假期必刷16 三角恒等变换-【快乐假期】2024-2025学年高一数学寒假作业必刷题

函数的图象关于直线x＝π６ 对称, 则２×π６＋φ＝kπ＋ π ２ (k∈Z), 解得φ＝kπ＋ π ６ (k∈Z)． 由于－π＜φ＜０, 则φ＝－ ５π ６ , 故函数f(x)＝２sin ２x－５π６( )． 所以f(x)的最小正周期T＝２π２＝π． 令－π２＋２kπ≤２x－ ５π ６≤ π ２＋２kπ (k∈Z), 解得π ６＋kπ≤x≤ ２π ３＋kπ (k∈Z), 所以函数f(x)的单调递增区间为 π ６＋kπ ,２π ３＋kπ[ ](k∈Z)． (２)函数g(x)＝f(x＋a)＝２sin ２x＋２a－５π６( ) 为偶函 数,则２a－５π６＝kπ＋ π ２ (k∈Z), 解得２a＝kπ＋４π３ (k∈Z), 当k＝－１时,|a|min＝ π ６． 高考冲浪 １．BC　[A错,代x＝０便知;B显然对,两者值域相同;C显 然对,两者最小正周期都为π;D错,前者对称轴为x＝π２＋ kπ(k∈Z),后者是x＝３π８＋kπ (k∈Z)．] ２．B　[由题意可知:x１ 为f(x)的最小值,x２ 为f(x)的最大 值点, 则|x１－x２|min＝ T ２＝ π ２ ,即T＝π, 且ω＞０,所以ω＝２πT＝２． ] 假期必刷１６　三角恒等变换 技能提升台　技能提升 １．D　[sin１０５°＝sin(４５°＋６０°)＝sin４５°cos６０°＋cos４５°sin６０° ＝ ２２× １ ２＋ ２ ２× ３ ２＝ ２＋ ６ ４ ． ] ２．D　[由题意可知cos２ π１２－cos ２５π １２＝cos ２ π １２－sin ２ π １２ ＝cosπ６＝ ３ ２． ] ３．B　[cosπ１２cos π ６－sin π １２sin π ６＝cos π １２＋ π ６( ) ＝cosπ４＝ ２ ２． ] ４．B　[根据两角和的正弦公式展开sinθ＋sinθ＋π３( ) ＝sinθ＋１２sinθ＋ ３ ２cosθ＝ ３ ２sinθ＋ ３ ２cosθ ＝ ３sinθ＋π６( )＝１,所以sinθ＋ π ６( )＝ ３ ３． ] ５．A　[由于α,β都为锐角,所以cosα＝ １－sin２α ＝２ ５５ ,cosβ＝ １－sin２β＝ ３ １０ １０ ． 所以cos(α＋β) ＝cosα􀅰cosβ－sinα􀅰sinβ＝ ２ ２ , 所以α＋β＝ π ４． ] ６．C　[f(x)＝２cos２x＋ ３sin２x＋a ＝１＋cos２x＋ ３sin２x＋a ＝２sin ２x＋π６( )＋a＋１, 当x∈ ０,π２[ ] 时,２x＋ π ６∈ π ６ ,７π ６[ ], 所以f(x)min＝２× － １ ２( )＋a＋１＝－４, 所以a＝－４．] ７．BCD　[因为f(x)＝cos２x－１sin２x ＝ －２sin２x ２sinxcosx ＝－tanx x≠kπ２ (k∈Z)( ),所以函数f(x)是周期为π的 奇函数,图象关于点 π ２ ,０( ) 对称．] ８．BD　[cosα－ ３sinα＝２ １ ２cosα－ ３ ２sinα æ è ç ö ø ÷ ＝２ cosαcosπ３－sinαsin π ３( ) ＝２cosα＋π３( )＝２sin π ６－α( )．] ９．解析:直接应用二倍角的余弦公式, cos２x＝１－２sin２x＝１－２ －２３( ) ２ ＝１－８９＝ １ ９． 答案:１ ９ １０．解析:∵tan(π＋α)＝tanα＝２, ∴sin２α＋cos２α＝２sinαcosα＋cos ２α－sin２α sin２α＋cos２α ＝２tanα＋１－tan ２α tan２α＋１ ＝２×２＋１－２ ２ ２２＋１ ＝１５． 答案:１ ５ １１．解析:因为f(x)＝ ２sinx２cos x ２－ ２sin ２ x ２ ＝ ２２ (sinx＋cosx－１)＝sinx＋π４( )－ ２ ２ , 所以函数f(x)的最小正周期为２π; 因为x∈[－π,０],所以x＋π４∈ － ３π ４ ,π ４[ ], 则当x＋π４＝－ π ２ ,即x＝－３π４ 时, 函数f(x)在区间[－π,０]上取最小值－１－ ２２． 答案:２π　－１－ ２２ １２．解:(１)因为sinα２＋cos α ２＝ ６ ２ ,两边同时平方,得sinα ＝１２． 又π ２＜α＜π ,所以cosα＝－ １－sin２α＝－ ３２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０７􀅰 (２)因为π２＜α＜π ,π ２＜β＜π , 所以－π２＜α－β＜ π ２． 又由sin(α－β)＝－ ３ ５ , 得cos(α－β)＝ ４ ５． 