假期必刷14 同角三角函数的基本关系及诱导公式-【快乐假期】2024-2025学年高一数学寒假作业必刷题

快乐假期 c900号 假期必刷14同角三角函数的基本关系及诱导公式 锲而不舍，金石可镂。 完成日期： 月 〈《思维整合室 《《技能提升台 知识梳理 技能提升 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系： 1.已知sm(受+-号，那么cosa=（ (2)商数关系：加c=tan aaz≠5十km,k∈Z A.- B.-3 c 0. cos a 2 2.三角函数的诱导公式 2.已知a是第三象限角，sina=一 ，则tama 3 公式 三 四 五 六 ( ) 2kx十a 角 π十a 元一a -a 十a (k∈Z) 2 A.-3 B 4 正弦 sin a 3已知sm。-)号则in(-)的值为 余弦 cos a 正切 tan a A C.3 2 D.3 2 口诀 奇变偶不变，符号看象限 自测自查 4.化 a2 sin(a-r)·cos(2π-a) 1.(1)sin'a++cos2a=1 sim+a} 2.-sin a -sin a sin a cos a cos a 的结果为 一cOs&COSa -cos a sin a -sin a A.sin'a B.-sin'a tan a -tan a -tan a C.cos'a D.-cos a 要点记忆 5.已知sin(π+a)= 且a是第四象限角，则 3 1.同角三角函数关系式的常用变形 cos(a一2π)的值是 () (sina土cosa)2=1±2 sin acos a; sina=tana·cosa. B青 C.-D. 2.诱导公式的记忆口诀 6.已知角a的终边上有一点P(1,3),则 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是 +2cos(-π+a)的值为() 指5的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名 称的变化 A.10 10 B.10 2 3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开 方，要特别注意判断符号. c D.-10 2 ·36· 三0022 高一数学) 7.(多选)已知f(x)=sinx,下列式子中成立 13.已知1am。=号，求下列各式的值： 的是 A.f(.x+π)=sinx (1)cos a-sin acos a+sin a cos a+sin a'cos a-sin a B.f(2π-x)=-sinx (2)sin'a-2sin acos a+4cos a. cf- -cos a D.f(π-x)=-f(x) 8.(多选)已知x∈R,则下列等式恒成立的是 ( A.sin(3π-x)=sinx 14.已知函数f(a)= B.sin2=cos号 sina-2cosa)tan(2-a) tan(a十π)sin(a十π) c.eo管+3r = sin 3 (1)化简f(a): D.cos =-sin 2x 2若fafe+引=-g,且野≤a≤ 9.计算：sin211°+sin279° 经求a)+fa+)的值 10.已知cos(日-a小号则sim(a-2 11.若cosa= 3,且a是第四象限的角，则sina= 12.化简： 高考冲浪 (2-) sin 1.(2024·全国甲卷（文），9)已知 cos a cos a-sin a tan(5π-a) sin(3x-a)sin 2-a =.则tana+月 A.23+1 B.23-1 c号 D.1-3 2.(2023·新课标I卷，8)已知sin(a-)= os月=合则cos(2a+28)=() 1 A c- n-名 ·37·３．D 　 [因 为 P (sin (－ ３０°),cos(－ ３０°)),所 以 P －１２ ,３ ２[ ],所以θ是第二象限角,又θ∈[－２π,０),所 以θ＝－４π３． ] ４．D　[由tanθsinθ＞０ ,得 １ cosθ＞０ ,所以cosθ＞０．又sinθ􀅰cosθ ＜０,所以sinθ＜０,所以θ为第四象限角．] ５．C　[与角９π４ 的终边相同的角可以写成２kπ＋９π４ (k∈Z)或 k􀅰３６０°＋４５°(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,排 除 A,B,易知 D错误,C正确．] ６．C　[由题意可知,一个质点在圆 O 上每５s逆时针转一圈,２s后, 到达P 点,所以∠POP０＝ ４π ５ ,而 在△POP０ 中,OP＝OP０＝２且为 圆的半径,取P０P 的中点T,连接 OT,如 图,则 ∠POT＝２π５ ,所 以 sin∠POT＝PTOP＝sin ２π ５ ,则PT＝１２PP０＝２sin ２π ５ ,所以 PP０＝４sin ２π ５． ] ７．