假期必刷4 基本不等式-【快乐假期】2024-2025学年高一数学寒假作业必刷题

假期必刷４　基本不等式　　 １．基本不等式:ab≤a＋b２ (１)基本不等式成立的条件:a＞０,b＞０． (２)等号成立的条件:当且仅当　　　　时取 等号． (３)其中　　　　叫做正数a,b的算术平均 数,　　　　叫做正数a,b的几何平均数． ２．两个重要的不等式 (１)a２＋b２≥　　　　(a,b∈R),当且仅当a＝b 时取等号． (２)ab≤ a＋b２ æ è ç ö ø ÷ ２ (a,b∈R),当且仅当a＝b时 取等号． ３．利用基本不等式求最值 (１)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P, 那么当x＝y时,和x＋y有最小值　　　　． (２)已知x,y都是正数,如果和x＋y等于定值 S,那么当x＝y时,积xy有最大值　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．(２)a＝b　(３)a＋b２ 　 ab ２．(１)２ab ３．(１)２ P　(２)１４S ２ 应用基本不等式的常用技巧 　　在利用基本不等式求最值时,除注意“一 正、二定、三相等”的条件外,最重要的是构建 “定值”,恰当变形、合理拆分项或配凑项是常 用的解题技巧．除此之外还有以下特殊技巧: (１)常值代替 这种方法常用于“已知ax＋by＝m(a,b, x,y 均为正数),求１x＋ １ y 的最小值．”和 “已知a x＋ b y＝１ (a,b,x,y 均为正数),求 x＋y的最小值”两类题型． (２)构造不等式 当和与积同时出现在同一个等式中时,可 利用基本不等式构造一个不等式从而求出 和或积的取值范围． (３)利用基本不等式求最值的关键是获得定值 条件,解题时应对照已知和欲求的式子运 用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法 创设应用基本不等式的条件． １．已知实数a,b,则“ab≥０”是“a＋b≥２ ab” 的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ２．若０＜a＜１,０＜b＜１,且a≠b,则a＋b, ２ ab,２ab,a２＋b２ 中最大的一个是 (　　) A．a２＋b２　　　　　　B．２ ab C．２ab D．a＋b ３．若a＞１,则４a＋ １a－１ 的最小值为 (　　) A．４ B．６ C．８ D．无最小值 ４．已知０＜x＜１,则x(３－３x)取得最大值时x 的值为 (　　) A．１３ B． １ ２ C．３４ D． ２ ３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９􀅰 ５．制作一个面积为２m２,形状为直角三角形 的铁支架框,有下列四种长度的铁管供选 择,较经济(够用,又耗材最少)的是 (　　) A．６．２m B．６．８m C．７m D．７．２m ６．三国时期赵爽在«勾股方圆图 注»中对勾股定理的证明可用 现代数学表述为如图所示,我 们教材中利用该图证明(　　) A．如果a＞b,b＞c,那么a＞c B．如果a＞b＞０,那么a２＞b２ C．对任意正实数a和b,有a２＋b２≥２ab,当 且仅当a＝b时等号成立 D．如果a＞b,c＞０那么ac＞bc ７．(多选)已知正实数a,b满足３a＋２b＝１,则 下列结论正确的是 (　　) A．２a＋ ３ b 的最小值为２４ B．a(b＋１)的最大值为３８ C．４b ２＋８ a 的最小值为１２ D．a２＋b２ 的最小值为１１３ ８．(多选)位于山东省中部的泰山,为五岳之 一,素有“五岳之首”“天下第一山”之称．小明 和小刚相约登泰山,若小明上山的速率为v１, 下山(原路返回)的速率为v２(v１≠v２),小刚 上山和下山的速率都是 v１＋v２ ２ ,设上山路程 为L,若两人途中休息时间忽略不计,则 (　　) A．小明上山和下山所用时间之和为 ４Lv１＋v２ B．小明上山和下山所用时间之和为 L(v１＋v２) v１v２ C．