精品解析：安徽省马鞍山市安徽工业大学附属中学2024-2025学年高一上学期数学月考试卷(1)

安工大附中2024级高一年级10月份月考 数学试题 （考试时间：120分 试卷满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的含义即可得到答案. 【详解】根据交集的含义得. 故选：C. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得到答案. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题，且范围不变，结论相反， 则命题“，”的否定是“，”. 故选：C. 3. 不等式的解集为（ ） A. - B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接解出不等式即可. 【详解】，解得， 则其解集为. 故选：D. 4. 已知，下列各数中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作差法和基本不等式即可判断大小关系. 【详解】因为，则，则不是最大，即B错误； 又因为根据基本不等式有，则也不是最大，即C错误； ，则，则最大，即A正确，D错误. 故选：A. 5. 已知两个非零实数，满足，则下列各式中最小值为2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊值判断A、C、D，换元、结合二次函数的性质判断B. 【详解】非零实数，满足, 对于A：当，时满足，但是，故A错误； 对于B：，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，故B正确； 对于C：当，时满足，但是，故C错误； 对于D：当，时满足，但是，故D错误. 故选：B 6. 已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 0，1 D. ﹣1，0，1 【答案】D 【解析】 【分析】若A有且仅有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程ax2+2x+a＝0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数a的取值范围． 【详解】解：由题意可得，集合A为单元素集， （1）当a＝0时，A＝{x|2x＝0}＝{0}，此时集合A的两个子集是{0}，， （2）当a≠0时 则△＝4﹣4a2＝0解得a＝±1， 当a＝﹣1时，集合A的两个子集是{1}，， 当a＝1，此时集合A的两个子集是{﹣1}，． 综上所述，a的取值为﹣1，0，1． 故选：D． 7. 已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得、为关于的方程的两根且，利用韦达定理得到、、的关系，再代入解得即可. 【详解】因为一元二次不等式的解集为， 所以、为关于的方程的两根且， 所以，所以，不等式，即， 即，即，解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：C 8. 若数集具有性质：对任意的，，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（ ） A. 为“权集” B. 为“权集” C. “权集”中元素个数一定是有限个 D. “权集”中一定有1 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的新定义，验证选项A、B，举反例即可反驳CD. 【详解】对A，因为与均不属于数集，所以A错误； 对B，因为，，，，，都属于数集，所以B正确； 对C，举例，由“权集”的定义易知其为“权集”，所以C错误； 对D：举例，因为，都属于数集，则其是“权集”， 所以“权集”中不一定有1，故D错误. 故选：B. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分. 9. 已知集合，集合，则以下命题正确的有（ ） A. ， B. ， C. 都有 D. 都有 【答案】AD 【解析】 【分析】由集合，集合，根据集合的包含关系判断及应用即可判断各选项的对错． 【详解】，集合， 是的真子集， 对A，，，故本选项正确； 对B，，，故此选项错误； 对C，有，故此选项错误； 对D，都有，故本选项正确； 故选：AD． 【点睛】本题考查了集合的包含关系判断及应用，属于基础题，关键是掌握集合的包含关系的概念． 10. “关于x的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由关于x的不等式对恒成立，可求得，再由真子集关系，即可得到答案； 【详解】由题意得：， 所选的正确选项是的必要不充分条件， 是正确选项应的一个真子集， 故选：BD 11. 对于集合，给出如下结论，其中正确的结论是（ ） A. 如果，那么 B. 若，对于任意的，则 C. 如果，，那么 D. ，使 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：令，，可知对任意，均有，所以，即可判断A；说明，即可判断B；设，则，进而分析判断C；利用特殊值判断D. 【详解】对于A：令，，则， 即对任意，均有，所以，故A正确； 对于B：因为，不妨设， 若，则； 若，则为奇数； 若，则； 综上可知：，但是，故B错误； 对于C：因为，，设， 则， 因为，则， 所以，故C正确； 对于D：因为，，即，所以，使，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】等价于且，然后解出即可. 【详解】因为，所以且 所以 故答案为： 【点睛】本题考查的是分式不等式的解法，较简单. 13. 已知长方形的周长为8，则其面积有最________值（大，小），且最值为________. 【答案】 ①. 大 ②. 【解析】 【分析】设长方形的长为，宽为，依题意可得，再利用基本不等式计算可得. 【详解】设长方形的长为，宽为，依题意，则， 所以，当且仅当时取等号， 所以长方形的面积有最大值，且最大值为. 故答案为：大； 14. 设集合，且中任意两数之和不能被5整除.则的最大值为________. 【答案】17 【解析】 【分析】由已知中，且A中任意两数之和不能被5整除，我们可根据1～37中各数除以5的余数将数分为5类，进而分析出集合A中元素的最多个数，得到答案. 【详解】根据除以5的余数，可将A集合分为5组： ，则， ，则， ，则， ，则， ，则， A中的任何两个数之和不能被5整除，故和，和中不能同时取数，且中最多取一个， ∴最多的取法是取和中的一个元素， 故n的最大值为17. 