AC　[因为角α的终边经过点P(－２,１),所以P 到原点 的距离为 ５,根据三角函数的定义得到sinα＝１ ５ ＝ ５５ , cosα＝－２ ５ ＝－２ ５５ ,tanα＝－１２． ] ８．AD　[角π３ 与角－５３π 相差２π,终边相同,故 A 正确;终 边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k 􀅰１８０°－４５°,k∈Z},故B错误;若角α的终边在直线y＝ －３x上,则cosα的取值为± １０１０ ,故C错误;６７°３０′化成弧 度是３π ８ ,故D正确．] ９．解析:原式＝sin(２×３６０°＋９０°)＋tan(２×３６０°＋４５°)＋ tan(３×３６０°＋４５°)＋cos(０°＋３６０°) ＝sin９０°＋tan４５°＋tan４５°＋cos０°＝４． 答案:４ １０．解析:设扇形的圆心角为α,半径为r,则扇形的周长为αr＋２r ＝６,所以r＝３２cm ,所以扇形的面积S＝１２αr ２＝９４ (cm２)． 答案:９ ４ １１．解析:因为α＝１５６０°＝４×３６０°＋１２０°, 所以与α终边相同的角为３６０°×k＋１２０°,k∈Z, 令k＝－１或k＝０,可得θ＝－２４０°或θ＝１２０°． 答案:１２０°或－２４０° １２．解:与５３０°终边相同的角为k􀅰３６０°＋５３０°,k∈Z．(１)由 －３６０°＜k􀅰３６０°＋５３０°＜０°且k∈Z,可得k＝－２,故所 求的最大负角为－１９０°． (２)由０°＜k􀅰３６０°＋５３０°＜３６０°且k∈Z,可得k＝－１,故 所求的最小正角为１７０°． (３)由－７２０°≤k􀅰３６０°＋５３０°≤－３６０°且k∈Z,可得k＝ －３,故所求的角为－５５０°． １３．解:(１)因为α＝１００°＝１００× π１８０＝ ５π ９ ,所以扇形的面积S ＝１２lr＝ １ ２αr ２＝１２× ５π ９×４＝ １０π ９ ． (２)由题意可知l＋２r＝２０,即l＝２０－２r,所以扇形的面 积S＝１２lr＝ １ ２ (２０－２r)􀅰r＝－(r－５)２＋２５,易知当r ＝５时,扇形的面积最大,最大值为２５,此时l＝２０－２×５ ＝１０,α＝lr ＝ １０ ５＝２． １４．解:直线２ ２x＋y＝０,即y＝－２ ２x,经过第二、四象 限．在第 二 象 限 取 直 线 上 的 点 (－１,２ ２),则 r＝ (－１)２＋(２ ２)２＝３,所以sinα＝２ ２３ ,cosα＝－１３ , tanα＝－２ ２． 在第 四 象 限 取 直 线 上 的 点 (１,－２ ２),则 r＝ １２＋(－２ ２)２＝３,所 以 sinα＝－２ ２３ ,cosα＝ １３ , tanα＝－２ ２． 高考冲浪 １．解析:∵α∈ π６ ,π ３[ ],∴cos π ３≤cosα≤cos π ６ ,即１ ２≤ cosα≤ ３２ ,又β－α＝π＋２kπ,k∈Z,∴cosβ＝cos(α＋π＋ ２kπ)＝cos(α＋π)＝－cosα,∴－ ３２≤cosβ≤－ １ ２ , ∴cosβ的最大值为－ １ ２． 答案:－１２ ２．解析:因为θ∈ ０,π２( ),则sinθ＞０,cosθ＞０, 又因为tanθ＝sinθcosθ＝ １ ２ ,则cosθ＝２sinθ, 且cos２θ＋sin２θ＝４sin２θ＋sin２θ＝５sin２θ＝１, 解得sinθ＝ ５５ 或sinθ＝－ ５５ (舍去), 所以sinθ－cosθ＝sinθ－２sinθ＝－sinθ＝－ ５５． 答案:－ ５５ 假期必刷１４　同角三角函数的 基本关系及诱导公式 技能提升台　技能提升 １．B　[因为sin ７π２＋α( )＝－cosα＝ ３ ５ , 所以cosα＝－３５． ] ２．B　[由题意得cosα＝－４５ ,故tanα＝sinαcosα＝ ３ ４． ] ３．C　[sin ５π４－α( )＝sin π＋ π ４－α( )＝－sin π ４－α( ) ＝sinα－π４( )＝ ３ ２． ] ４．B　[原式＝sinαcosα 􀅰(－sinα)􀅰cosα＝－sin２α．] ５．B　[∵sin(π＋α)＝３５ ,且sin(π＋α)＝－sinα, ∴sinα＝－３５ ,又α是第四象限角, ∴cos(α－２π)＝cosα＝ １－sin２α ＝ １－ －３５( ) ２ ＝４５． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７６􀅰 ６．D　[因为角α的终边上有一点P(１,３), 所以sinα＝ ３ １２＋３２ ＝ ３ １０ ＝３１０ １０ , cosα＝ １ １２＋３２ ＝ １ １０ ＝ １０１０ , 所以cos ３π２－α( )＋２cos(－π＋α)＝－sinα－２cosα ＝－３１０ １０－ ２ １０ １０＝－ １０ ２ ． ] ７．