任意角和弧度制（6个知识点+3个要点+8种题型+3个易错点+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修一）

第20讲任意角和弧度制 （6个知识点+3个要点+8种题型+3个易错点+过关检测） 知识点1：任意角 1．角的概念及其表示 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．如图， (1)始边：射线的起始位置OA； 终边：射线的终止位置OB； 顶点：射线的端点O. (2)记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”． 2．任意角：我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角． 名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 3.角的相等 如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β. 4．角的加法 设α，β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β. 5．相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α，α－β＝α＋(－β)． 知识点2：象限角与轴线角 1.象限角 我们通常在直角坐标系内讨论角，为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角． 2、象限角的常用表示： 第一象限角 第二象限角 第三象限角 或 第四象限角 或 注意点： (1)锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，直角的终边在坐标轴上，它不属于任何一个象限． (2)每一个象限都有正角和负角． (3)无法比较两个象限角的大小． 3.轴线角 轴线角是指以原点为顶点，轴非负半轴为始边，终边落在坐标轴上的角. 4.轴线角的表示： ① 终边落在轴非负半轴 ② 终边落在轴非负半轴 ③ 终边落在轴非正半轴 或 ④ 终边落在轴非正半轴 或 ⑤ 终边落在轴 ⑥ 终边落在轴 或 ⑦ 终边落在坐标轴 知识点3：终边相同的角 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 终边相同的角的表示 (1)与角α终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式． (2)终边相同的角相差360°的整数倍． (3)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍． 知识点4：各象限角的集合与轴线角的集合 知识点5：角度制与弧度制的概念 1．度量角的两种单位制 (1)角度制： ①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的. (2)弧度制： ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角． 2．弧度数的计算 注意点： 一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关． 用弧度制表示终边相同的角的两个关注点 (1)用弧度制表示终边相同的角α＋2kπ(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍． (2)注意角度制与弧度制不能混用． 知识点6：角度与弧度之间的互化 1．角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30°＝57°18′ 度数×＝弧度数 弧度数×＝度数 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π 注意点： (1)弧度单位rad可以省略． (2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用． 角度与弧度的互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数．一般情况下，省略弧度单位rad. 要点1：终边相同的角与对称问题 角 α与角β的终边关于原点、x轴、y轴对称,分别求它们的关系式时,常常采用数形结合法，画出图形,观察它们之间的关系,利用“终边相同的角”的相关知识求解 要点2：区域角与区间角 介于两个角之间的角的集合叫做区间角,如｛α|30°<α<60°｝: 终边介于某两角终边之间的角的集合叫做区域角. 显然区域角是无数个区间角的并集如,锐角是区间角,第一象限角是区域角注意:区分关键词是“两个角之间”与“两角终边之间”,不能混淆, 要点3：扇形中的弧长公式与面积公式 弧度制下的扇形的弧长与面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α(0<α<2π)，则 (1)弧长公式：l＝αR. (2)扇形的面积公式：S＝lR＝αR2. 题型1：任意角的定义、象限角的判断 【例题1】（2024高一上·全国·专题练习）已知O为坐标原点，且射线OA的始边与x轴的非负半轴重合，若射线OA绕端点O逆时针旋转到达OB位置，由OB位置顺时针旋转到达OC位置，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·宁夏银川·阶段练习）下列命题中正确的个数是（    ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角：③第一象限角可能是负角；④小于90°的角都是锐角：⑤与终边相同的角是. A．1 B．2 C．3 D．5 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）给出下列四个命题：①–75°角是第四象限的角；②225°角是第三象限的角；③475°角是第二象限的角；④–315°是第一象限的角．其中真命题有 个． 【变式3】（2023高一上·全国·专题练习）已知角的顶点与原点重合， 角的始边与x轴的非负半轴重合，请作出下列各角，并指出它们各是哪个象限的角？ (1)420º； (2)－75º； (3)855º； (4)－510º 题型2：终边相同的角的应用 【例题2】（22-23高一上·陕西宝鸡·阶段练习）与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）与角终边相同的最小正角是 ；最大负角是 ． 【变式3】（24-25高一上·全国·课前预习）如图所示，角的终边是射线．角的终边与角的终边有什么关系？如何表示与角终边相同的角？    题型3：角的表示 【例题3】终边在直线上的角的集合是 A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·全国·课后作业）若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则集合中的角的终边在图中的位置（阴影部分）是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一·全国·随堂练习）与角终边相同的角的集合是 ． 【变式3】（22-23高一·全国·课堂例题）写出终边在下图所示的直线上的角的集合．    题型4：确定na及的终边所在的象限 【例题4】（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）如果是第三象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第一或第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【变式1】（2023高一上·全国·专题练习）已知为第二象限角，那么是（    ） A．第一或第二象限角 B．第一或第四象限角 C．第二或第四象限角 D．第一、二或第四象限角 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）若（），则的终边在 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知为第三象限的角，讨论角，，的终边的位置. 题型5：角度与弧度的互化 【例题5】（23-24高一上·安徽亳州·期末）将化为弧度制，正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）把化成角度是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·课前预习）角度与弧度的互化公式 弧度 弧度 弧度弧度 1弧度 【变式3】（24-25高一上·全国）（1）把化成弧度； （2）把化成角度． 题型6：与扇形的弧长、面积有关的计算 【例题6】（23-24高一上·江苏盐城·期末）若扇形所对圆心角为，且该扇形面积为 ，那么该扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）已知一个扇形的圆心角为60°，所对的弧长为，则该扇形的面积为 ． 【变式3】（24-25高一·上海·随堂练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角． 题型7：用弧度表示终边落在某个区域内的角的集合 【例题7】（24-25高一上·全国·随堂练习）与60°角终边相同的角可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·河北承德·期末）已知角的终边落在阴影区域内（不含边界），角的终边和相同，则角的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·全国·课前预习）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角θ的集合． 【变式3】（2023高一上·全国·专题练习）用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内（不包括边界）的角θ的集合． 题型8：与数学文化结合 【例题8】（22-23高一上·黑龙江牡丹江·期末）中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状.不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知，，，则该玉佩的面积为（    ）        A． B． C． D． 【变式1】（20-21高一上·山东聊城·期末）《掷铁饼者》取材于古希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”，掷铁饼者的肩宽约为米，一只手臂长约为米，“弓”所在圆的半径约为米，则掷铁饼者双手之间的直线距离约为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2】（20-21高一上·江苏盐城·期末）古希腊地理学家埃拉托色尼（Eratosthenes，前275一前193）用下面的方法估算地球的周长（即赤道周长）．他从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的塞伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上），夏至那天正午立杆无影；同样在夏至那天，他所在的城市——埃及北部的亚历山大城，立杆可测得日影角大约为（如图），埃拉托色尼猜想造成这个差异的原因是地球是圆的，并且因为太阳距离地球很远（现代科学观察得知，太阳光到达地球表面需要，光速），太阳光平行照射在地球上．根据平面几何知识，平行线内错角相等，因此日影角与两地对应的地心角相等，他又派人测得两地距离大约5000希腊里，约合：按照埃拉托色尼所得数据可以测算地球的半径约为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（22-23高一·河南平顶山·阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》方田篇记载“宛田面积术曰：以径乘周，四而一”（注：宛田，扇形形状的田地；径，扇形所在圆的直径；周，扇形的弧长），即古人计算扇形面积的公式：扇形面积． (1)已知甲宛田的面积为2，周为2，求径的大小以及甲宛田的弧所对的圆心角（正角）的弧度数； (2)若乙宛田的面积为2，求乙宛田径与周之和的最小值． 