第四章《图形的相似》复习与巩固 2024--2025学年北师大版九年级数学上册

第四章《图形的相似》 复习与巩固综合练习 考试时间:120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1．若，则下列式子错误的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，两条直线AC和DF被三条平行线所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，若AB：BC＝2：3，DE＝3，则EF的长为（　　） A．4.5 B．5 C．6 D．8 3．下列两个图形一定相似的是（　　） A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个正方形 D．两个平行四边形 4．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在平行四边形ABCD中，F为BC的中点，延长AD至点E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG等于（　　） A．4：9 B．2：3 C．9：4 D．3：2 6．图1是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图2是其示意图，其中物距BF＝2m，像距CE＝1m．若像的高度CD是0.9m，则物体的高度AB为（　　） A．1.2m B．1.5m C．1.8m D．2.4m 7．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝5：3，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，已知，若四边形ABCD的周长是2，则四边形A′B′C′D′的周长是（　　） A．4 B．6 C．16 D．18 9．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．连接AC，若AH平分∠CAD，且正方形EFGH的面积为3，则正方形ABCD的面积为（　　） A． B． C． D．15 10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP；BD与CF相交于点H．给出下列结论：①；②∠PDE＝15°；③；④；⑤DE2＝PF•FC．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．若2x﹣5y＝0，则 　 　． 12．已知线段a＝2，b＝3，d＝6，且线段a、c、b、d成比例，则c＝ 　 　． 13．如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为 　 　． 14．如图，四边形ABCD为矩形，AB，BC，点E为AB边上一点，将△BCE沿CE翻折，点B的对应点为点F，过点F作FG∥CE交DC于点G，若DG：GC＝1：4，则FG的长为 　 　． 15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝5，CA＝10，点D，E分别在AC，AB边上，AEAD，连接DE，将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，连接CE，CF．若△CEF的面积是△BEC面积的2倍，则AD＝ 　 　． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．已知a：b：c＝2：3：4，且a+2b﹣3c＝20，试求a﹣2b+3c的值． 17．如图在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，E、F分别是AB、CD上的点，且AE＝DF＝8，两动点M、N都以2cm/s的速度分别从C、F两点沿CB、FE向B、E两点运动，判断当M、N运动多长时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似，并证明你的结论． 18．在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5）．当△POQ与△AOB相似时，求出t的值． 19．在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（﹣2，﹣1）、B（﹣1，﹣3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1． 20．如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3． （1）如果AB＝2，BC＝5，DE＝1.5，求EF的长； （2）如果DE：EF＝2：3，AC＝15，求AB的长． 21．如图，在地面上的点C处放置一块平面镜（镜子大小忽略不计），小华站在BC的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点A时，测得小华到平面镜的距离CD＝2米，小华的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；将平面镜从点C沿BC的延长线移动10米到点F处，小华移动到点H处时，小华又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小华到平面镜的距离FH＝3米．请根据以上测量过程及数据求出树的高度AB． 22．如图，△ABC∽△ACD． （1）若CD平分∠ACB，∠ACD＝40°，求∠ADC的度数； （2）若AD＝2，BD＝3，求AC的长． 23．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2＝CE•CB． （1）求证：AE⊥CD； （2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF＝∠EAB． 24．已知：如图，在菱形ABCD中，点E是边DC上的任意一点（不与点D、C重合），AE交对角线BD于F，过点E作EG∥BC交BD于点G． （1）问题探究：求证：DF2＝FG•BF； （2）迁移运用：当AE⊥DC时，求证：BD•DF＝2AD•DE． 25．