假期必刷15 三角函数的图象与性质-【快乐假期】2024-2025学年高一数学寒假作业必刷题

假期必刷１５　三角函数的图象与性质 　　 １．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (１)正弦函数y＝sinx,x∈[０,２π]的图象中, 五个关键点是:(０,０)π２ ,１ æ è ç ö ø ÷,(π,０),　　 　　,(２π,０)． (２)余弦函数y＝cosx,x∈[０,２π]的图象中, 五个关键点是:(０,１),π２ ,０ æ è ç ö ø ÷,　　　　, ３π ２ ,０ æ è ç ö ø ÷,(２π,１)． ２．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 k∈Z) 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 图象 定义域 R R 　　　　 值域 　　　　 　　　　 R 最小 正周期 　　　　 　　　　 　　　　 奇偶性 　　　　 　　　　 奇函数 递增 区间 　　　　 　　　　 　　　　 递减 区间 　　　　 　　　　 无 对称 中心 　　　　 　　　　 kπ２ ,０ æ è ç ö ø ÷ 对称轴 方程 　　　　 　　　　 无 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．(１)３π２ ,－１ æ è ç ö ø ÷　(２)(π,－１) ２．{x|x∈R,且x≠kπ＋π２ }　[－１,１] [－１,１]　２π　２π　π　奇函数　偶函数 ２kπ－π２ ,２kπ＋π２ é ë êê ù û úú 　 [２kπ － π,２kπ]　 kπ－π２ ,kπ＋π２ æ è ç ö ø ÷ 　 ２kπ＋π２ ,２kπ＋３π２ é ë êê ù û úú 　 [２kπ,２kπ＋π]　(kπ,０)　 kπ＋π２ ,０ æ è ç ö ø ÷ x＝kπ＋π２　x＝kπ １．对称性与周期性 (１)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻 两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的 对称 中 心 与 对 称 轴 之 间 的 距 离 是１ ４ 个 周期． (２)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半 个周期． ２．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A,ω≠０),则 (１)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝ π ２＋kπ (k∈Z)． (２)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)． ３．对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增 函数,而是在每个区间 kπ－π２ ,kπ＋π２ æ è ç ö ø ÷(k ∈Z)内单调递增． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８３􀅰 １．用“五点法”作y＝２sinx的图象时,首先描 出的五个点的横坐标是 (　　) A．０,π２ ,π,３π２ ,２π B．０,π４ ,π ２ ,３π ４ ,π C．０,π,２π,３π,４π D．０,π６ ,π ３ ,π ２ ,２π ３ ２．函数y＝sinx＋π２ æ è ç ö ø ÷,x∈R在 (　　) A．－π２ ,π ２ é ë êê ù û úú上单调递增 B．[０,π]上单调递减 C．[－π,０]上单调递减 D．[－π,π]上单调递减 ３．函数f(x)＝１＋３cosx的最小值为 (　　) A．－３　　B．－２　　C．３　　D．４ ４．与函数y＝tan２x＋π４ æ è ç ö ø ÷的图象不相交的一 条直线是 (　　) A．x＝π２ B．y＝ π ２ C．x＝π８ D．y＝ π ８ ５．下列函数中,以２π为最小正周期的是 (　　) A．y＝|sinx| B．y＝sin２x C．y＝cos４x D．y＝ cosx２ ６．下列函数中,既在 ０,π２ æ è ç ö ø ÷ 上单调递增,又以 π为周期且为偶函数的是 (　　) A．