易错点1：忽略k取值的一致性而致错 【例题1】如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是 A． B． C． D． 【变式1】如图所示，终边落在阴影部分区域（包括边界）的角的集合是 ． 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）写出终边在下列各图所示阴影部分内（包含边界）的角的集合． 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合． 易错点2：利用扇形的弧长、面积公式时，没有将角度化为弧度而致错 【例题2】（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）半径为，圆心角为210°的扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·河北承德·期末）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在圆的半径为 . 【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为．求该扇形的弧长和面积． 一、单选题 1．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）将化为的形式是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法中正确的个数是（    ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于的角都是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023高一上·浙江台州·专题练习）已知，则的余角是（    ） A．29.4° B．29.64° C．119.4° D．119.64° 4．（23-24高一上·江西宜春·期末）已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则此扇形的弧长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．（22-23高一上·江苏盐城·期末）已知为第三象限角，则为第（    ）象限角. A．二或四 B．三或四 C．一或二 D．二或三 6．（22-23高一上·甘肃天水·期末）若是第二象限角，则是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 7．（24-25高一上·全国·随堂练习）角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 8．（25-26高一上·全国·课后作业）扇子最早称“翣”，其功能并不是纳凉，而是礼仪用具，后用于纳凉、娱乐、欣赏等．扇文化是中国传统文化的重要门类，扇子的美学也随之融入到建筑等艺术审美之中．图①为一古代扇形窗子，此窗子所在扇形的半径（图②），圆心角为45°，且为的中点，则该扇形窗子的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）将下列角度与弧度进行互化正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·全国·课后作业）如果角与角的终边相同，角与角的终边相同，那么的可能值为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列命题，为真命题的是（    ） A．角是第四象限角 B．角是第三象限角 C．角是第二象限角 D．角是第一象限角 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·课后作业）在四个角–20°，–400°，2000°，600°中，第四象限的角的个数是 ． 13．（23-24高一上·河南·期末）已知扇形的半径是3，弧长为6，则扇形圆心角的弧度数是 . 14．（23-24高一上·天津·期末）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为 .    四、解答题 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. (1) (2) 16．（23-24高一·上海·课堂例题）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为．求该扇形的弧长和面积． 17．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)集合中有几种终边不相同的角？ (2)集合中有几个大于且小于的角？ 18．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 19．（24-25高一上·全国·课后作业）已知角． (1)将改写成（，）的形式，并指出是第几象限角； (2)在区间上找出与终边相同的角． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20讲任意角和弧度制 （6个知识点+3个要点+8种题型+3个易错点+过关检测） 知识点1：任意角 1．角的概念及其表示 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．如图， (1)始边：射线的起始位置OA； 终边：射线的终止位置OB； 顶点：射线的端点O. (2)记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”． 2．任意角：我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角． 名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 3.角的相等 如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β. 4．角的加法 设α，β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β. 5．相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α，α－β＝α＋(－β)． 