第四章 整式的加减 新知梳理+典型例题+配套+练习题-2024-2025学年人教版（2024）数学七年级上册

专题07 整式的加减 1.同类项 所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项. 几个常数项也是同类项. 2.合并同类项 (1)定义:把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项. (2)合并同类项的法则:合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,字母连同它的指数不变. (3)合并同类项的一般步骤: ①找出同类项并做标记; ②运用交换律、结合律将多项式的同类项结合; ③利用分配律,合并同类项; ④按某一个字母的降幂(或升幂)排列. 3.去括号 (1)法则:如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同; 如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. (2)口诀:去括号,看符号,是“+”号,不变号;是“-”号,全变号. (3)去多层括号的方法: 先观察式子的特点,再考虑去括号的顺序.一般由内向外,即先去小括号,再去中括号,最后去大括号.有时也可以由外向内,即先去大括号,再去中括号,最后去小括号. 4.整式的加减 (1)运算法则:几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项. (2)整式的加减实质上就是合并同类项. (3)整式加减结果的注意点 ①不含同类项; ②含字母项的系数如果是带分数,要化成假分数; ③一般不含括号; ④结果如果是多项式,一般按照某一字母的升幂或降幂排列. (4)整式的化简求值: ①化:通过去括号、合并同类项将整式化简. ②代:把已知的字母或某个整式的取值代入化简后的式子. ③算:依据有理数的混合运算法则进行计算. 考点01 同类项的概念及应用 判断是否为同类项: (1)一是同类项所含字母相同,二是相同字母的指数也相同,两者缺一不可; (2)同类项与系数的大小无关; (3)同类项与它们所含的字母顺序无关; (4)所有常数项都是同类项. 【典例1】 (2023秋•泊头市期末)下列选项中的两项是同类项的是 A.与 B.与 C.与 D.与 【答案】. 【分析】所含字母相同,并且相同字母的指数也相同,这样的项叫做同类项. 【解答】解:、所含字母不相同,不是同类项; 、所含字母不相同,不是同类项; 、相同字母的指数不相同,不是同类项; 、符合同类项的定义,是同类项; 故选:. 【典例2】 (2023秋•遵义期末)如果单项式与是同类项,那么 A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】. 【分析】根据同类项的定义列出方程,再求解即可. 【解答】解:由同类项定义可知,, . 故选:. 【典例3】 (2024秋•松江区校级月考)已知单项式与是同类项,那么 . 【答案】. 【分析】根据同类项的定义列出方程,再求解即可. 【解答】解:由同类项定义可知,, 解得,, . 故答案为:. 【典例4】 (2023秋•瑞金市期末)若与是同类项,则的值为 . 【答案】16. 【分析】根据同类项的定义列出方程,再求解即可. 【解答】解:由同类项定义可知,, 解得,, . 故答案为:16. 考点02 去括号 1.如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同.如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.“相同”或“相反”是指括号内每一项的符号.变号时,各项都要变号;不变号时,各项都不变号. 2.去括号时,要将括号连同它前面的符号一起去掉. 3.在去括号时,首先明确括号前是“+”还是“–”. 【典例5】 (2023秋•淄博期末)下列各式中,去括号正确的是 A. B. C. D. 【答案】 【分析】直接根据去括号法则:如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反进行判断即可. 【解答】解:.,故本选项不合题意; .,故本选项不合题意; .,故本选项不合题意; .,故本选项符合题意; 故选:. 【典例6】 (2023秋•怀集县期末)下列去括号正确的是 A. B. C. D. 