y＝sinx B．y＝cos２x C．y＝sin２x D．y＝１２|sinx| ７．(多 选)已 知 函 数 f(x)＝sin(sinx)＋ cos(cosx),下列关于该函数的结论正确 的是 (　　) A．f(x)的一个周期是２π B．f(x)的图象关于直线x＝π２ 对称 C．f(x)的最大值为２ D．f(x)在 ０,π２ æ è ç ö ø ÷上单调递增 ８．(多选)已知函数f(x)＝sinωx＋π４ æ è ç ö ø ÷(ω＞０) 的图象在区间[０,π]上有且仅有４条对称 轴,则下面给出的结论中,正确的是 (　　) A．ω的取值范围是 １３４ ,１７ ４ é ë êê ö ø ÷ B．f(x)的最小正周期可能是２ C．f(x)在区间(０,π)上可能恰有４个零点 D．f(x)在区间 ０,π１２ æ è ç ö ø ÷上可能单调递增 ９．函数值sin３π５ ,sin４π５ ,从大到小的顺序为 　　　　　　　　．(用“＞”连接) １０．函数f(x)＝ ３－tan２x的定义域是　　　 　　　　　． １１．已知方程cos２x＋４sinx－a＝０在x∈[０,π] 时有解,则实数a的取值范围为　　　　． １２．已知函数f(x)＝ ３sin(２x＋φ)|φ|＜ π ２ æ è ç ö ø ÷的 图象的一条对称轴为直线x＝π１２． (１)求φ的值; (２)当x∈[０,π]时,求f(x)的单调递增 区间． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９３􀅰 １３．已知f(x)＝tan２x＋π３ æ è ç ö ø ÷． (１)求f(x)的最小正周期; (２)若f(x＋φ)是奇函数,则φ应满足什么 条件? 并求出满足|φ|＜ π ２ 的φ值． １４．已知函数f(x)＝２sin(ωx＋φ)(－π＜φ＜０, ω＞０)的图象关于直线x＝π６ 对称,且两相 邻对称中心之间的距离为π ２． (１)求 f(x)的最小正周期和单调递增 区间; (２)若函数g(x)＝f(x＋a)为偶函数,求|a| 的最小值． １．(多选)(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷,９)对于函数 f(x)＝sin２x和g(x)＝sin２x－π４ æ è ç ö ø ÷,下列 说法正确的有 (　　) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 ２．(２０２４􀅰北京卷,６)设函数f(x)＝sinωx(ω＞０), 已知f(x１)＝－１,f(x２)＝１,且|x１－x２|的 最小值为π ２ ,则ω＝ (　　) A．１　　　B．２　　　C．３　　　D．４ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０４􀅰 ６．D　[因为角α的终边上有一点P(１,３), 所以sinα＝ ３ １２＋３２ ＝ ３ １０ ＝３１０ １０ , cosα＝ １ １２＋３２ ＝ １ １０ ＝ １０１０ , 所以cos ３π２－α( )＋２cos(－π＋α)＝－sinα－２cosα ＝－３１０ １０－ ２ １０ １０＝－ １０ ２ ． ] ７．BC　[f(x＋π)＝sin(x＋π)＝－sinx,f(２π－x)＝sin(２π － x)＝ － sin x,f x－π２( ) ＝ sinx－ π ２( ) ＝ －sin π２－x( )＝－cosx,f(π－x)＝sin(π－x)＝sinx＝ f(x),故B、C成立．] ８．AB　[sin(３π－x)＝sin(π－x)＝sinx,sinπ－x２ ＝sin π２－ x ２( )＝cos x ２ ,cos ５π２＋３x( )＝cos π ２＋３x( ) ＝－sin３x,cos３π２＋２x( )＝sin２x．] ９．解析:因为１１°＋７９°＝９０°,所以sin７９°＝cos１１°,所以原 式＝sin２１１°＋cos２１１°＝１． 答案:１ １０．解析:sinα－２π３( )＝sin － π ２－ π ６－α( )[ ] ＝－sin π２＋ π ６－α( )[ ]＝－cos π ６－α( )＝－ ２ ３． 答案:－２３ １１．解析:因为α是第四象限的角, 所以sinα＝－ １－cos２α＝－２ ２３ ． 于是cosα＋３π２( )＝－cosα＋ π ２( )＝sinα ＝－２ ２３ ． 答案:－２ ２３ 　－ ２ ２ ３ １２．