知识点2：象限角与轴线角 1.象限角 我们通常在直角坐标系内讨论角，为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角． 2、象限角的常用表示： 第一象限角 第二象限角 第三象限角 或 第四象限角 或 注意点： (1)锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，直角的终边在坐标轴上，它不属于任何一个象限． (2)每一个象限都有正角和负角． (3)无法比较两个象限角的大小． 3.轴线角 轴线角是指以原点为顶点，轴非负半轴为始边，终边落在坐标轴上的角. 4.轴线角的表示： ① 终边落在轴非负半轴 ② 终边落在轴非负半轴 ③ 终边落在轴非正半轴 或 ④ 终边落在轴非正半轴 或 ⑤ 终边落在轴 ⑥ 终边落在轴 或 ⑦ 终边落在坐标轴 知识点3：终边相同的角 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 终边相同的角的表示 (1)与角α终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式． (2)终边相同的角相差360°的整数倍． (3)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍． 知识点4：各象限角的集合与轴线角的集合 知识点5：角度制与弧度制的概念 1．度量角的两种单位制 (1)角度制： ①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的. (2)弧度制： ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角． 2．弧度数的计算 注意点： 一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关． 用弧度制表示终边相同的角的两个关注点 (1)用弧度制表示终边相同的角α＋2kπ(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍． (2)注意角度制与弧度制不能混用． 知识点6：角度与弧度之间的互化 1．角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30°＝57°18′ 度数×＝弧度数 弧度数×＝度数 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π 注意点： (1)弧度单位rad可以省略． (2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用． 角度与弧度的互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数．一般情况下，省略弧度单位rad. 要点1：终边相同的角与对称问题 角 α与角β的终边关于原点、x轴、y轴对称,分别求它们的关系式时,常常采用数形结合法，画出图形,观察它们之间的关系,利用“终边相同的角”的相关知识求解 要点2：区域角与区间角 介于两个角之间的角的集合叫做区间角,如｛α|30°<α<60°｝: 终边介于某两角终边之间的角的集合叫做区域角. 显然区域角是无数个区间角的并集如,锐角是区间角,第一象限角是区域角注意:区分关键词是“两个角之间”与“两角终边之间”,不能混淆, 要点3：扇形中的弧长公式与面积公式 弧度制下的扇形的弧长与面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α(0<α<2π)，则 (1)弧长公式：l＝αR. (2)扇形的面积公式：S＝lR＝αR2. 题型1：任意角的定义、象限角的判断 【例题1】（2024高一上·全国·专题练习）已知O为坐标原点，且射线OA的始边与x轴的非负半轴重合，若射线OA绕端点O逆时针旋转到达OB位置，由OB位置顺时针旋转到达OC位置，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角的定义，即可求解. 【详解】各角和的旋转量等于各角旋转量的和，所以. 故选：B 【变式1】（23-24高一上·宁夏银川·阶段练习）下列命题中正确的个数是（    ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角：③第一象限角可能是负角；④小于90°的角都是锐角：⑤与终边相同的角是. A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据角的定义判断各个结论． 【详解】终边相同的角可以相差的整数倍，不一定相等，①错； 钝角是大于且小于的角，一定是第二象限角，②正确； 第一象限角可以是正角也可以是负角，③正确； 小于90°的角可以是负角，不是锐角，④错； ，，因此与终边相同，但与终边相同的角是还有其他无数的角，⑤错． 正确个数是2， 故选：B． 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）给出下列四个命题：①–75°角是第四象限的角；②225°角是第三象限的角；③475°角是第二象限的角；④–315°是第一象限的角．其中真命题有 个． 【答案】4 【分析】根据象限角的定义逐项判断即可. 【详解】由象限角的定义即可判断， –75°角是第四象限的角；225°角是第三象限的角. 故①②正确； ，所以475°角是第二象限的角，③正确； ，所以–315°角是第一象限的角，④正确. 故答案为：4 【变式3】（2023高一上·全国·专题练习）已知角的顶点与原点重合， 角的始边与x轴的非负半轴重合，请作出下列各角，并指出它们各是哪个象限的角？ (1)420º； (2)－75º； (3)855º； (4)－510º 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据任意角在坐标系中的画法画图即可，（画图标准为：角的顶点在原点，始边在轴正半轴，正角逆时针旋转，负角顺时针旋转）进而可判断角所在象限. 【详解】解： 题型2：终边相同的角的应用 【例题2】（22-23高一上·陕西宝鸡·阶段练习）与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由终边相同的角的性质即可求解. 