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边CD所在直线上，连接AE，以AE为边，作正方形AEFG（点A，E，F，G按顺时针排列）． （1）如图1，当点E在线段CD上时，若CE＝3，连接BG． ①求点G到AB的距离； ②请直接写出BG的长； （2）当正方形AEFG中的某一顶点落在直线BD上时（不与点D重合），求正方形AEFG的面积． 参考答案 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1-5．DACAA． 6-10．CABAD． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．． 12．4． 13．． 14．． 15．． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：∵a：b：c＝2：3：4， ∴设a＝2k，b＝3k，c＝4k（k≠0）， ∵a+2b﹣3c＝20， ∴2k+2×3k﹣3×4k＝20， 解得k＝﹣5， ∴a＝﹣10，b＝﹣15，c＝﹣20， ∴a﹣2b+3c＝﹣10﹣2×（﹣15）+3×（﹣20）＝﹣10+30﹣60＝﹣40． 17．解：设运动ts时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似， 由题意或， 解得t＝4或1． 当t＝4时，NF＝8， ∵， ∵CFNM与AEFD都是矩形， ∴矩形CFNM与矩形AEFD相似． 同理可证当t＝1时矩形CFNM与矩形AEFD相似． 18．解：由题意得PO＝2t，OQ＝5﹣t， ①若，即， ∴t＝2.5． ②若，即， ∴t＝1． ∴当t＝1或t＝2.5s时，△POQ与△AOB相似． 19．解：（1）如图所示，点P为所作； （2）如图所示，△OA2B2为所作． 20．解：（1）∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵AB＝2，BC＝5，DE＝1.5， ∴， ∴； （2）∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵DE：EF＝2：3，AC＝15， ∴， ∴AB＝6． 21．解：设AB＝x米，BC＝y米． ∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD， ∴△ABC∽△EDC， ∴， ∴， ∵∠ABF＝∠GHF＝90°，∠AFB＝∠GFH， ∴△ABF∽△GHF， ∴， ∴， ∴， 解得：y＝20， 把y＝20代入中，得x＝15， ∴树的高度AB为15米． 22．解：（1）∵△ABC∽△ACD， ∴∠B＝∠ACD＝40°， 又∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ACD＝40°， ∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝80°； （2）∵△ABC∽△ACD， ∴， ∴， ∴， ∴AC（负值舍去）． 23．证明：（1）∵AC2＝CE•CB， ∴． 又∵∠ACB＝∠ECA＝90° ∴△ACB∽△ECA， ∴∠ABC＝∠EAC． ∵点D是AB的中点， ∴CD＝AD， ∴∠ACD＝∠CAD ∵∠CAD+∠ABC＝90°， ∴∠ACD+∠EAC＝90° ∴∠AFC＝90°， ∴AE⊥CD （2）∵AE⊥CD， ∴∠EFC＝90°， ∴∠ACE＝∠EFC 又∵∠AEC＝∠CEF， ∴△ECF∽△EAC ∴ ∵点E是BC的中点， ∴CE＝BE， ∴ ∵∠BEF＝∠AEB， ∴△BEF∽△AEB ∴∠EBF＝∠EAB． 24．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴ED∥AB，AD∥BC， ∴△EFD∽△AFB， ∴． ∵EG∥BC，AD∥BC， ∴EG∥AD， ∴△EFG∽△AFD， ∴， ∴， ∴DF2＝FG•BF； （2）连接AC交BD于点H，则AC⊥BD，DH＝BH，如图所示， ∴BD＝2DH， ∵AE⊥DC， ∴∠DEF＝∠DHC＝90°， ∵∠FDE＝∠CDH， ∴△FDE∽△CDH， ∴， ∴DH•DF＝DC•DE， ∴2DH•DF＝2DC•DE， ∵BD＝2DH，且AD＝DC， ∴BD•DF＝2AD•DE． 25．解：（1）①如图1，过点G作GH⊥直线AB于H， 则∠H＝90°， ∵四边形ABCD是边长为4的正方形，CE＝3， ∴AD＝AB＝CD＝4，DE＝4﹣3＝1，∠D＝∠BAD＝90°， ∴AE， ∵四边形AEFG是正方形， ∴AG＝AE，∠EAG＝90°， ∴∠EAD+∠DAG＝90°， ∵∠DAH＝180°﹣∠BAD＝90°， ∴∠GAH+∠DAG＝90°， ∴∠EAD＝∠GAH， 在△AED和△AGH中， ， ∴△AED≌△AGH（AAS）， ∴AH＝AD＝4，GH＝DE＝1， ∴点G到AB的距离1； ②在Rt△BGH中，BH＝AB+AH＝4+4＝8，GH＝1，∠H＝90°， ∴BG； （2）当点F在直线BD上时，过点F作FM⊥CD，交CD的延长线于M， 则∠M＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BDC＝45°，∠ADE＝90°， ∴∠FDM＝∠BDC＝45°，∠AED+∠EAD＝90°， ∴△DFM是等腰直角三角形， ∴DM＝FM， ∵四边形AEFG是正方形， ∴EF＝AE，∠AEF＝90°， ∴∠AED+∠FEM＝90°， ∴∠EAD＝∠FEM， 在△AED和△EFM中， ， ∴△AED≌△EFM（AAS）， ∴DE＝FM，AD＝EM， ∴DE＝DM＝FM， ∵DE+DM＝EM， ∴2DE＝AD＝4， ∴DE＝2， 在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2＝42+22＝20， ∴正方形AEFG的面积为20； 当点G在直线BD上时，过点G作GM⊥AD，交AD的延长线于M，如图3， 同理可得：△AED≌△GAM（AAS）， ∴GM＝AD＝4，AM＝DE， ∵∠ADB＝∠MDG＝45°，∠M＝90°， ∴△DGM是等腰直角三角形， ∴DM＝GM， ∴DM＝AD＝4， ∴AM＝8， 在Rt△AGM中，AG2＝AM2+GM2＝82+42＝80， ∴正方形AEFG的面积为80； 综上所述，正方形AEFG的面积为20或80。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$