解:∵sin(４π－α)＝sin(－α)＝－sinα, cos９π２＋α( )＝cos４π＋ π ２＋α( )[ ] ＝cos π２＋α( )＝－sinα sin １１π２ ＋α( )＝sin ６π－ π ２－α( )[ ] ＝－sin π２－α( )＝－cosα, tan(５π－α)＝tan(π－α)＝－tanα, sin(３π－α)＝sin(π－α)＝sinα, ∴原式＝ sinαsinα－cosαcosα－ －tanα sinαcosα ＝－sin ２α cos２α ＋ １ cos２α ＝１－sin ２α cos２α ＝cos ２α cos２α ＝１． １３．解:(１)cosα－sinαcosα＋sinα＋ cosα＋sinα cosα－sinα ＝１－tanα１＋tanα＋ １＋tanα １－tanα , 将tanα＝２３ 代入,原式＝ １－２３ １＋２３ ＋ １＋２３ １－２３ ＝２６５． (２)sin２α－２sinαcosα＋４cos２α ＝sin ２α－２sinαcosα＋４cos２α sin２α＋cos２α ＝tan ２α－２tanα＋４ tan２α＋１ ,将tanα＝２３ 代入, 原式＝ ４ ９－ ４ ３＋４ ４ ９＋１ ＝２８１３． １４．解:(１)f(α)＝－cosαsinα (－tanα) tanα(－sinα) ＝－cosα． (２)f α＋π２( )＝－cosα＋ π ２( )＝sinα． 因为f(α)􀅰f α＋π２( ) ＝－ １ ８ ,所以cosα􀅰sinα＝１８ , 可得 f(α)＋f α＋π２( )[ ] ２ ＝(sinα－cosα)２＝３４ ,由５π ４ ≤α≤３π２ ,得cosα＞sinα, 所以f(α)＋f α＋π２( )＝sinα－cosα＝－ ３ ２． 高考冲浪 １．B　[因为 cosαcosα－sinα＝ ３ ,所以tanα＝１－ ３３ , tanα＋π４( )＝ tanα＋１ １－tanα＝２ ３－１． ] ２．B　因为sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝ １ ３ , cosαsinβ＝ １ ６ ,则sinαcosβ＝ １ ２． 故sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ＝１２＋ １ ６＝ ２ ３． 即cos(２α＋２β)＝１－２sin２(α＋β) ＝１－２× ２３( ) ２ ＝１９． ] 假期必刷１５　三角函数的图象与性质 技能提升台　技能提升 １．A　[y＝２sinx与y＝sinx对应五点的横坐标相同,则用 “五点法”作图时,对应五个点的横坐标分别为０,π２ ,π, ３π ２ ,２π．] ２．B　[因为y＝sinx＋π２( )＝cosx,所以在区间[－π,０]上 单调递增,在[０,π]上单调递减．] ３．B　[因为－１≤cosx≤１,所以－２≤１＋３cosx≤４,所以 函数的最小值为－２．] ４．C　[令２x＋π４＝kπ＋ π ２ (k∈Z),得x＝kπ２＋ π ８ (k∈Z)． 令k＝０,得x＝π８． ] ５．D　[对于A,y＝|sinx|的图象是由y＝sinx把x 轴下方 的图象翻折上去、x轴上方的图象保持不变得到的,易知 最小正周期为π,故 A 错误;对于 B,y＝sin２x 的最小正 周期为２π ２＝π ,故 B错误;对于 C,y＝cos４x 的最小正周 期为２π ４＝ π ２ ,故C错误;对于 D,y＝ cosx２ 的图象是由 y＝cosx２ 把x 轴下方的图象翻折上去、x 轴上方的图象 保持不变得到的,易知最小正周期为２π,故 D正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８６􀅰 ６．D　[显然函数y＝sinx,y＝sin２x 都是奇函数,故 A,C 不符合题意;当x∈ ０,π２( ) 时,２x∈(０,π),而函数y＝cosx 在(０,π)上单调递减,所以函数y＝cos２x在 ０,π２( ) 上单 调递减,故B不符合题意;函数y＝１２|sinx| 是周期为π的偶 函数,当x∈ ０,π２( ) 时,sinx＞０,此时y＝ １ ２sinx ,而y＝ １ ２sinx 在 ０,π２( ) 上单调递增,故 D符合题意．] ７．