BC　[f(x＋π)＝sin(x＋π)＝－sinx,f(２π－x)＝sin(２π － x)＝ － sin x,f x－π２( ) ＝ sinx－ π ２( ) ＝ －sin π２－x( )＝－cosx,f(π－x)＝sin(π－x)＝sinx＝ f(x),故B、C成立．] ８．AB　[sin(３π－x)＝sin(π－x)＝sinx,sinπ－x２ ＝sin π２－ x ２( )＝cos x ２ ,cos ５π２＋３x( )＝cos π ２＋３x( ) ＝－sin３x,cos３π２＋２x( )＝sin２x．] ９．解析:因为１１°＋７９°＝９０°,所以sin７９°＝cos１１°,所以原 式＝sin２１１°＋cos２１１°＝１． 答案:１ １０．解析:sinα－２π３( )＝sin － π ２－ π ６－α( )[ ] ＝－sin π２＋ π ６－α( )[ ]＝－cos π ６－α( )＝－ ２ ３． 答案:－２３ １１．解析:因为α是第四象限的角, 所以sinα＝－ １－cos２α＝－２ ２３ ． 于是cosα＋３π２( )＝－cosα＋ π ２( )＝sinα ＝－２ ２３ ． 答案:－２ ２３ 　－ ２ ２ ３ １２．解:∵sin(４π－α)＝sin(－α)＝－sinα, cos９π２＋α( )＝cos４π＋ π ２＋α( )[ ] ＝cos π２＋α( )＝－sinα sin １１π２ ＋α( )＝sin ６π－ π ２－α( )[ ] ＝－sin π２－α( )＝－cosα, tan(５π－α)＝tan(π－α)＝－tanα, sin(３π－α)＝sin(π－α)＝sinα, ∴原式＝ sinαsinα－cosαcosα－ －tanα sinαcosα ＝－sin ２α cos２α ＋ １ cos２α ＝１－sin ２α cos２α ＝cos ２α cos２α ＝１． １３．解:(１)cosα－sinαcosα＋sinα＋ cosα＋sinα cosα－sinα ＝１－tanα１＋tanα＋ １＋tanα １－tanα , 将tanα＝２３ 代入,原式＝ １－２３ １＋２３ ＋ １＋２３ １－２３ ＝２６５． (２)sin２α－２sinαcosα＋４cos２α ＝sin ２α－２sinαcosα＋４cos２α sin２α＋cos２α ＝tan ２α－２tanα＋４ tan２α＋１ ,将tanα＝２３ 代入, 原式＝ ４ ９－ ４ ３＋４ ４ ９＋１ ＝２８１３． １４．解:(１)f(α)＝－cosαsinα (－tanα) tanα(－sinα) ＝－cosα． (２)f α＋π２( )＝－cosα＋ π ２( )＝sinα． 因为f(α)􀅰f α＋π２( ) ＝－ １ ８ ,所以cosα􀅰sinα＝１８ , 可得 f(α)＋f α＋π２( )[ ] ２ ＝(sinα－cosα)２＝３４ ,由５π ４ ≤α≤３π２ ,得cosα＞sinα, 所以f(α)＋f α＋π２( )＝sinα－cosα＝－ ３ ２． 高考冲浪 １．B　[因为 cosαcosα－sinα＝ ３ ,所以tanα＝１－ ３３ , tanα＋π４( )＝ tanα＋１ １－tanα＝２ ３－１． ] ２．B　因为sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝ １ ３ , cosαsinβ＝ １ ６ ,则sinαcosβ＝ １ ２． 故sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ＝１２＋ １ ６＝ ２ ３． 即cos(２α＋２β)＝１－２sin２(α＋β) ＝１－２× ２３( ) ２ ＝１９． ] 假期必刷１５　三角函数的图象与性质 技能提升台　技能提升 １．A　[y＝２sinx与y＝sinx对应五点的横坐标相同,则用 “五点法”作图时,对应五个点的横坐标分别为０,π２ ,π, ３π ２ ,２π．] ２．B　[因为y＝sinx＋π２( )＝cosx,所以在区间[－π,０]上 单调递增,在[０,π]上单调递减．] ３．B　[因为－１≤cosx≤１,所以－２≤１＋３cosx≤４,所以 函数的最小值为－２．] ４．C　[令２x＋π４＝kπ＋ π ２ (k∈Z),得x＝kπ２＋ π ８ (k∈Z)． 令k＝０,得x＝π８． ] ５．D　[对于A,y＝|sinx|的图象是由y＝sinx把x 轴下方 的图象翻折上去、x轴上方的图象保持不变得到的,易知 最小正周期为π,故 A 错误;对于 B,y＝sin２x 的最小正 周期为２π ２＝π ,故 B错误;对于 C,y＝cos４x 的最小正周 期为２π ４＝ π ２ ,故C错误;对于 D,y＝ cosx２ 的图象是由 y＝cosx２ 把x 轴下方的图象翻折上去、x 轴上方的图象 保持不变得到的,易知最小正周期为２π,故 D正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８６􀅰