【详解】与角终边相同的角是，， 令，可得或， 当时，这个角为， 当时，这个角为， 只有选项D满足. 故选：D 【变式1】（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据终边相同的角的表示方法，求出与终边相同的角，进而在判断在第几象限. 【详解】因为 所以的终边与的终边相同， 而的终边在第二象限， 所以的终边在第二象限． 故选： 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）与角终边相同的最小正角是 ；最大负角是 ． 【答案】 【分析】根据与角终边相同的角是，对k取满足要求的整数可得解. 【详解】因为与角终边相同的角是， 所以当时，与角终边相同的最小正角是. 当时，与角终边相同的最大负角是. 故答案为：，. 【变式3】（24-25高一上·全国·课前预习）如图所示，角的终边是射线．角的终边与角的终边有什么关系？如何表示与角终边相同的角？    【答案】相同， 【详解】角的终边与角的终边相同， 角终边相同的角可表示为. 题型3：角的表示 【例题3】终边在直线上的角的集合是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知，可根据直线方程的倾斜角直接写出其终边角组成的集合. 【详解】与终边在一条直线上的角的集合为， ∴与终边在同一直线上的角的集合是. 故选：A. 【变式1】（25-26高一上·全国·课后作业）若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则集合中的角的终边在图中的位置（阴影部分）是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分是奇数、偶数两种情况进行讨论即可求解. 【详解】当为偶数时，设，则有，角的终边在介于角终边所在的区域内； 当为奇数时，设，则有，角的终边在介于角终边所在的区域内． 故选：C． 【变式2】（22-23高一·全国·随堂练习）与角终边相同的角的集合是 ． 【答案】 【分析】终边相同的角相差360°的整数倍. 【详解】由于，故与角终边相同的角的集合是. 故答案为： 【变式3】（22-23高一·全国·课堂例题）写出终边在下图所示的直线上的角的集合．    【答案】（1）；（2） 【分析】（1）首先求得在范围内，终边在直线上的角有两个，即和，从而即可得答案； （2）求出终边在直线上的角的集合，然后和终边在直线上的角的集合取并集即可得答案. 【详解】（1）由题图易知，在范围内，终边在直线上的角有两个，即和， 因此，终边在直线上的角的集合为 ； （2）同理可得终边在直线上的角的集合为 ， 终边在直线上的角的集合为 ， 所以终边在直线上和在直线上的角的集合为 . 题型4：确定na及的终边所在的象限 【例题4】（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）如果是第三象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第一或第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】C 【分析】根据得到，讨论的奇偶性得到答案. 【详解】是第三象限角，则， 故， 当为偶数时，在第三象限；当为奇数时，在第一象限； 故选：C. 【变式1】（2023高一上·全国·专题练习）已知为第二象限角，那么是（    ） A．第一或第二象限角 B．第一或第四象限角 C．第二或第四象限角 D．第一、二或第四象限角 【答案】D 【分析】根据第二象限角的范围即可得，根据的取值即可求解. 【详解】∵为第二象限角， ∴， ∴, 当时，，属于第一象限， 当时，，属于第二象限， 当时，,属于第四象限， ∴是第一、二或第四象限角． 故选：D 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）若（），则的终边在 ． 【答案】轴上 【分析】根据得，即可判断. 【详解】因为， 所以， 所以， 即的终边在轴上. 故答案为：轴上. 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知为第三象限的角，讨论角，，的终边的位置. 【答案】答案见解析. 【分析】根据所在象限得出的取值范围，再分别计算出，，的范围，即可判断出所在象限. 【详解】∵是第三象限的角， ∴（）， ∴（）， ∴（）， ∴是第四象限的角. ∵（）， ∴（）， ∴是第一象限的角或第二象限的角或y轴正半轴上的角. ∵（）， ∴（）. 若（）， 则（）， ∴是第一象限的角； 若（）， 则（）， ∴是第三象限的角； 若（）， 则（）， ∴是第四象限的角， ∴是第一象限的角、第三象限的角或第四象限的角. 综上所述，结论是：是第四象限的角，是第一象限的角或第二象限的角或y轴正半轴上的角，是第一象限的角、第三象限的角或第四象限的角. 题型5：角度与弧度的互化 【例题5】（23-24高一上·安徽亳州·期末）将化为弧度制，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧度制和角度制的互化公式，即可求解. 【详解】. 故选：B 【变式1】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）把化成角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧度制与角度制的转化关系计算可得. 【详解】. 故选：B 【变式2】（24-25高一上·上海·课前预习）角度与弧度的互化公式 弧度 弧度 弧度弧度 1弧度 【答案】 180° 57.30°（或57°18′） 【分析】利用角度与弧度的互化公式可得结论. 【详解】角度与弧度的互化公式为： ，， ，（或）. 故答案为：①，②，③，④（或）. 【变式3】（24-25高一上·全国）（1）把化成弧度； （2）把化成角度． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）（2）根据角度制和弧度制之间的关系运算求解. 【详解】（1）． （2）． 题型6：与扇形的弧长、面积有关的计算 【例题6】（23-24高一上·江苏盐城·期末）若扇形所对圆心角为，且该扇形面积为 ，那么该扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出弧的半径，即可根据弧长公式求解. 