ABD　[因为f(x＋２π)＝sin[sin(x＋２π)]＋cos[cos(x＋ ２π)]＝sin(sinx)＋cos(cosx)＝f(x),故 A 正确;因为 f(π－x)＝sin[sin(π－x)]＋cos[cos(π－x)]＝sin(sinx) ＋cos(－cosx)＝sin(sinx)＋cos(cosx)＝f(x),故B正 确;由于sinx∈[－１,１],cosx∈[－１,１],所以sin(sinx)＜１, cos(cosx)≤１,故f(x)＝sin(sinx)＋cos(cosx)＜２,故 C 错误;当x∈ ０,π２( ) 时,sinx∈(０,１)且单调递增,故y＝ sin(sinx)在区间 ０,π２( ) 上单调递增,同理可判断,y＝ cos(cosx)在 区 间 ０,π２( ) 上 单 调 递 增,故f(x)在 区 间 ０,π２( ) 上单调递增,故 D正确．] ８．AC　[由题意知f(x)＝sinωx＋π４( )(ω＞０), 令ωx＋π４＝ π ２＋kπ ,k∈Z,则x＝ (１＋４k)π ４ω ,k∈Z． 因为函数在区间[０,π]上有且仅有４条对称轴, 即０≤ (１＋４k)π ４ω ≤π 有４个整数k符合,由０≤ (１＋４k)π ４ω ≤π,得０≤１＋４k４ω ≤１ ,故０≤１＋４k≤４ω, 则k＝０,１,２,３,即１＋４×３≤４ω＜１＋４×４,所以１３４≤ω＜ １７ ４ ,故 A 正 确;若 函 数 的 最 小 正 周 期 为 ２,则 ω＝π∉ １３ ４ ,１７ ４[ ),故 B 错 误;当 x∈ (０,π)时,ωx＋ π ４ ∈ π ４ ,ωπ＋π４( ),又ωπ＋ π ４∈ ７π ２ ,９π ２[ ), 当ωx＋π４∈ ７π ２ ,４π[ ] 时,f(x)有３个不同的零点, 当ωx＋π４∈ ４π ,９π ２( ) 时,f(x)有４个不同的零点, 则f(x)在区间(０,π)上可能恰有４个零点,故C正确; 当x∈ ０,π１２( ) 时,ωx＋ π ４∈ π ４ ,ωπ １２＋ π ４( ), 因为１３ ４≤ω＜ １７ ４ , 所以ωπ １２＋ π ４∈ ２５π ４８ ,２９π ４８[ ), 而２５π ４８＞ π ２ ,所 以f(x)在 区 间 ０,π１２( ) 上 不 单 调,故 D 错误．] ９．解析:∵π２＜ ３π ５＜ ４π ５ , 又函数y＝sinx在 π２ ,π[ ] 上单调递减, ∴sin３π５＞sin ４π ５． 答案:sin３π５＞sin ４π ５ １０．解析:由题意得３－tan２x≥０,即tan２x≤３, 所以－ ３≤tanx≤ ３, 所以kπ－π３≤x≤kπ＋ π ３ ,k∈Z． 故所求函数的定义域为 kπ－π３ ,kπ＋π３[ ],k∈Z． 答案:kπ－π３ ,kπ＋π３[ ],k∈Z １１．解析:因为方程cos２x＋４sinx－a＝０在x∈[０,π]时有解, 所以y＝cos２x＋４sinx,x∈[０,π]的图象与直线y＝a有 交点． 因为y＝－sin２x＋４sinx＋１＝－(sinx－２)２＋５,且０≤ sinx≤１,所以y∈[１,４]． 所以实数a的取值范围是[１,４]． 答案:[１,４] １２．解:(１)依题意得２×π１２＋φ＝ π ２＋kπ (k∈Z), 所以φ＝ π ３＋kπ (k∈Z), 因为|φ|＜ π ２ ,所以φ＝ π ３． (２)由(１)得f(x)＝ ３sin ２x＋π３( ), 当x∈[０,π]时,２x＋π３∈ π ３ ,７π ３[ ], 所以当２x＋π３∈ π ３ ,π ２[ ] 或２x＋ π ３∈ ３π ２ ,７π ３[ ] 时,f(x) 单调递增, 此时解得x∈ ０,π１２[ ] 或 ７π １２ ,π[ ], 故f(x)在[０,π]上的单调递增区间为 ０,π１２[ ], ７π １２ ,π[ ]． １３．解:(１)法一:因为y＝tanx的最小正周期是π． 所以y＝tan ２x＋π３( ) 的最小正周期是 π ２． 法二:由诱导公式知: tan ２x＋π３( )＋π[ ]＝tan ２x＋ π ２( )＋ π ３[ ] ＝tan ２x＋π３( ), 即f x＋π２( )＝f(x)． 所以f(x)的最小正周期是π２． (２)因为f(x＋φ)＝tan ２x＋ π ３＋２φ( ) 是奇函数,所以图 象关于原点中心对称, 所以π ３＋２φ＝ kπ ２ (k∈Z), 所以φ＝ kπ ４－ π ６ (k∈Z)． 令 kπ ４－ π ６ ＜ π ２ (k∈Z), 解得－４３＜k＜ ８ ３ ,k∈Z． 所以k＝－１,０,１,２． 从而得φ＝－ ５π １２ ,－π６ ,π １２ ,π ３． １４．