小明上山和下山所用时间之和比小刚上 山和下山所用时间之和少 D．小刚上山和下山所用时间之和比小明上 山和下山所用时间之和少 ９．若ab＞０,则 b３a＋ ３a b ≥２ 取 等 号 的 条 件 是　　　　． １０．若０＜a＜b,a＋b＝１,则a,１２ ,２ab中最大 的数是　　　　． １１．已知x＞０,y＞０,且满足x３＋ y ４＝１ ,则xy 的最大值为　　　　,取得最大值时y的 值为　　　　． １２．设a,b,c都是正数,试证明不等式:b＋ca ＋ c＋a b ＋ a＋b c ≥６． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０１􀅰 １３．(１)已知x＞０,求y＝２－x－４x 的最大值; (２)已知０＜x＜１２ ,求y＝１２x (１－２x)的最 大值． １４．如图,某人计划用篱笆 围成一个一边靠墙(墙 的长度没有限制)的矩 形菜园．设菜园的长为 xm,宽为ym． (１)若菜园面积为７２m２,则x,y 为何值 时,所用篱笆总长度最小? (２)若使用的篱笆总长度为３０m,求１x＋ ２ y 的最小值． １．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷,８)设函数f(x)＝(x＋ a)ln(x＋b)．若f(x)≥０．则a２＋b２ 的最小 值为 (　　) A．１８　　　B． １ ４　　　C． １ ２　　　D．１ ２．(２０２１􀅰天津卷,１３)若a＞０,b＞０,则１a＋ a b２ ＋b的最小值为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１１􀅰 (２)∵１a＜ １ b ,∴１a－ １ b＜０ , 即b－a ab ＜０ , 而a＞b,∴b－a＜０,∴ab＞０． １４．解:甲同学做得不对．因为同向不等式具有可加性,但不 能相减,甲同学对同向不等式求差是错误的． 乙同学做得不对．因为不等式两边同乘以一个正数,不 等号的方向不变,但同乘以一个负数,不等号的方向改 变,在本题中只知道－６＜a＜８．不明确a值的正负,故 不能将１ ３＜ １ b＜ １ ２ 与－６＜a＜８两边分别相乘,只有两 边都是正数的同向不等式才能分别相乘． 丙同学做得不对．同向不等式两边可以相加,这种转化 不是等价变形,丙同学将２＜a－b＜４与－２＜a＋b＜２ 两边相加得０＜a＜３,又将－４＜b－a＜－２与－２＜a＋b ＜２两边相加得出－３＜b＜０,又将该式与０＜a＜３两边 相加得出－３＜a＋b＜３,多次使用了这种转化,导致了 a＋b范围的扩大． 高考冲浪 　解析:由|x－２|＜１,得－１＜x－２＜１,即１＜x＜３,故不 等式|x－２|＜１的解集是{x|１＜x＜３}． 答案:{x|１＜x＜３} 假期必刷４　基本不等式 技能提升台　技能提升 １．B　[因为a＋b≥２ ab等价于(a－ b)２≥０,所以a≥０, b≥０,所以“ab≥０”是“a＋b≥２ab”的必要不充分条件．] ２．D　[∵０＜a＜１,０＜b＜１,且a≠b,∴a２＋b２＞２ab,a＋b ＞２ab,a＞a２,b＞b２,∴a＋b＞a２＋b２．] ３．C　[若a＞１,则４a＋ １a－１＝４ (a－１)＋ １a－１＋４≥ ２ ４(a－１)􀅰 １a－１＋４＝８ , 当且仅当４(a－１)＝ １a－１ ,即a＝３２ 时,等号成立, 所以４a＋ １a－１ 的最小值为８．] ４．B　[由题可得x＞０,３－３x＞０,故x(３－３x)＝１３×３x (３ －３x)≤１３× ３x＋３－３x ２( ) ２ ＝１３× ９ ４＝ ３ ４ ,当且仅当３x ＝３－３x,即x＝１２ 时取等号．] ５．C　[设两直角边的长度分别为a,b,a＞０,b＞０, 则ab＝４,铁支架框的周长l＝a＋b＋ a２＋b２≥２ab＋ ２ab＝４＋２ ２≈６．８２８,当且仅当a＝b＝２时取等号．] ６．C　[可将直角三角形的两直角边长取作a,b,斜边为c(c２ ＝a２＋b２)．则外围的正方形的面积为c２,也就是a２＋b２, 四个直角三角形所在的阴影面积之和刚好为２ab．