【详解】设扇形半径为，弧长为，圆心角为， 则扇形面积为,故， 故弧长为. 故选：C． 【变式1】（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设扇形的半径为，列方程求出的值，再计算扇形的面积. 【详解】设扇形的半径为，则弧长为，周长为，解得：， 则此扇形的面积为：， 故选：D 【变式2】（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）已知一个扇形的圆心角为60°，所对的弧长为，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】先求得扇形的半径，然后根据扇形的面积公式求得正确答案. 【详解】依题意，圆心角为， 所以扇形的半径， 所以扇形的面积为. 故答案为： 【变式3】（24-25高一·上海·随堂练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角． 【答案】(1) (2)弧度 【分析】（1）由扇形的弧长公式即可求解； （2）由扇形的周长和面积公式即可求解. 【详解】（1）因为弧度， 所以； （2）由题意得， 解得（舍去）或， 故扇形圆心角为弧度． 题型7：用弧度表示终边落在某个区域内的角的集合 【例题7】（24-25高一上·全国·随堂练习）与60°角终边相同的角可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用终边相同角的概念，结合弧度制可判断. 【详解】A,B弧度角度混用，错误. 与角终边相同的角可以表示，则C错误． 弧度制下表示为，则D正确. 故选：D. 【变式1】（23-24高一上·河北承德·期末）已知角的终边落在阴影区域内（不含边界），角的终边和相同，则角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求阴影的边界表示的角的集合，再用不等式表示集合. 【详解】终边落在上的角为，终边落在上的角为， 故角的集合为. 故选：C 【变式2】（24-25高一上·全国·课前预习）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角θ的集合． 【答案】 【分析】根据象限角的定义结合弧度制分析求解. 【详解】终边落在射线OA上的角为，，即，， 终边落在射线OB上的角为，，即，， 故终边落在阴影部分内（含边界）的角θ的集合为． 【变式3】（2023高一上·全国·专题练习）用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内（不包括边界）的角θ的集合． 【答案】. 【分析】利用终边在直线上的角的表示方法，求出角θ的集合. 【详解】依题意，，显然角与终边都在直线上，且互为反向延长线， 而终边在直线上的角为，终边在y轴上的角为， 所以终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为. 题型8：与数学文化结合 【例题8】（22-23高一上·黑龙江牡丹江·期末）中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状.不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知，，，则该玉佩的面积为（    ）        A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取AD的中点为M，连接BM、CM，延长AB，CD交于点O，利用平面几何知识得到扇形的圆心角，进而利用扇形面积公式和三角形的面积公式计算求得该玉佩的面积. 【详解】如图，取AD的中点为M，连接BM，CM，延长AB，CD交于点O， 由题意，△AOB为等腰三角形，又∵，∴AD//BC， 又∵M为AD的中点，，∴AM与BC平行且相等， ∴四边形ABCM为平行四边形，∴，同理， ∴△ABM，△CDM都是等边三角形，∴△BOC是等边三角形， ∴该玉佩的面积 . 故选：B.    【变式1】（20-21高一上·山东聊城·期末）《掷铁饼者》取材于古希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”，掷铁饼者的肩宽约为米，一只手臂长约为米，“弓”所在圆的半径约为米，则掷铁饼者双手之间的直线距离约为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】利用弧长公式可求圆心角的大小，再利用解直角三角形的方法可求弦长. 【详解】 掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”即如图中的及弦， 取的中点，连接. 由题设可得的弧长为，而， 故，故的长度为， 故选：C. 【变式2】（20-21高一上·江苏盐城·期末）古希腊地理学家埃拉托色尼（Eratosthenes，前275一前193）用下面的方法估算地球的周长（即赤道周长）．他从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的塞伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上），夏至那天正午立杆无影；同样在夏至那天，他所在的城市——埃及北部的亚历山大城，立杆可测得日影角大约为（如图），埃拉托色尼猜想造成这个差异的原因是地球是圆的，并且因为太阳距离地球很远（现代科学观察得知，太阳光到达地球表面需要，光速），太阳光平行照射在地球上．根据平面几何知识，平行线内错角相等，因此日影角与两地对应的地心角相等，他又派人测得两地距离大约5000希腊里，约合：按照埃拉托色尼所得数据可以测算地球的半径约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据，对应的弧长为，可求得地球的周长，代入公式，即可求得答案. 【详解】由题意得：，对应的弧长为， 设地球的周长为C，地球半径为R，则，解得， 又，所以，解得， 所以按照埃拉托色尼所得数据可以测算地球的半径约为， 故选：D 【变式3】（22-23高一·河南平顶山·阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》方田篇记载“宛田面积术曰：以径乘周，四而一”（注：宛田，扇形形状的田地；径，扇形所在圆的直径；周，扇形的弧长），即古人计算扇形面积的公式：扇形面积． (1)已知甲宛田的面积为2，周为2，求径的大小以及甲宛田的弧所对的圆心角（正角）的弧度数； (2)若乙宛田的面积为2，求乙宛田径与周之和的最小值． 