所以cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) ＝－ ３２× ４ ５＋ １ ２× － ３ ５( )＝－ ４ ３＋３ １０ ． １３．解:(１)∵角α的终边经过点P(－３,３), ∴sinα＝１２ ,cosα＝－ ３２ ,tanα＝－ ３３． ∴sin２α－tanα＝２sinαcosα－tanα＝－ ３２＋ ３ ３＝－ ３ ６． (２)∵f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα ＝cosx,x∈R,∴g(x)＝３cos π２－２x( )－２cos ２x ＝ ３sin２x－１－cos２x＝２sin ２x－π６( )－１, ∵０≤x≤２π３ ,∴－π６≤２x－ π ６≤ ７π ６． ∴－１２≤sin ２x－ π ６( )≤１, ∴－２≤２sin ２x－π６( )－１≤１, 故函数g(x)＝３f π２－２x( )－２f ２(x)在区间 ０,２π３[ ] 上的值域是[－２,１]． １４．解:(１)f(x)＝cos２ωx＋ ３sinωxcosωx ＝１＋cos２ωx２ ＋ ３ ２sin２ωx＝sin ２ωx＋ π ６( )＋ １ ２ , 由T＝π,得ω＝１． (２)由(１)知f(x)＝sin ２x＋π６( )＋ １ ２ , 令２kπ－π２≤２x＋ π ６≤２kπ＋ π ２ (k∈Z)． 解得－π３＋kπ≤x≤ π ６＋kπ (k∈Z), ∴函数f(x)的单调递增区间为 kπ－π３ ,kπ＋π６[ ](k∈Z)． 令２x＋π６＝ π ２＋kπ (k∈Z),解得x＝π６＋ kπ ２ (k∈Z), ∴函数f(x)图象的对称轴方程为x＝π６＋ kπ ２ (k∈Z)． 高考冲浪 １．A　[由tanαtanβ＝２,得sinαsinβ＝２cosαcosβ, cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－cosαcosβ＝m, 故cosαcosβ＝－m,所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋ sinαsinβ＝３cosαcosβ＝－３m．] ２．A　[对于A,sinx＋cosx＝２ ２ ２sinx＋ ２ ２cosx æ è ç ö ø ÷ ＝２sinx＋π４( ),则T＝２π,满足条件,故A正确; 对于B,sinxcosx＝１２sin２x ,则T＝２π２＝π ,不满足条件,故B 错误; 对于C,sin２x＋cos２x＝１,为常值函数,则不存在最小正周期, 不满足条件,故C错误; 对于D,sin２x－cos２x＝－cos２x,则T＝２π２＝π ,不满足条件, 故D错误．] 假期必刷１７　函数y＝Asin(ωx＋φ) 技能提升台　技能提升 １．A　[令４x－π６＝ ３π ２ ,得x＝５π１２ ,∴第四个关键点的坐标 为 ５π １２ ,０( )．] ２．A　[y＝３sin２x＋π５( )＝３sin２x＋ π １０( )[ ],为得到函数y＝ ３sin２x＋π５( ) 的图象,只需把C上的所有点向左平移 π １０ 个 单位长度．] ３．A　[因为g(x)＝cos２x－π３( )＝sin２x－ π ３＋ π ２( ) ＝sin２x＋π６( ),且f(x)＝sin２x－ π ６( ) ＝sin２x＋π６－ π ３( )＝sin２x－ π ６( )＋ π ６[ ], 所以将g(x)的图象向右平移π６ 个单位长度得到函数f(x)的 图象．] ４．B　[由题中图象可知,T２＝ ５π ８－ π ８＝ π ２ ,∴T＝π, 由T＝２πω ,得ω＝２, ∴y＝２sin(２x＋φ)． ∵点 π８ ,２( ) 在函数图象上, ∴２＝２sin２×π８＋φ( ),即sin π ４＋φ( )＝１, ∴φ＝２kπ＋ π ４ (k∈Z), ∵０＜φ＜ π ２ ,∴φ＝ π ４ , ∴所求解析式为y＝２sin２x＋π４( )．] ５．A　[由题意知函数f(x)的最小正周期T＝π３ ,则π ω＝ π ３ ,得 ω＝３,所以f(x)＝tan(３x－φ)． 将函数f(x)的图象向左平移 π１２ 个单位长度,得 到y＝ tan３x＋π１２( )－φ[ ]＝tan３x＋ π ４－φ( ) 的图象．要使该图象 关于原点对称,则π ４－φ＝ kπ ２ ,k∈Z,所以φ＝ π ４－ kπ ２ ,k∈Z． 又０＜φ＜π,所以当k＝－１时,φ取得最大值,最大值为 ３π ４． ] ６．D　[函数y＝sinx的图象向左平移π２ 个单位长度后,得到函 数f(x)＝sinx＋π２( ) ＝cosx的图象,f(x)＝cosx为偶函 数,最小正周期为２π,故A,B错误;由f π２( )＝cos π ２＝０ ,知 f(x)＝cosx 的图象不关于直线x＝π２ 对称,故C错误;由 f －π２( )＝cos － π ２( )＝０,知f(x)＝cosx 的图象关于点 －π２ ,０( ) 对称,故 D正确．] ７．