对任意 正实数a和b,有a２＋b２≥２ab,当且仅当a＝b时等号 成立．] ７．AD　[已知３a＋２b＝１,a＞０,b＞０,对于 A,２a＋ ３ b＝ (３a ＋２b) ２a＋ ３ b( )＝１２＋ ４b a ＋ ９a b ≥１２＋２ ４b a 􀅰９a b ＝２４ ,当 且仅当４b a ＝ ９a b ,即a＝１６ ,b＝１４ 时,等号成立,∴２a＋ ３ b 的最小值为２４,A 正确;对于 B,３a＋２(b＋１)＝３≥２􀅰 ３a􀅰２(b＋１),所以a(b＋１)≤３８ ,当且仅当３a＝２(b＋１), 即a＝１２ ,b＝－１４ 时,等号成立,与b＞０矛盾,B错误;对 于C,４b ２＋８ a ＝ (１－３a)２＋８ a ＝９a＋ ９ a－６≥２ ９a 􀅰９ a－６＝ １２,当且仅当９a＝９a ,即a＝１,b＝－１时,等号成立,与b ＞０矛 盾,C 错 误;对 于 D,a２＋b２＝a２＋ １－３a２( ) ２ ＝ １３a２－６a＋１ ４ ＝ １３a－３１３( ) ２ ＋４１３ ４ ≥ １ １３ ,当且仅当a＝３１３ , b＝２１３ 时,等号成立,D正确．] ８．BD　[对于 A,B,小明上山和下山所用时间之和为Lv１ ＋ L v２ ＝ L(v１＋v２) v１v２ ,故 A错误,B正确;对于 C,D,小刚上山 和下山所用时间之和为 ２L v１＋v２ ２ ＝ ４Lv１＋v２ ,因为v１≠v２,所 以 L(v１＋v２) v１v２ ＞ ２L v１v２ v１v２ ＝ ２L v１v２ , ４L v１＋v２ ＜ ４L ２ v１v２ ＝ ２L v１v２ ,所以L (v１＋v２) v１v２ ＞ ４Lv１＋v２ ,所以小刚上山和下山所 用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少,故 C错 误,D正确．] ９．解析:由b３a＋ ３a b ≥２ b ３a 􀅰３a b ＝２ ,知当b ３a＝ ３a b , 即b＝３a时取等号． 答案:b＝３a １０．解析:因为０＜a＜b,a＋b＝１,所以a＜１２ , 因为ab＜ a＋b２( ) ２ ＝１４ ,所以２ab＜１２ , 则a,１２ ,２ab中最大的数为１２． 答案:１ ２ １１．解析:因为x＞０,y＞０且１＝x３＋ y ４≥２ xy １２ , 所以xy≤３． 当且仅当x ３＝ y ４＝ １ ２ ,即x＝３２ ,y＝２时取等号． 答案:３　２ １２．证明:因为a＞０,b＞０,c＞０, 所以b a ＋ a b ≥２ ,c a ＋ a c ≥２ ,c b ＋ b c ≥２． 所以 b a ＋ a b( )＋ c a ＋ a c( )＋ c b ＋ b c( )≥６, 当且仅当b a ＝ a b ,c a ＝ a c ,c b ＝ b c , 即a＝b＝c时,等号成立． 所以b＋c a ＋ c＋a b ＋ a＋b c ≥６． １３．解:(１)∵x＞０,∴x＋４x≥４． ∴y＝２－ x＋４x( )≤２－４＝－２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８５􀅰 当且仅当x＝４x (x＞０), 即x＝２时取等号,ymax＝－２． (２)∵０＜x＜１２ ,∴１－２x＞０． ∴y＝１２x (１－２x)＝１４×２x (１－２x)≤ １ ４× ２x＋１－２x ２( ) ２ ＝１４× １ ４＝ １ １６． 当且仅当２x＝１－２x,即x＝１４ 时取等号, 故y＝１２x (１－２x)的最大值为１１６． １４．解:由已知可得xy＝７２,而篱笆总长为(x＋２y)m． 因为x＋２y≥２ ２xy＝２４,当且仅当x＝２y, 即x＝１２,y＝６时等号成立, 所以菜园的长为１２m,宽为６m 时,所用篱笆总长度 最小． (２)由已知得x＋２y＝３０, 则 １ x＋ ２ y( )(x＋２y)＝５＋ ２y x ＋ ２x y ≥ ５＋２ ２yx 􀅰２x y ＝９ , 当且仅当x＝y,即x＝１０,y＝１０时等号成立, 所以１ x＋ ２ y≥ ３ １０ , 所以１ x＋ ２ y 的最小值为３ １０． 高考冲浪 １．C　[当x＜－a时,x＋a＜０,当x＞－a时,x＋a＞０, 当x＜１－b时,ln(x＋b)＜０, 当x＞１－b时,ln(x＋b)＞０,所以要f(x)恒非负, 必须－a＝１－b,即b－a＝１, 所以a２＋b２＝ (a－b)２＋(a＋b)２ ２ ≥ １ ２ , 当a＝－１２ ,b＝１２ 时取等号．] ２．解析:∵a＞０,b＞０, ∴１a＋ a b２ ＋b≥２ １a 􀅰a b２ ＋b＝２b＋b≥２ ２ b 􀅰b ＝２ ２, 当且仅当１ a＝ a b２ 且２ b＝b ,即a＝b＝ ２时等号成立, 所以１ a＋ a b２ ＋b的最小值为２ ２． 答案:２ ２ 假期必刷５　二次函数 与一元二次方程、不等式 技能提升台　技能提升 １．C　２．A　３．C　４．B　 ５．C　[依题意,每天有(３００－１０x)套礼服被租出,该礼服租 赁公司每天租赁礼服的收入为(３００－１０x)􀅰(２００＋１０x) ＝－１００x２＋１０００x＋６００００(元)． 因为要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过６．２４ 万元, 所以－１００x２＋１０００x＋６００００＞６２４００, 即x２－１０x＋２４＜０,解得４＜x＜６． 因为１≤x≤２０且x∈Z,所以x＝５, 即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为２５０元．] ６．C　[不等式x２－(a＋１)x＋a＜０,可化为(x－a)(x－１) ＜０． 当a＝１时,不等式x２－(a＋１)x＋a＜０的解集为空集, 不符合题意; 当a＞１时,不等式x２－(a＋１)x＋a＜０的解集为{x|１＜ x＜a}, 要使不等式x２－(a＋１)x＋a＜０恰有四个整数解,则５＜ a≤６; 当a＜１时,不等式x２－(a＋１)x＋a＜０的解集为{x|a＜ x＜１}, 要使不等式x２－(a＋１)x＋a＜０恰有四个整数解,则－４ ≤a＜－３． 综上可得,实数a的取值范围是{a|－４≤a＜－３或５＜a ≤６}．] ７．ACD　８．ACD ９．③⑤　１０．－１２ ,３ ２( )　１１．－２　－３ １２．解:原不等式可化为 x－２≠０, (x－１)(x－３)≥０{ 或x－２＝０,解得x ≥３或x≤１或x＝２． 所以原不等式的解集为{x|x≥３或x≤１或x＝２}． １３．解:原不等式可化为(x－a)(x－a２)＞０． 当a＜０时,a＜a２,解集为{x|x＜a或x＞a２}; 当a＝０时,a２＝a,解集为{x|x≠０}; 当０＜a＜１时,a２＜a,解集为{x|x＜a２ 或x＞a}; 当a＝１时,a２＝a,解集为{x|x≠１}; 当a＞１时,a＜a２,解集为{x|x＜a或x＞a２}． 综上所述,当a＜０,或a＞１时, 解集为{x|x＜a或x＞a２}; 当０＜a＜１时,解集为{x|x＜a２ 或x＞a}; 当a＝０时,解集为{x|x≠０}; 当a＝１时,解集为{x|x≠１}． １４．解:若不等式mx２－２x－m＋１＜０恒成立, 即函数f(x)＝mx２－２x－m＋１的 图 象 全 部 在x 轴 下方． 当m＝０时,１－２x＜０,则x＞１２ ,不满足题意; 当m≠０时,函数f(x)＝mx２－２x－m＋１为二次函数, 需满 足 开 口 向 下 且 方 程 mx２－２x－m＋１＝０ 无 解, 即 m＜０, Δ＝４－４m(１－m)＜０,{ 不等式组的解集为空集,即m 不存在． 综上可知不存在这样的m． 高考冲浪 １．C　[由题意可知 A 的最小值为３,B中等号的成立条件 不成立,D无最小值．] ２．解析:将不等式分解因式得(x－３)(x＋１)＜０,解得－１＜ x＜３． 答案:(－１,３) 假期必刷６　函数的概念及其表示 技能提升台　技能提升 １．C　２．C ３．C　[根据函数的定义选C．] ４．B　[设g(x)＝ax２＋bx＋c(a≠０),因为g(１)＝１, g(－１)＝５,且图象过原点, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９５􀅰