【答案】 【分析】根据去括号法则判断即可得出答案. 【解答】解:选项,,故该选项符合题意; 选项,,故该选项不符合题意; 选项,,故该选项不符合题意; 选项,,故该选项不符合题意; 故选:. 【典例7】 (2023秋•城关区校级期末)去括号正确的是 A. B. C. D. 【分析】根据负正得负,负负得正,正正得正即可进行各选项的判断,从而得出答案. 【解答】解:、,故本选项错误; 、,故本选项正确; 、,故本选项错误; 、,故本选项错误. 故选:. 【典例8】 (2023秋•郫都区期末)变形后的结果是 A. B. C. D. 【答案】 【分析】本题考查了去括号法则. 【解答】解: 故选:. 考点03 整式的加减(合并同类项) 1.合并同类项的步骤: (1)找出同类项并做标记; (2)运用交换律、结合律将多项式的同类项结合; (3)利用分配律,合并同类项; (4)按某一个字母的降幂(或升幂)排列. 2.整式加减的最后结果要求最简: (1)不能含有同类项,即合并同类项要合并到不能再合并为止; (2)一般按照某一字母的降幂或升幂排列; (3)不能出现带分数,带分数要化成假分数; (4)不含有括号. 【典例9】 (2023秋•双流区期末)下列计算正确的是 A. B. C. D. 【答案】 【分析】根据合并同类项运算法则逐个进行计算即可. 【解答】解:、,故正确,符合题意; 、,故不正确,不符合题意; 、,故不正确,不符合题意; 、和不是同类项,不能合并,故不正确,不符合题意; 故选:. 【典例10】 (2023秋•毕节市校级期末)下列合并同类项的结果中,正确的是 A. B. C. D. 【答案】 【分析】根据合并同类项法则:合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数之和,且字母连同它的指数不变即可求解. 【解答】解:.,选项不符合题意; .,选项符合题意; .,选项不符合题意; .,选项不符合题意; 故选:. 【典例11】 (2023秋•长春期末)计算: (1); (2). 【答案】(1); (2). 【分析】(1)先去括号,然后合并同类项即可得到答案; (2)先去括号,然后合并同类项即可得到答案. 【解答】解:(1) ; (2) . 【典例12】 (2024秋•肇源县月考)化简: (1); (2). 【答案】(1);(2). 【分析】(1)直接合并同类项即可; (2)先去括号,然后合并同类项即可. 【解答】解:(1)原式 ; (2)原式 . 考点04 整式的化简求值 整式化简求值的常规解法: (1)化:通过去括号、合并同类项将整式化简. (2)代:把已知的字母或某个整式的取值代入化简后的式子. (3)算:依据有理数的混合运算法则进行计算. 【典例13】 (2024秋•静乐县月考)先化简,再求值. (1),其中,; (2),其中,. 【答案】(1),; (2),. 【分析】(1)去括号合并得到最简结果,将与的值代入计算即可求出值; (2)原式去括号合并得到最简结果,将与的值代入计算即可求出值. 【解答】解:(1) ; 当,时, 原式; (2) ; 当,时, 原式 . 【典例14】 (2024•南岸区校级开学)先化简,再求值,其中,. 【答案】,. 【分析】利用整式的运算法则先对整式进行化简,再把字母的值代入到化简后的结果中计算即可求解. 【解答】解:原式 , 当,时, . 【典例15】 (2023秋•遵义期末)已知两个整式和,,. (1)请化简; (2)若,,则的值为多少? 【答案】(1); (2)17. 【分析】(1)先去括号,再合并同类项,即可得到答案; (2)把,代入化简后的代数式进行计算即可. 【解答】解:(1),, ; (2),, . 【典例16】 (2023秋•随县期末)先化简,再求值. (1),其中,满足,; (2),其中,. 【答案】(1),11; (2),. 【分析】(1)先根据整式的加减运算法则化简,然后将、代入计算即可; (2)先根据整式的加减运算法则化简,然后将、代入计算即可. 【解答】解:(1) ; 当,时, 原式 . (2) ; 当,时, 原式. 考点05 整式的值与某字母无关 1.化简整式,若化简以后不含某个字母,则整式的值肯定与该字母无关.若已知整式的值与某个字母无关,而化简以后的整式又含有该字母,那么该字母的系数必为0. 2.类似的问题还有某个多项式化简以后不含什么项,例如不含一次项、二次项,那么化简以后,一次项、二次项的系数为0. 【典例17】 (2023秋•江海区期末)已知:,. (1)计算:; (2)若的值与字母的取值无关,求的值. 