故答案为：17 四、解答题：本大题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，或. （1）求集合； （2）设集合，且，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据补集和并集的概念可得结果； （2）由，得，根据子集关系列式可求出结果. 【小问1详解】 由题意，又，则. 【小问2详解】 因为，则， ∴，解得， 则实数的取值范围为. 16. 解下列不等式： （1）； （2）. 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）分析分母恒大于0，再解一元二次不等式即可； （2）因式分解得，再对分类讨论即可. 【小问1详解】 ，即， 而恒成立， 则，解得，即解集为. 【小问2详解】 当时，不等式，解得； 当时，当，有或， 当时，由，不等式解得； 当时，由，不等式解得； 当时，由，不等式解得或； 当时，不等式为，不等式无解. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为. 17. （1）已知，求的最大值； （2）已知两正数，满足，分别求和的最小值. 【答案】（1）；（2）的最小值为16，的最小值为9. 【解析】 【分析】（1）构造得，再利用基本不等式即可； （2）直接利用利用基本不等式构造出一元二次不等式即可求出的最值，再利用乘“1”即可求出的最值. 【详解】（1）因为，则， 则， 当且仅当，即时等号成立. 故其最大值为. （2）因为，则，解得或（舍去）， 当且仅当时等号成立； ，则， 则， 当且仅当时等号成立. 18. 已知函数 （1）若，恒成立，求的取值范围； （2）若，恒成立，求的取值范围； （3）若方程有两实根，且两实根均大于1，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接转化为判别式小于0即可； （2）利用分离参数法即可； （2）利用韦达定理和判别式即可得到不等式组，解出即可. 【小问1详解】 由题得，解得. 【小问2详解】 当时，恒成立， 当时，恒成立，即， 则在上恒成立， 而，当且仅当时等号成立， 则. 【小问3详解】 设这两个根分别为，则， 则，即，即， 则，. 则的取值范围为. 19. 中学阶段，对许多特定集合的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容．现设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，，规定：． （1）计算：； （2）请用数学符号语言表述运算满足交换律，并给出证明； （3）若“中的元素”是“对，都有成立”的充要条件，试求出元素． 【答案】（1） （2）交换律：，证明如下： 由题知：， ， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，直接计算，即可求出结果； （2）直接得出，再证明，由题中规定，分别得到与，即可证明结论成立； （3）根据题意，由（2）的结果，得到只需，根据题中规定，得到只需，分别讨论和两种情况，即可得出结果. 【小问1详解】 因为对于中的任意两个元素，， 规定：． 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若中的元素，对，都有成立， 由（2）知只需． 故，即． ①若，显然有成立； ②若，则，解得． ∴当对，都有成立时，得， 易验证当时，对，都有成立， ∴． 【点睛】本题主要考查新定义下的运算，是类比推理的题型，解决此类问题的关键在于对新定义的理解，属于常考题型. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安工大附中2024级高一年级10月份月考 数学试题 （考试时间：120分 试卷满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 不等式的解集为（ ） A. - B. C. D. 4. 已知，下列各数中最大的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知两个非零实数，满足，则下列各式中最小值为2的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 0，1 D. ﹣1，0，1 7. 已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 若数集具有性质：对任意的，，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（ ） A. 为“权集” B. 为“权集” C. “权集”中元素个数一定是有限个 D. “权集”中一定有1 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分. 9. 已知集合，集合，则以下命题正确的有（ ） A. ， B. ， C. 都有 D. 都有 10. “关于x的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 11. 对于集合，给出如下结论，其中正确的结论是（ ） A. 如果，那么 B. 若，对于任意的，则 C. 如果，，那么 D. ，使 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 不等式的解集为________. 13. 已知长方形的周长为8，则其面积有最________值（大，小），且最值为________. 14. 设集合，且中任意两数之和不能被5整除.则的最大值为________. 四、解答题：本大题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，或. （1）求集合； （2）设集合，且，求实数的取值范围. 16. 解下列不等式： （1）； （2）. 17. （1）已知，求的最大值； （2）已知两正数，满足，分别求和的最小值. 18. 已知函数 （1）若，恒成立，求的取值范围； （2）若，恒成立，求的取值范围； （3）若方程有两实根，且两实根均大于1，求的取值范围. 19. 中学阶段，对许多特定集合的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容．现设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，，规定：． （1）计算：； （2）请用数学符号语言表述运算满足交换律，并给出证明； （3）若“中的元素”是“对，都有成立”的充要条件，试求出元素． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $