假期必刷3 等式性质与不等式性质-【快乐假期】2024-2025学年高一数学寒假作业必刷题

假期必刷３　等式性质与不等式性质　　　　　　 １．两个实数比较大小的方法 (１)作差法 a－b＞０⇔a　　　　b, a－b＝０⇔a　　　　b, a－b＜０⇔a　　　　b． ì î í ï ï ïï (２)作商法 a b＞１ (a∈R,b＞０)⇔a　　　　b(a∈R,b＞０), a b＝１⇔a　　　　b (a,b≠０), a b＜１ (a∈R,b＞０)⇔a　　　　b(a∈R,b＞０)． ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ２．不等式的性质 (１)对称性:a＞b⇔b＜a; (２)传递性:a＞b,b＞c⇒a＞c; (３)可加性:a＞b⇔a＋c　　　　b＋c; (４)同向可加性:a＞b,c＞d⇒a＋c　　　b＋d; (５)可乘性:a＞b,c＞０⇒ac　　　　bc; a＞b,c＜０⇒ac＜bc; (６)同向可乘性:a＞b＞０,c＞d＞０⇒ac　　 　　bd; (７)可乘方性:a＞b＞０⇒an 　　　　bn(n∈ N,n≥１)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．(１)＞　＝　＜　(２)＞　＝　＜ ２．(３)＞　(４)＞　(５)＞　＜　(６)＞　(７) ＞ １．证明不等式的常用方法有:作差法、作商法、 综合法、分析法、反证法、放缩法． ２．有关分式的性质 (１)若a＞b＞０,m＞０,则ba＜ b＋m a＋m ; b a＞ b－m a－m (b－m＞０)． (２)若ab＞０,则a＞b⇔１a＜ １ b． １．将一根长５m的绳子截成两段,已知其中一 段的长度为xm,若两段绳子长度之差不小 于１m,则x所满足的不等式关系为(　　) A． ２x－５≥１ ０＜x＜５{ 　　　　　B． ５－２x≥１ ０＜x＜５{ C．２x－５≥１或５－２x≥１ D． |２x－５|≥１ ０＜x＜５{ ２．不等式a２＋b２≥２|ab|成立时,实数a,b一 定是 (　　) A．正数 B．非负数 C．实数 D．不存在 ３．已知a＜b＜０,则下列式子恒成立的是 (　　) A．１a＜ １ b B． １ a＞ １ b C．a２＜b２ D．ab＜１ ４．已知－１＜a＜０,则－a,－a３,a２ 的大小关 系是 (　　) A．a２＞－a３＞－a B．－a＞a２＞－a３ C．－a３＞－a＞a２ D．a２＞－a＞－a３ ５．已知b＜a＜－３b,则 ab 的取值范围为 (　　) A． ab ０＜ a b ＜３{ } B． ab ０≤ a b ＜３{ } C． ab a b ＞３{ } D． ab １＜ a b ＜３{ } ６．体育课是体育教学的基本组织形式,主要使 学生掌握体育与保健基础知识、基本技术、 技能,实现学生的思想品德教育,提高其运 动技术水平．新学期开学之际,某校计划用 不超过１５００元的资金购买单价分别为１２０ 元的篮球和１４０元的足球．已知该校至少要 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７􀅰 购买８个篮球,且至少购买２个足球,则不 同的选购方式有 (　　) A．６种 B．７种 C．８种 D．５种 ７．(多选)下面列出的几种不等关系中,正确 的是 (　　) A．x与２的和是非负数,可表示为“x＋２＞０” B．小明的体重为x,小华的体重为y,则小 明比小华轻可表示为“x＞y” C．△ABC的两边之和大于第三边,记三边 分别为a,b,c,则可表示为“a＋b＞c且 a＋c＞b且b＋c＞a” D．若某天的最低温度为７ ℃,最高温度为 １３℃,则这天的温度t可表示为“７℃≤t ≤１３℃” ８．(多选)下列不等式中不成立的是 (　　) A．若a＞b＞０,则ac２＞bc２ B．若a＞b＞０,则a２＞b２ C．若a＜b＜０,则a２＜ab＜b２ D．若a＜b＜０,则１a＞ １ b ９．已知a为实数,则(a＋３)(a－５)　　　　　 (a＋２)(a－４)．(填“＞”“＜”或“＝”) １０．不等式a＞b和１a＞ １ b 同时成立的条件是 　　　　． １１．若－１＜α＜β＜１,则α－β 的取值范围 是　　　　． １２．已知０＜a＜b且a＋b＝１,试比较: (１)a２＋b２ 与b的大小; (２)２ab与１２ 的大小． １３．(１)a＜b＜０,求证:ba＜ a b ; (２)已知a＞b,１a＜ １ b ,求证:ab＞０． １４．下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目, 请你看看他们做得对吗? 如果不对,请指 出错误的原因． 甲:因为－６＜a＜８,－４＜b＜２, 所以－２＜a－b＜６． 乙:因为２＜b＜３,所以１３＜ １ b＜ １ ２ , 又因为－６＜a＜８,所以－２＜ab＜４． 丙:因为２＜a－b＜４, 所以－４＜b－a＜－２． 又因为－２＜a＋b＜２, 所以０＜a＜３,－３＜b＜０, 所以－３＜a＋b＜３． 　(２０２３􀅰上海卷,１)不等式|x－２|＜１的解 集为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８􀅰 １２．解:(１)存在量词命题．x＝２时,x－２＝０成立．所以命题 是真命题． (２)全称量词命题．邻边不相等的矩形的对角线不垂直,所 以,全称量词命题“矩形的对角线垂直平分”是假命题． (３)全称量词命题．三角形中,两边之和大于第三边,所以, 全称量词命题“三角形的两边之和大于第三边”是真命题． (４)存在量词命题．３是素数也是奇数,所以,存在量词命 题“有些素数是奇数”是真命题． １３．解:由x２－x－２＞０,解得x＞２,或x＜－１, 令A＝{x|x＞２或x＜－１}, 由４x＋p＜０,得B＝ x|x＜－p４{ }, 当B⊆A 时,即－p４≤－１ ,即p≥４, 此时x＜－p４≤－１⇒x ２－x－２＞０, ∴当p≥４时,４x＋p＜０是x２－x－２＞０的充分条件． １４．解:由命题p 为假命题,可知􀱑p:∀x∈R,ax２＋２x－１ ≠０为真命题, 当a＝０时,∀x∈R,２x－１≠０,显然不成立; 当a≠０时,只需Δ＝４＋４a＜０⇒a＜－１． 所以A＝{a|a＜－１}． 选①:“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件, 则B⫋A, 当B＝⌀时,３m≥m＋２⇒m≥１,满足要求; 当B≠⌀时,３m＜m＋２ , m＋２≤－１,{ 解得m≤－３． 所以实数m 的取值范围是{m|m≤－３或m≥１}． 选②:“x∈B”是“x∈∁RA”的充分条件,则B⊆∁RA,而 ∁RA＝{a|a≥－１}, 当B＝⌀时,３m≥m＋２⇒m≥１,满足要求; 当B≠⌀时,３m＜m＋２ , ３m≥－１,{ 解得－ １ ３≤m＜１． 所以实数m 的取值范围是 m|m≥－１３{ }． 选③:B∩(∁RA)＝⌀, 当B＝⌀时,３m≥m＋２⇒m≥１,满足要求; 当B≠⌀时,３m＜m＋２ , m＋２≤－１,{ 解得m≤－３． 所以实数m 的取值范围是{m|m≤－３或m≥１}． 高考冲浪 １．B　[由x＝０不成立知p 假,x＝１时成立知q真,所以 选B．] ２．C　[根据立方的性质和指数函数的性质,a３＝b３⇒a＝b ⇒３a＝３b,３a＝３b⇒a＝b⇒a３＝b３,所 以 二 者 互 为 充 要 条件．] ３．B　[甲等价于sin２α＝１－sin２β＝cos２β,等价于sinα＝±cosβ, 所以由甲不能推导出sinα＋cosβ＝０,所以甲不是乙的充 分条件;由sinα＋cosβ＝０,得sinα＝－cosβ,平方可得 sin２α＝cos２β＝１－sin２β,即sin２α＋sin２β＝１,所以由乙可 以推导出甲,则甲是乙的必要条件．综上所述,B选项符合 题意．] 假期必刷３　等式性质与不等式性质 技能提升台　技能提升 １．D　[由题意可知,另一段绳子的长度为(５－x)m,因为两 段 绳 子 的 长 度 之 差 不 小 于 １ m, 所 以 |x－(５－x)|≥１, ０＜x＜５,{ 即 |２x－５|≥１, ０＜x＜５．{ ] ２．C　[原不等式可变形为a２＋b２－２|ab|＝|a|２＋|b|２－２|ab| ＝(|a|－|b|)２≥０,对任意实数都成立．] ３．