【分析】(1)先将和代入,然后去括号,合并同类项进行化简; (2)根据结果与的取值无关,则含的项的系数和为0,从而列出方程求解. 【解答】解:(1)原式 , (2)的值与字母的取值无关, , 解得:, 即的值为. 【典例18】 (2024秋•肇源县月考)已知:,. (1)化简:; (2)若的值与的取值无关,求的值. 【答案】(1); (2). 【分析】(1)根据整式的加减计算法则求解即可; (2)先求出,根据的值与的取值无关,求出的式子中含的项的系数为0,据此求解即可. 【解答】解:(1) ; (2) . 根据题意可得:, . 【典例19】 (2023秋•淄博期末)已知代数式,. (1)求; (2)当取何值时,的值与的取值无关. 【答案】(1); (2). 【分析】(1)将、代入,然后去括号、合并同类项求解; (2)与的取值无关说明的系数为0,据此求出的值. 【解答】解:(1) ; (2), 的值与的取值无关, 解得:. 【典例20】 (2023秋•贵阳期末)已知代数式,. (1)求; (2)当,时,求的值; (3)若的值与的取值无关,求的值. 【答案】(1); (2)27; (3). 【分析】(1)将,的代数式代入中计算即可; (2)将数值代入(1)中化简结果计算即可; (3)将(1)中化简结果变形后根据题意列式计算即可. 【解答】解:(1),, ; (2)当,时, ; (3) 当时,与的取值无关, 即. 考点06 错解问题 “错中求解”类问题的解题方法: 对于此类问题的求解通常是“将错就错”,按照错误的做法列式。由于多项式B是已知的,所以要想正确求出A-B,就需要思考A怎么求,这可由“A=(A+B)-B”得出. 【典例21】 (2023秋•霸州市期末)嘉嘉把错算成,结果比原来 A.多4 B.少4 C.多6 D.少6 【答案】 【分析】先去括号,把正确的计算出来,然后与错误的相比较,即可得到答案. 【解答】解:, , 比少4, 故选:. 【典例22】 (2023秋•旺苍县期末)当,时,求的值.一名同学做题时,错把看成,但结果也正确,且计算过程无误,求的值. 【分析】原式去括号合并后,由错把看成,但结果也正确,且计算过程无误,得到系数为0,求出的值即可. 【解答】解:原式, 由错把看成,但结果也正确,且计算过程无误,得到. 【典例23】 (2023秋•榆树市校级期末)有这样一道题:“计算的值,其中,.”甲同学把“”错抄成了“”;但他计算的结果也是正确的,试说明理由,并求出这个结果. 【答案】理由见解答过程,3. 【分析】根据去括号法则、合并同类项法则把原式化简,根据化简结果说明理由,把的值代入计算求出结果. 【解答】解: , 则计算结果与的值无关, 所以甲同学把错抄成了,但他计算的结果也是正确的, 当时,原式. 【典例24】 (2023秋•三河市期末)在整式的加减练习课中,已知,嘉淇错将“”看成“”,所算的错误结果是.请你解决下列问题. (1)求出整式; (2)若,.求的值; (3)求该题的正确计算结果. 【答案】(1);(2)6;(3). 【分析】(1)将错就错,确定出即可; (2)列出正确的算式,去括号合并即可得到结果; (3)将整式代入“”计算. 【解答】解:(1); (2); (3). 考点07 整式加减的实际应用 1.根据实际问题中的基本数量关系,用整式表示出所求的数量. 2.对整式进行化简或进一步求值. 【典例25】 (2023秋•泗洪县期末)图1是长为,宽为的小长方形纸片将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内,已知的长度固定不变,的长度可以变化,图中阴影部分(即两个长方形)的面积分别表示为,,若,且为定值,则,满足的关系是 A. B. C. D. 【答案】 【分析】设,先算求出阴影的面积分别为,,即可得出面积的差为,因为的取值与无关,即,即可得出答案. 【解答】解:设, 则,, , 当的长度变化时,的值不变, 的取值与无关, , 即. 故选:. 【典例26】 (2024秋•高平市月考)小明,小刚,小颖三人玩游戏,每人一张写有已化为最简代数式的卡片,游戏规则为选择两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式,则游戏成功.小明,小刚,小颖的卡片如下,其中小颖的卡片有一部分看不见了. (1)小颖建议选取小明卡片上的代数式减去小刚卡片上的代数式,请你判断此操作能否使游戏成功; (2)小颖发现用她卡片上的代数式减去小明卡片上的代数式可以使游戏成功,你能否帮小颖求出她的代数式. 