【答案】(1)2，1 (2) 【分析】（1）根据题中公式求弧长，根据弧长公式求圆心角弧度数； （2）根据基本不等式公式计算. 【详解】（1）由题意得，得径， 则扇形的半径为2，所以甲宛田的弧所对的圆心角（正角）的弧度数为． （2）设乙宛田的弧长为l，径为d，则，得， 所以乙宛田径与周之和为， 当且仅当时，等号成立． 故乙宛田径与周之和的最小值为． 易错点1：忽略k取值的一致性而致错 【例题1】如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在间阴影部分区域表示的角的范围是，然后再写出终边落在阴影部分的区域内的角的集合. 【详解】解：在间阴影部分区域中边界两条终边表示的角分别为，. 所以阴影部分的区域在间的范围是. 所以终边在阴影部分区域的角的集合为：. 故选：C. 【点睛】本题考查了象限角，终边相同的角的集合表示法，某一范围内角的集合的表示法，属于基础.题. 【变式1】如图所示，终边落在阴影部分区域（包括边界）的角的集合是 ． 【答案】 【分析】由已知，分别表示出射线OA和射线OB终边所表示的角度，然后根据题意表示阴影部分的范围即可. 【详解】因为终边落在射线OA上的角的集合是为， 终边落在射线OB上的角的集合为． 所以终边落在阴影部分处（包括边界）的角的集合是． 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）写出终边在下列各图所示阴影部分内（包含边界）的角的集合． 【答案】（1）； （2）. 【分析】先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角即可求解. 【详解】先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角， 则得（1）； （2）. 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合． 【答案】(1) (2) 【分析】直接利用所给角，表示出范围即可. 【详解】图（1）中角x组成的集合为； 图（2）中角x组成的集合为 或 . 易错点2：利用扇形的弧长、面积公式时，没有将角度化为弧度而致错 【例题2】（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）半径为，圆心角为210°的扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将角度化为弧度，然后利用弧长公式求解即可. 【详解】圆心角化为弧度为，则弧长为. 故选：D 【变式1】（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将角度化为弧度，再由弧长公式求出扇形的半径，最后由扇形面积公式计算可得. 【详解】因为，设扇形的半径为，所以，解得， 所以该扇形的面积． 故选：B． 【变式2】（23-24高一上·河北承德·期末）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在圆的半径为 . 【答案】 【分析】根据弧长公式，把相应的值代入即可求出结果． 【详解】由于，这条弧所在圆的半径为. 故答案为： 【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为．求该扇形的弧长和面积． 【答案】弧长：；面积： 【分析】先将角度转化成弧度，然后根据弧长公式面积公式求解. 【详解】,根据弧长公式，弧长为：，面积为 一、单选题 1．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）将化为的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由终边相同的角的概念求解即可. 【详解】. 故选：A. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法中正确的个数是（    ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于的角都是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由象限角、任意角以及锐角的概念逐一判断即可. 【详解】对于①，终边相同的角可以相差360°的整数倍，不一定相等，①错误； 对于②，钝角是大于90°且小于180°的角，一定是第二象限角，②正确； 对于③，第一象限角可以是正角，也可以是负角，③正确； 对于④，小于90°的角可以是锐角，也可以是负角，④错误． 综上，正确的个数是2. 故选：B． 3．（2023高一上·浙江台州·专题练习）已知，则的余角是（    ） A．29.4° B．29.64° C．119.4° D．119.64° 【答案】A 【分析】根据余角的定义进行计算即可. 【详解】的余角为. 故选：. 4．（23-24高一上·江西宜春·期末）已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则此扇形的弧长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据题意设出扇形的弧长、半径和圆心角，通过扇形的面积可求出扇形半径，然后利用弧长公式即得. 【详解】设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为， 所以扇形的面积为，得， 由， 故选：A. 5．（22-23高一上·江苏盐城·期末）已知为第三象限角，则为第（    ）象限角. A．二或四 B．三或四 C．一或二 D．二或三 【答案】A 【分析】根据为第三象限角得到的取值范围，进而可得的范围，即可求解. 【详解】因为为第三象限角， 所以 所以 当为偶数时，记, 所以 所以为第二象限角， 当为奇数时，记, 所以 所以为第四象限角， 所以为第二或第四象限角， 故选:A. 6．（22-23高一上·甘肃天水·期末）若是第二象限角，则是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】由象限角的定义即可求解. 