B　[因为a＜b＜０,不妨令a＝－３,b＝－２,则－１３ ＞ －１２ ,可排除A;(－３)２＞(－２)２,可排除C;ab ＝ －３ －２＞１ , 可排除 D;而－１３＞－ １ ２ ,即１ a＞ １ b ,B正确．] ４．B　[∵－１＜a＜０,∴１＋a＞０,０＜－a＜１, ∴－a－a２＝－a(１＋a)＞０,a２－(－a３) ＝a２(１＋a)＞０,∴－a＞a２＞－a３．] ５．B　[因为b＜a＜－３b,所以b＜０,则有１b＜０ , 所以－３b􀅰１b＜a 􀅰１ b＜b 􀅰１ b ,即－３＜ab ＜１ , 所以０≤ ab ＜３． ] ６．D　[设购买的篮球个数为x,足球个数为y,且y∈N∗, 根据题意可得 x≥８, y≥２, １２０x＋１４０y≤１５００,{ 解得符合题意的有序实数对(x,y)可以是(８,２),(８,３), (９,２),(９,３),(１０,２),共５种不同的选购方式．] ７．CD　[对于 A,x 与２的和是非负数,应表示为“x＋２≥ ０”,故 A错误;对于B,小明比小华轻,应表示为“x＜y”, 故B错误;C、D正确．] ８．AC　[对于 A,若a＞b＞０,当c＝０时,ac２＝bc２,故 A 满 足题意;对于B,若a＞b＞０,则a２－b２＝(a＋b)(a－b)＞ ０,即a２＞b２,故B不满足题意;对于 C,若a＜b＜０,则a２ ＞ab,ab＞b２,即a２＞ab＞b２,故 C满足题意;对于 D,若a ＜b＜０,则 １a － １ b ＝ b－a ab ＞０ ,即 １ a ＞ １ b ,故 D 不 满 足 题意．] ９．解析:因为(a＋３)(a－５)－(a＋２)(a－４) ＝(a２－２a－１５)－(a２－２a－８)＝－７＜０, 所以(a＋３)(a－５)＜(a＋２)(a－４)． 答案:＜ １０．解析:若a,b同号,则a＞b⇒１a＜ １ b． 答案:a＞０＞b １１．解析:由－１＜α＜１,－１＜β＜１,得－１＜－β＜１, 所以－２＜α－β＜２,又α＜β,故－２＜α－β＜０, 即α－β的取值范围是(－２,０)． 答案:(－２,０) １２．解:(１)因为０＜a＜b且a＋b＝１, 所以０＜a＜１２＜b , 则a２＋b２－b＝a２＋b(b－１)＝a２－ab ＝a(a－b)＜０, 所以a２＋b２＜b． (２)因为２ab－１２＝２a (１－a)－１２ ＝－２a２＋２a－１２＝－２a ２－a＋１４( ) ＝－２a－１２( ) ２ ＜０, 所以２ab＜１２． １３．证明:(１)由于ba － a b ＝ b２－a２ ab ＝ (b＋a)(b－a) ab , ∵a＜b＜０,∴b＋a＜０,b－a＞０,ab＞０, ∴ (b＋a)(b－a) ab ＜０ ,故b a ＜ a b ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７５􀅰 (２)∵１a＜ １ b ,∴１a－ １ b＜０ , 即b－a ab ＜０ , 而a＞b,∴b－a＜０,∴ab＞０． １４．解:甲同学做得不对．因为同向不等式具有可加性,但不 能相减,甲同学对同向不等式求差是错误的． 乙同学做得不对．因为不等式两边同乘以一个正数,不 等号的方向不变,但同乘以一个负数,不等号的方向改 变,在本题中只知道－６＜a＜８．不明确a值的正负,故 不能将１ ３＜ １ b＜ １ ２ 与－６＜a＜８两边分别相乘,只有两 边都是正数的同向不等式才能分别相乘． 丙同学做得不对．同向不等式两边可以相加,这种转化 不是等价变形,丙同学将２＜a－b＜４与－２＜a＋b＜２ 两边相加得０＜a＜３,又将－４＜b－a＜－２与－２＜a＋b ＜２两边相加得出－３＜b＜０,又将该式与０＜a＜３两边 相加得出－３＜a＋b＜３,多次使用了这种转化,导致了 a＋b范围的扩大． 高考冲浪 　解析:由|x－２|＜１,得－１＜x－２＜１,即１＜x＜３,故不 等式|x－２|＜１的解集是{x|１＜x＜３}． 答案:{x|１＜x＜３} 假期必刷４　基本不等式 技能提升台　技能提升 １．B　[因为a＋b≥２ ab等价于(a－ b)２≥０,所以a≥０, b≥０,所以“ab≥０”是“a＋b≥２ab”的必要不充分条件．] ２．