【答案】(1)游戏不成功;(2). 【分析】(1)计算即可判断; (2)计算即可求解. 【解答】解:(1); 的常数项为8,而小颖卡片上代数式中的常数项为, 小明卡片上的代数式减去小刚卡片上的代数式不等于小颖卡片上的代数式. 游戏不成功. (2)小颖卡片上的代数式为:. 小颖卡片上的代数式为. 【典例27】 (2023秋•宣化区期末)如图所示是一个长方形. (1)根据图中尺寸大小,用含的代数式表示阴影部分的面积; (2)若,求的值. 【分析】(1)由于阴影部分不规则,所以可考虑用长方形的面积两个三角形的面积; (2)代入计算即可. 【解答】解:(1) ; (2)当时, . 【典例28】 (2024春•海阳市期末)【问题呈现】 (1)已知代数式的值与的值无关,求的值; 【类比应用】 (2)将7张长为,宽为的小长方形纸片(如图①,按如图②的方式不重叠地放在长方形内,未被覆盖的两部分的面积分别记为,,当的长度变化时,的值始终不变,求与的数量关系. 【答案】(1)3; (2). 【分析】(1)根据题意,代数式,可化为,因为代数式的值与无关,可得,即可得出答案; (2)设,算出阴影的面积分别为,,即可得出面积的差为,因为的取值与无关,从而得结论. 【解答】解:(1)原式, 由题意得,含项的系数为0,即, 所以; (2)设, 则,, 所以, 由题意得,含项的系数为0,即. 第3页(共21页) 学科网(北京)股份有限公司 $$ 专题07 整式的加减 一、选择题（共10小题） 1．（2023秋•遵义期末）下面计算正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•松江区校级月考）下列各组单项式中，不是同类项的是　　 A．与 B．与 C．与 D．与 3．（2024秋•浦东新区校级月考）下面是小芳做的一道运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面： ，阴影部分即为墨迹，那么被墨水遮住的一项应是　　 A． B． C． D． 4．（2024秋•肇源县月考）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 5．（2024秋•松江区校级月考）如果、都是关于的单项式，且是一个七次单项式，是一个五次式，那么的次数　　 A．一定是7 B．一定是5 C．一定是2 D．无法确定 6．（2024秋•思明区校级月考）若，，则与的大小关系为　　 A． B． C． D． 7．（2024秋•虹口区校级月考）如果，那么　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•九龙坡区校级期末）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 9．（2024•渝中区校级开学）下列式子运算后正确的是　　 A． B． C． D． 10．（2024春•宿迁月考）下列各式中，正确的是　　 A． B． C． D． 二、填空题（共10小题） 11．（2024•两江新区校级开学）已知两个多项式，，有以下几个结论： ①若，则； ②若的值与的值无关，则； ③若，则； ④若关于的方程的解为整数，则符合条件的非负整数有3个． 上述结论中，正确的有 　　（填序号）． 12．（2023秋•民权县期末）已知为常数，且多项式与多项式相加可以合并为二次二项式，则　　． 13．（2024秋•杨浦区校级月考）若与是同类项，那么　　． 14．（2024•大渡口区校级开学）如果与是同类项，则　　． 15．（2024•两江新区校级开学）若单项式与的和仍然是单项式，则等于 　　． 16．（2023秋•吴川市校级期末）化简：　　 17．（2023秋•九龙坡区校级期末）已知单项式与的和为单项式，则　　． 18．（2024•岳阳县校级开学）已知与是同类项，那么　　． 19．（2023秋•成都期末）单项式与是同类项，则　　． 20．（2024春•临高县期末）若与是同类项，则的值为 　　． 三、解答题（共10小题） 21．（2024秋•迎泽区校级月考）化简求值． （1），其中，； （2），其中，． 22．（2024秋•绿园区校级月考）先合并同类项，再求多项式的值：，其中，． 23．（2024秋•松江区校级月考）计算：． 24．（2024秋•杨浦区校级月考）已知关于、的整式中不含三次项，求、的值，并将整式按的升幂排列． 25．（2024秋•杨浦区校级月考）先化简，再求值： 已知，，其中．求的值． 26．