ACD　[由题图可知A＝１,T４＝ ７π １２－ π ３＝ π ４ , 则T＝π,ω＝２πT＝２． 又f ７π１２( )＝sin ２× ７π １２＋φ( )＝－sin π ６＋φ( )＝－１, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１７􀅰 三角恒等变换 天行健,君子以自强不息。 假期必刷16 完成日期: 月__口 思维整合室 自测自查 1.(1)cos acos 3十 sin asin B (2)cos acosB- 知识梳理 sin asin ③ (3)sin acos B-cos asin $ 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (4)sin acos ③十cos asin ③ (5)tana-tan3 1+tanatanB (1)公式C。-: tana十tan3 (6) 1-tanatan③ cos(a-3)- 2. a^{}十^{}sin(a十q) (2)公式C。+: 3.(1)2sin acosa (2)cos{}a-sin{}a2cos^{}-1 2tana cos(a+③)= 1-cosa 1-2sin2a(3)- 1-tan{g 2 (3)公式S。-: 1十cosa 1-cosa sin(a-8)- 2. 1十cosa (4)公式Sa+: 要点记忆 sin(a十③)= 1.两角和与差的公式的常用变形 (1)sin gsin ③十cos(a十③)=cos acos $; (5)公式T-:tan(a-)= (2)cos asin 3十sin(a-③)=sin acos 3; (6)公式T。+:tan(a+B)= (3)tan a士tan ③-tan(a士③)(1干tan atan 3. tan atan =1-tan a+tan3 2.辅助角公式 tan(a十B) ,其中sin _tang-tan3-1. asina十bcosa= tan(a-③) ___ 2.降幕公式:cos{1+cos 2. ### 2 1-cos2a sin{}- “,tan{2}n- 1-cos2a 3.二倍角的正弦、余弦、正切公式 1+cos2a. (1)公式S:sin2a 3.升幕公式:1十sin2a=(sina+cosa)②. 1-sin 2a=(sina-cosa)②, (2)公式C:cos2a= 1士sin 2a=(sina士cosa)②. 【《《技能提升台 (3)公式T。:tan2a= 技能 提升 1.sin105*的值为 ( 4.半角公式 3+2 A. B2+1 2 # C.# D.G# ## 4 (无理形式). sina_ 1-cosa(有理形式). . tan -1十cosa sing ·41· 乐期 3.coscos #7# C# 则函数f(x)的最小正周期为 D.1 函数f(x)在区间[一n,0]上的最小值 4.已知sin0+sin(o+)-1,则sin0+)一 ## 12.6() 1 △0△+0 ( ## #. B.# } (1)求cosx的值; 的值. ( ) 3 C.和3# 6.设函数f(x)-2cos{②}x+3sin2x十a(a为实 a的值为 C B.-6 C.-4 A.4 D.-3 sin 2x 说法正确的是 ( ) B.函数/(n)的图象关于点(20]对称 C.函数f(x)是奇函数 D.函数f(x)的最小正周期为x 8.(多选)cosg一③sina化简的结果可以是 1.20014) ( ###0) C.#-) D.2si#一-分) 10.已知tan(x+a)=2,则cos 2a+sin2 ·2· 13.已知角a的顶点在坐标原点,始边与工轴 14. 已知函数f(x)=cos{ax十③sin ax·cos ar 的正半轴重合,终边经过点P(一3,/③). (>0)的最小正周期为n (1)求sin2a-tana的值; (1)求的值; (2)若函数f(x)=cos(x-a)cosa-sin(x-a) (2)求函数/(x)的单调递增区间及其图象 sina,求函数g(c)#3/(2x2^f(x) 的对称轴方程 在区间[0,2上的值域. 高考 冲浪 1.(2024·新课标I卷,4)已知cos(a十3)=m. tan atan3-2,则cos(a-)= ) B.- C. A.-3m D.3m 2.(2024·上海卷;14)下列函数中,最小正周 期是2n的是 ( ) A.y-sinx十cosx B. y-sin xcosx C.y-sin2x十cos②x D. y-sin②x-cos^{x ·3·