D　[∵０＜a＜１,０＜b＜１,且a≠b,∴a２＋b２＞２ab,a＋b ＞２ab,a＞a２,b＞b２,∴a＋b＞a２＋b２．] ３．C　[若a＞１,则４a＋ １a－１＝４ (a－１)＋ １a－１＋４≥ ２ ４(a－１)􀅰 １a－１＋４＝８ , 当且仅当４(a－１)＝ １a－１ ,即a＝３２ 时,等号成立, 所以４a＋ １a－１ 的最小值为８．] ４．B　[由题可得x＞０,３－３x＞０,故x(３－３x)＝１３×３x (３ －３x)≤１３× ３x＋３－３x ２( ) ２ ＝１３× ９ ４＝ ３ ４ ,当且仅当３x ＝３－３x,即x＝１２ 时取等号．] ５．C　[设两直角边的长度分别为a,b,a＞０,b＞０, 则ab＝４,铁支架框的周长l＝a＋b＋ a２＋b２≥２ab＋ ２ab＝４＋２ ２≈６．８２８,当且仅当a＝b＝２时取等号．] ６．C　[可将直角三角形的两直角边长取作a,b,斜边为c(c２ ＝a２＋b２)．则外围的正方形的面积为c２,也就是a２＋b２, 四个直角三角形所在的阴影面积之和刚好为２ab．对任意 正实数a和b,有a２＋b２≥２ab,当且仅当a＝b时等号 成立．] ７．AD　[已知３a＋２b＝１,a＞０,b＞０,对于 A,２a＋ ３ b＝ (３a ＋２b) ２a＋ ３ b( )＝１２＋ ４b a ＋ ９a b ≥１２＋２ ４b a 􀅰９a b ＝２４ ,当 且仅当４b a ＝ ９a b ,即a＝１６ ,b＝１４ 时,等号成立,∴２a＋ ３ b 的最小值为２４,A 正确;对于 B,３a＋２(b＋１)＝３≥２􀅰 ３a􀅰２(b＋１),所以a(b＋１)≤３８ ,当且仅当３a＝２(b＋１), 即a＝１２ ,b＝－１４ 时,等号成立,与b＞０矛盾,B错误;对 于C,４b ２＋８ a ＝ (１－３a)２＋８ a ＝９a＋ ９ a－６≥２ ９a 􀅰９ a－６＝ １２,当且仅当９a＝９a ,即a＝１,b＝－１时,等号成立,与b ＞０矛 盾,C 错 误;对 于 D,a２＋b２＝a２＋ １－３a２( ) ２ ＝ １３a２－６a＋１ ４ ＝ １３a－３１３( ) ２ ＋４１３ ４ ≥ １ １３ ,当且仅当a＝３１３ , b＝２１３ 时,等号成立,D正确．] ８．BD　[对于 A,B,小明上山和下山所用时间之和为Lv１ ＋ L v２ ＝ L(v１＋v２) v１v２ ,故 A错误,B正确;对于 C,D,小刚上山 和下山所用时间之和为 ２L v１＋v２ ２ ＝ ４Lv１＋v２ ,因为v１≠v２,所 以 L(v１＋v２) v１v２ ＞ ２L v１v２ v１v２ ＝ ２L v１v２ , ４L v１＋v２ ＜ ４L ２ v１v２ ＝ ２L v１v２ ,所以L (v１＋v２) v１v２ ＞ ４Lv１＋v２ ,所以小刚上山和下山所 用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少,故 C错 误,D正确．] ９．解析:由b３a＋ ３a b ≥２ b ３a 􀅰３a b ＝２ ,知当b ３a＝ ３a b , 即b＝３a时取等号． 答案:b＝３a １０．解析:因为０＜a＜b,a＋b＝１,所以a＜１２ , 因为ab＜ a＋b２( ) ２ ＝１４ ,所以２ab＜１２ , 则a,１２ ,２ab中最大的数为１２． 答案:１ ２ １１．解析:因为x＞０,y＞０且１＝x３＋ y ４≥２ xy １２ , 所以xy≤３． 当且仅当x ３＝ y ４＝ １ ２ ,即x＝３２ ,y＝２时取等号． 答案:３　２ １２．证明:因为a＞０,b＞０,c＞０, 所以b a ＋ a b ≥２ ,c a ＋ a c ≥２ ,c b ＋ b c ≥２． 所以 b a ＋ a b( )＋ c a ＋ a c( )＋ c b ＋ b c( )≥６, 当且仅当b a ＝ a b ,c a ＝ a c ,c b ＝ b c , 即a＝b＝c时,等号成立． 所以b＋c a ＋ c＋a b ＋ a＋b c ≥６． １３．解:(１)∵x＞０,∴x＋４x≥４． ∴y＝２－ x＋４x( )≤２－４＝－２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８５􀅰