解:(１)函数f(x)＝２sin(ωx＋φ)(－π＜φ＜０,ω＞０),且两相 邻对称中心之间的距离为π ２ , 则T＝２πω＝π ,解得ω＝２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９６􀅰 函数的图象关于直线x＝π６ 对称, 则２×π６＋φ＝kπ＋ π ２ (k∈Z), 解得φ＝kπ＋ π ６ (k∈Z)． 由于－π＜φ＜０, 则φ＝－ ５π ６ , 故函数f(x)＝２sin ２x－５π６( )． 所以f(x)的最小正周期T＝２π２＝π． 令－π２＋２kπ≤２x－ ５π ６≤ π ２＋２kπ (k∈Z), 解得π ６＋kπ≤x≤ ２π ３＋kπ (k∈Z), 所以函数f(x)的单调递增区间为 π ６＋kπ ,２π ３＋kπ[ ](k∈Z)． (２)函数g(x)＝f(x＋a)＝２sin ２x＋２a－５π６( ) 为偶函 数,则２a－５π６＝kπ＋ π ２ (k∈Z), 解得２a＝kπ＋４π３ (k∈Z), 当k＝－１时,|a|min＝ π ６． 高考冲浪 １．BC　[A错,代x＝０便知;B显然对,两者值域相同;C显 然对,两者最小正周期都为π;D错,前者对称轴为x＝π２＋ kπ(k∈Z),后者是x＝３π８＋kπ (k∈Z)．] ２．B　[由题意可知:x１ 为f(x)的最小值,x２ 为f(x)的最大 值点, 则|x１－x２|min＝ T ２＝ π ２ ,即T＝π, 且ω＞０,所以ω＝２πT＝２． ] 假期必刷１６　三角恒等变换 技能提升台　技能提升 １．D　[sin１０５°＝sin(４５°＋６０°)＝sin４５°cos６０°＋cos４５°sin６０° ＝ ２２× １ ２＋ ２ ２× ３ ２＝ ２＋ ６ ４ ． ] ２．D　[由题意可知cos２ π１２－cos ２５π １２＝cos ２ π １２－sin ２ π １２ ＝cosπ６＝ ３ ２． ] ３．B　[cosπ１２cos π ６－sin π １２sin π ６＝cos π １２＋ π ６( ) ＝cosπ４＝ ２ ２． ] ４．B　[根据两角和的正弦公式展开sinθ＋sinθ＋π３( ) ＝sinθ＋１２sinθ＋ ３ ２cosθ＝ ３ ２sinθ＋ ３ ２cosθ ＝ ３sinθ＋π６( )＝１,所以sinθ＋ π ６( )＝ ３ ３． ] ５．A　[由于α,β都为锐角,所以cosα＝ １－sin２α ＝２ ５５ ,cosβ＝ １－sin２β＝ ３ １０ １０ ． 所以cos(α＋β) ＝cosα􀅰cosβ－sinα􀅰sinβ＝ ２ ２ , 所以α＋β＝ π ４． ] ６．C　[f(x)＝２cos２x＋ ３sin２x＋a ＝１＋cos２x＋ ３sin２x＋a ＝２sin ２x＋π６( )＋a＋１, 当x∈ ０,π２[ ] 时,２x＋ π ６∈ π ６ ,７π ６[ ], 所以f(x)min＝２× － １ ２( )＋a＋１＝－４, 所以a＝－４．] ７．BCD　[因为f(x)＝cos２x－１sin２x ＝ －２sin２x ２sinxcosx ＝－tanx x≠kπ２ (k∈Z)( ),所以函数f(x)是周期为π的 奇函数,图象关于点 π ２ ,０( ) 对称．] ８．BD　[cosα－ ３sinα＝２ １ ２cosα－ ３ ２sinα æ è ç ö ø ÷ ＝２ cosαcosπ３－sinαsin π ３( ) ＝２cosα＋π３( )＝２sin π ６－α( )．] ９．解析:直接应用二倍角的余弦公式, cos２x＝１－２sin２x＝１－２ －２３( ) ２ ＝１－８９＝ １ ９． 答案:１ ９ １０．解析:∵tan(π＋α)＝tanα＝２, ∴sin２α＋cos２α＝２sinαcosα＋cos ２α－sin２α sin２α＋cos２α ＝２tanα＋１－tan ２α tan２α＋１ ＝２×２＋１－２ ２ ２２＋１ ＝１５． 答案:１ ５ １１．解析:因为f(x)＝ ２sinx２cos x ２－ ２sin ２ x ２ ＝ ２２ (sinx＋cosx－１)＝sinx＋π４( )－ ２ ２ , 所以函数f(x)的最小正周期为２π; 因为x∈[－π,０],所以x＋π４∈ － ３π ４ ,π ４[ ], 则当x＋π４＝－ π ２ ,即x＝－３π４ 时, 函数f(x)在区间[－π,０]上取最小值－１－ ２２． 答案:２π　－１－ ２２ １２．解:(１)因为sinα２＋cos α ２＝ ６ ２ ,两边同时平方,得sinα ＝１２． 又π ２＜α＜π ,所以cosα＝－ １－sin２α＝－ ３２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０７􀅰