【详解】由题意是第二象限角， 所以不妨设， 所以， 由象限角的定义可知是第四象限角. 故选：D. 7．（24-25高一上·全国·随堂练习）角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】分析可知的终边与的终边相同，结合象限角的定义分析判断. 【详解】因为，可知的终边与的终边相同， 且为第三象限角，所以角是第三象限角. 故选：C. 8．（25-26高一上·全国·课后作业）扇子最早称“翣”，其功能并不是纳凉，而是礼仪用具，后用于纳凉、娱乐、欣赏等．扇文化是中国传统文化的重要门类，扇子的美学也随之融入到建筑等艺术审美之中．图①为一古代扇形窗子，此窗子所在扇形的半径（图②），圆心角为45°，且为的中点，则该扇形窗子的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将45°化为弧度，然后利用扇形的面积公式即可求得答案. 【详解】由题意得45°化为弧度，又为的中点， 则该扇形窗子的面积为. 故选：C． 二、多选题 9．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）将下列角度与弧度进行互化正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用角度与弧度的换算公式计算即可一一判断. 【详解】对于A，因，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 10．（25-26高一上·全国·课后作业）如果角与角的终边相同，角与角的终边相同，那么的可能值为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据终边相同可得角与角之间的关系，可得的代数形式，再结合选项可得答案. 【详解】角与角的终边相同，则， 角与角的终边相同，则， ， 即角与角的终边相同，选项A，C符合题意． 故选：AC． 11．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列命题，为真命题的是（    ） A．角是第四象限角 B．角是第三象限角 C．角是第二象限角 D．角是第一象限角 【答案】ABC 【分析】找出各角在范围内终边相同的角，由此可判断出各命题中角的象限. 【详解】对于A，，是第四象限角，则是第四象限角，A正确； 对于B，是第三象限角，B正确； 对于C，，是第二象限角，则是第二象限角，C正确； 对于D，，是第二象限角，则是第二象限角，D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·课后作业）在四个角–20°，–400°，2000°，600°中，第四象限的角的个数是 ． 【答案】2 【分析】根据已知角确定象限即可. 【详解】–20°在第四象限； –400°在第四象限； 2000°在第三象限； 600°在第三象限， 故第四象限的角有2个. 故答案为：2. 13．（23-24高一上·河南·期末）已知扇形的半径是3，弧长为6，则扇形圆心角的弧度数是 . 【答案】2 【分析】利用扇形的弧长得到关于圆心角的方程，解之即可得解. 【详解】依题意，设扇形的圆心角为， 因为扇形的半径是，弧长为， 所以由，得，则. 故答案为：. 14．（23-24高一上·天津·期末）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为 .    【答案】 【分析】根据题意，结合扇形的面积公式，准确计算，即可求解. 【详解】因为扇形的院校为， 又因为，， 所以，该扇环形砖雕的面积为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. (1) (2) 【答案】(1)； (2). 【分析】结合图形，由终边相同的角的集合，即可得到结果. 【详解】（1）因为的终边相同，，所以阴影部分所表示的区域位于与之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为. （2）因为，，阴影部分所表示的区域由两部分组成，所以终边落在阴影部分的角的集合为 . 16．（23-24高一·上海·课堂例题）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为．求该扇形的弧长和面积． 【答案】弧长：；面积： 【分析】先将角度转化成弧度，然后根据弧长公式面积公式求解. 【详解】,根据弧长公式，弧长为：，面积为 17．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)集合中有几种终边不相同的角？ (2)集合中有几个大于且小于的角？ 【答案】(1)4种 (2)共有8个 【分析】（1）每增加1，角就会顺时针转到另一个与原来所在象限相邻的另一个象限； （2）直接列出不等式，得出不等式的整数解即可求解. 【详解】（1）由于任意k值都可以写成或或或（）的形式， 所以集合中终边不相同的角共有4种． （2）由，得． 又，故． 所以集合中大于且小于的角共有8个． 18．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时扇形的半径是，圆心角． 【分析】（1）根据弧度与角度的关系，用弧度表示圆心角，结合弧长公式求弧长； （2）由条件确定弧长与半径的关系，再由扇形面积公式用表示，并求其最小值即可. 【详解】（1）， 扇形的弧长； （2）设扇形的弧长为，半径为， 则，， 则， 当时，，此时，， 的最大值是，此时扇形的半径是，圆心角． 19．（24-25高一上·全国·课后作业）已知角． (1)将改写成（，）的形式，并指出是第几象限角； (2)在区间上找出与终边相同的角． 【答案】(1)，角是第二象限角． (2)，． 【分析】（1）根据角度制与弧度制的互化公式进行求解即可； （2）利用代入法进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以角与的终边相同， 又，所以角α是第二象限角． （2）因为与角终边相同的角（含角在内）为， 所以由，得． 因为， 所以或． 当时，； 当时，， 故在区间上与角终边相同的角是，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$