（2024•两江新区校级开学）化简求值：，其中． （1）求，的值； （2）化简并求出代数式的值． 27．（2023秋•瑞金市期末）已知，． （1）化简． （2）当，，则　　． 28．（2024秋•杨浦区校级月考）已知：，，的值与字母取值无关，求的值． 29．（2024秋•花都区校级月考）已知：，且． （1）求等于多少？ （2）若，求的值． 30．（2023秋•扶风县期末）小伟同学在数学课上做了一道题：已知两个多项式、，求的值，由于他的马虎错将看成，求得结果为，已知，请你帮他求出正确的答案． 一、选择题（共10小题） 1．【答案】 【解答】解：、，原式计算错误，不符合题意； 、和不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； 、，原式计算正确，符合题意； 、，原式计算错误，不符合题意； 故选：． 2．【答案】． 【解答】解：、符合同类项的定义，是同类项； 、符合同类项的定义，是同类项； 、相同字母的指数不相同，不是同类项； 、符合同类项的定义，是同类项； 故选：． 3．【答案】 【解答】解： ， 被墨水遮住的一项应是， 故选：． 4．【答案】． 【解答】解：、，故错误； 、，故错误； 、，故正确； 、，故错误． 故选：． 5．【答案】 【解答】解：是一个七次单项式，是一个五次多项式， 单项式、一个是5次单项式，一个是2次单项式， 的次数是5次． 故选：． 6．【答案】 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 7．【答案】 【解答】解：， ． 故选：． 8．【答案】 【解答】解：．，故选选项正确，符合题意； ．，故选选项错误，不符合题意； ．，故选选项错误，不符合题意； ．，故选选项错误，不符合题意； 故选：． 9．【答案】． 【解答】解：、，故错误； 、，故错误； 、，故错误； 、，故正确． 故选：． 10．【答案】 【解答】解：、，故正确； 、，故错误； 、，故错误； 、，故错误． 故选：． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】①②③． 【解答】解：，， ①， ， ， ，①正确； ②， 的值与的值无关， 的值与的值无关， ，， ，， ，②正确； ③，， 当时，， 当时，， 当时，， 若，即， 当时，满足条件，③正确； ④， ， ， 若关于的方程的解为整数，则符合条件的非负整数有0、2、3、5，共4个，④错误， 故结论中正确的是①②③， 故答案为：①②③． 12．【答案】1． 【解答】解： ， 多项式与多项式相加可以合并为二次二项式， ， ， 故答案为：1． 13．【答案】3． 【解答】解：由同类项定义可知，， 解得，， ． 故答案为：3． 14．【答案】3． 【解答】解：由同类项定义可知，， 解得，， ． 故答案为：3． 15．【答案】5． 【解答】解：由同类项定义可知，， 解得，， ． 故答案为：5． 16．【答案】． 【解答】解： ， 故答案为：． 17．【答案】7． 【解答】解：由同类项定义可知，， 解得，， ． 故答案为：7． 18．【答案】1． 【解答】解：根据题意得，，， ，， ， 故答案为：1． 19．【答案】2． 【解答】解：单项式与是同类项， 且， 解得且， ． 故答案为：2． 20．【答案】6． 【解答】解：与是同类项， ， ． ． 故答案为：6． 三、解答题（共10小题） 21．【答案】（1），24； （2），17． 【解答】解：（1） ， 当，时， 原式 ； （2） ． 当，时， 原式 ． 22．【答案】，4． 【解答】解： ， 当，时， 原式． 23． 【解答】解： ． 24．【答案】，，． 【解答】解： ， 关于、的整式中不含三次项， ，， ，， ， 按的升幂排列为． 25．【答案】；． 【解答】解： ， ， 当时， 原式． 26．【答案】（1），． （2）；． 【解答】解：（1）， ，， ，． （2）原式 ． 当，时，原式． 27．【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1） ； （2）当，时， ． 故答案为：． 28．【答案】11． 【解答】解：，， ， 的值与字母取值无关， ， ， ． 29．【答案】（1）；（2）． 【解答】（1）解：因为，， 所以有： ； （2）， ，， 解得：，． 当，时， ． 30．【答案】． 【解答】解：，， ， ． 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $$