专题06整式 新知梳理+典型例题+配套+练习题2024-2025学年人教版数学七年级上册

专题06 整式 1．单项式及相关概念 （1）单项式的概念：由数字或字母的积组成的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式． （2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． （3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 2．多项式及相关概念 （1）多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． （2）多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，一个多项式有几项，就叫它几项式．不含字母的项叫做常数项． （3）多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 3．整式的概念： 整式单项式与多项式统称整式． 4．整式、单项式、多项式之间的关系 5．单项式与多项式的区别： 类别 单项式 多项式 运算 不含加减运算符号 必含加减运算符号 次数 所有字母的指数和 多项式里次数最高项的次数 考点01 整式的概念 整式是有理式的一部分，判断一个有理式是否为整式时要注意： （1）单项式和多项式都是整式． （2）整式中不含等号或不等号，如2x+1=7，3x<6都不是整式． （3）分母中含有字母的式子一定不是整式，如，都不是整式． 【典例1】　（2024秋•浦东新区校级月考）在下列代数式：，，，，，0中，是整式的有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】． 【分析】根据整式的定义求解． 【解答】解：式子，，，0，符合整式的定义，是整式； 式子，，分母中含有字母，不是整式． 故整式有4个． 故选：． 【典例2】　（2024秋•杨浦区校级月考）在代数式，，，0，，，，中，整式的个数是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】． 【分析】根据整式的定义求解． 【解答】解：式子，，0，，，，，符合整式的定义，是整式； 式子，分母中含有字母，不是整式． 故整式有7个． 故选：． 【典例3】　（2023秋•吴川市校级期末）下列各式中，不是整式的是　　 A． B． C．0 D． 【答案】 【分析】单项式和多项式统称为整式． 【解答】解：、是单项式，属于整式，故本选项不符合题意； 、的分母中含有字母，属于分式，故本选项符合题意； 、0是单项式，属于整式，故本选项不符合题意； 、是多项式，属于整式，故本选项不符合题意； 故选：． 【典例4】　（2023秋•丛台区期末）式子，，，，，，中整式有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】 【分析】根据单项式与多项式统称为整式，可得答案． 【解答】解：，，，，是整式， 故选：． 考点02 单项式的概念及应用 1．单项式中不含加减运算，只含乘法和数字作分母的除法运算，分母中有字母的不是单项式． 2．单项式是一种特殊的式子，它包含三种类型，即数与字母的积、字母与字母的积、单独的一个数或字母． 3．当单项式的系数是1或－1时，“1”可以省略不写，如单项式xy，－m的系数分别是1，－1． 4．对于一个非零的数，规定它的次数为0． 5．字母的指数是1时，指数省略不写，如y的指数是1而不是0． 【典例5】　（2023秋•泊头市期末）单项式的次数为　　 A．4 B．5 C．6 D． 【答案】． 【分析】根据单项式次数的定义来求解．单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【解答】解：根据单项式定义得：的次数为：． 故选：． 【典例6】　（2023秋•榆阳区期末）单项式的系数和次数分别是　　 A．，4 B．，5 C．2，4 D．2，5 【答案】 【分析】单项式就是数与字母的乘积，数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，据此即可求解． 【解答】解：单项式的系数是，次数是：， 故选：． 【典例7】　（2024秋•浦东新区校级月考）下列代数式中中，单项式共有　　 A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】． 【分析】数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式． 【解答】解：式子，，，，符合单项式的定义，是单项式； 式子，分母中含有字母，不是单项式； 式子，，是多项式． 故单项式有4个． 故选：． 【典例8】　（2023秋•万州区期末）如果单项式与的和是单项式，那么　　． 【答案】． 【分析】根据同类项的概念列出方程，解方程求出、，根据有理数的乘方法则计算，得到答案． 【解答】解：由题意得：，， 解得：，， 则． 故答案为：． 考点03 多项式的概念及应用 1．多项式的每一项都包括它前面的符号．确定多项式的项时，注意不要漏掉前面的符号．要将多项式看成各项“代数和”的形式，即看成“带有正号或负号的项的和”． 2．多项式的项数是指多项式中所包含的单项式的个数．判断项数时，注意不要漏掉常数项． 3．多项式的次数不是所有的项的次数和，而是次数最高项的次数． 【典例9】　（2023秋•襄都区期末）若是关于，的六次三项式，则下列说法错误的是　　 A．可以是任意数 B．六次项是 C． D．常数项是 【答案】 【分析】根据多项式的项、次数的定义判断即可． 【解答】解：若是关于，的六次三项式， 则六次项是，常数项是， ，， 解得，， 选项错误， 故选：． 【典例10】　（2023秋•赣州期末）多项式的项数和次数分别为　　 A．2，7 B．3，8 C．2，8 D．3，7 【分析】多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，根据这个定义即可判定． 【解答】解：是八次三项式，故项数是3，次数是8． 故选：． 【典例11】　（2024秋•杨浦区校级月考）把多项式按字母升幂排列后，第三项是 　　． 【答案】． 【分析】把中各项字母的指数从小到大顺序的排列即可得解． 【解答】解：多项式按字母升幂排列后为， 故第三项是， 故答案为：． 【典例12】　（2023秋•合阳县期末）已知关于、的多项式是五次四项式，为有理数），且单项式的次数与该多项式的次数相同．求，的值． 【答案】，． 【分析】根据多项式的次数、项的定义得出，，即可求出的值，再根据单项式的次数的定义得出，即可求出的值． 【解答】解：关于、的多项式是五次四项式， ，， ，， 单项式的次数与该多项式的次数相同， 单项式的次数为五次， ， ， ． 考点04 规律探索 多项式的规律探究： （1）规律探究问题也称为归纳猜想问题，这类问题一般是给出一组具有某种规律的数或式，通过认真观察、分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论． （2）多项式的规律探究题一般忽略不变部分，从变化部分的系数、正负、相同字母的指数与序数之间的关系入手进行分析． 【典例13】　（2023秋•普宁市校级期中）有一列式子，按一定规律排列成，，，，，，第个式子为　　为正整数）． 【分析】根据观察，可发现规律：系数是的次方，次数是，可得答案． 【解答】解：由，，，，，得出规律 系数是的次方，次数是， 第个式子为， 故答案为：． 【典例14】　（2023秋•红山区校级期中）观察单项式：，，，根据规律，第个式子是 　　． 【分析】要看各单项式的系数和次数与该项的序号之间的变化规律．本题中系数都为取大于等于1的整数），的指数等于的值，由此可得出第个式子的形式． 【解答】解：由分析得：第个式子是． 故答案为：． 【典例15】　（2022秋•潮阳区期末）观察下面的单项式：，，，，根据你发现的规律，写出第7个式子是 　　． 【答案】． 【分析】根据题意可得出变化规律：为奇数项符号为负，为偶数项符号为正，数字变化规律是，字母变化规律是，根据变化规律即可写出式子． 【解答】解：第1个单项式为， 第2个单项式为， 第3个单项式为， 第4个单项式为， ， 可以得到规律第个单项式为， 第7个单项式为， 故答案为：． 【典例16】　（2023•吉林二模）观察下列单项式：，，，，，，按此规律，第6个单项式是 　　． 【答案】． 【分析】根据已知算式得出单项式系数依次为，3，，7，，字母的指数为1，2，3，4，5，再求出答案即可． 【解答】解：已知单项式系数依次为，3，，7，，字母的指数为1，2，3，4，5， 第六个单项式为， 即第六个单项式为． 故答案为：． 第4页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 整式 一、选择题（共10小题） 1．（2024秋•虹口区校级月考）单项式的系数和次数分别是　　 A．2和4 B．和4 C．和2 D．和6 2．（2024•益阳开学）下列说法正确的是　　 A．多项式的常数项是5 B．单项式的系数是2 C．是单项式 D．多项式的次数是3 3．（2023秋•婺城区校级月考）整式，0，，，，中单项式有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（2023秋•沙坪坝区校级期末）是一个一次二项式，则　　 A．2 B． C． D．0 5．（2023秋•沙坪坝区校级期末）多项式是　　 A．二次三项式 B．三次三项式 C．二次二项式 D．三次二项式 6．（2024春•新城区校级月考）要使中不含有的五次项，则的值等于　　 A．0 B．1 C．2 D．3 7．（2024春•金沙县校级月考）若，则代表的整式是　　 A． B． C． D． 8．（2024春•南岗区校级期中）下列结论正确的是　　 A．是单项式 B．多项式是二次三项式 C．单项式的系数是 D．的次数是6 9．（2023秋•坡头区期末）下列说法正确的是　　 A．单项式的次数是1 B．多项式的常数项是5 C．单项式的系数是 D．是三次三项式 10．（2023秋•德清县期末）关于单项式的系数和次数，下列表述正确的是　　 A．系数是3，次数是4 B．系数是3，次数是5 C．系数是，次数是4 D．系数是，次数是5 二、填空题（共10小题） 11．（2024秋•松江区校级月考）单项式的系数是　　，次数是　　． 12．（2024秋•松江区校级月考）把整式按降幂排列：　　． 13．（2024秋•虹口区校级月考）整式是 　　次 　　项式． 14．（2023秋•仪陇县校级期中）若多项式是关于的五次二项式，则　　． 15．（2024•渝中区校级开学）下列代数式中，，，，18中，单项式共有 　　个． 16．（2024春•岱岳区校级月考）如果多项式是关于的四次三项式，那么这个多项式的最高次项系数是 　　，　　． 17．（2024春•肇源县期中）多项式最高次项的系数为 　　． 18．（2024春•南岗区校级期中）已知多项式，其中五次项系数的和与常数项的差是 　　． 19．（2024春•南岗区校级期中）多项式是关于的三次四项式，且二次项系数是，求　　． 20．（2023•郧西县二模）古希腊数学家把1，3，6，10，15，这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为，第二个图形表示的三角形数记为，，则第 　　个图形表示的三角形数是210． 三、解答题（共6小题） 21．（2023秋•汉阴县期末）已知关于，的多项式是六次四项式，常数项是2．求，的值． 22．（2024秋•德惠市期中）指出多项式的下面各项： （1）次数； （2）二次项系数； （3）常数项； （4）是几次几项式． 23．（2023秋•孟村县校级期中）（1）下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？，0，，，，，，． （2）写出的项． 24．（2023秋•海勃湾区校级期中）（1）已知多项式是五次四项式，且单项的次数与该多项式的次数相同，求，的值． （2）从以下单项式中选择几个单项式相加构成四次三项式，并满足各项系数（含常数项）的和为10． ，，，，，，3． 25．（2023秋•渌口区校级期中）已知关于的多项式不含三次项和一次项，求． 26．（2023秋•蒸湘区校级期中）在代数式，，，，，中， （1）单项式有：　　； （2）多项式有：　　； （3）将代数式按照字母的降幂排列为：　　． 一、选择题（共10小题） 1．【答案】． 【解答】解：根据单项式系数、次数的定义，单项式的系数与次数分别是，6． 故选：． 2．【答案】 【解答】解：、多项式的常数项是，原说法错误，不符合题意； 、单项式的系数是，原说法错误，不符合题意； 、是单项式，原说法正确，符合题意； 、单项式的次数是4，原说法错误，不符合题意； 故选：． 3．【答案】 【解答】解：整式0，，，，，中， 单项式有0，，， 故选：． 4．【答案】 【解答】解：是一个一次二项式， 则，， 解得， 故选：． 5．【答案】 【解答】解：多项式是三次三项式， 故选：． 6．【答案】 【解答】解：原式 中不含有的五次项， ， 解得，． 故选：． 7．【答案】 【解答】解：由题意可得：所代表的整式是：， 故选：． 8．【答案】 【解答】解：．，是多项式，此选项的结论错误，故此选项不符合题意； ．多项式是二次三项式，此选项的结论正确，故此选项符合题意； ．单项式的系数是，此选项的结论错误，故此选项不符合题意； ．，它的次数是，此选项的结论错误，故此选项不符合题意； 故选：． 9．【答案】 【解答】解：．单项式的次数是2，说法错误，不符合题意； ．多项式的常数项是，说法错误，不符合题意； ．单项式的系数是，说法错误，不符合题意； ．是三次三项式，说法正确，符合题意． 故选：． 10．【答案】 【解答】解：单项式的系数是，次数是5． 故选：． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】，5． 【解答】解：根据单项式系数、次数的定义，单项式的系数与次数分别是，5． 故答案为：，5． 12．【答案】． 【解答】解：按降幂排列：． 故答案为：． 13．【答案】六，五． 【解答】解：多项式中最高次项是，次数是6，有五个单项式组成． 故答案为：六，五． 14．【答案】4或3或5． 【解答】解：多项式是五次二项式， 或或， 或或． 故答案为：4或3或5． 15．【答案】3． 【解答】解：式子，，18，符合单项式的定义，是单项式； 式子，，是多项式． 故单项式有3个． 故答案为：3． 16．【答案】；． 【解答】解：由题意得：，， 解得：， 多项式这个多项式的最高次项系数是， 故答案为：；． 17．【答案】． 【解答】解：多项式的最高次项的系数是， 故答案为：． 18．【答案】4． 【解答】解：五次项系数是，，常数项是， 则五次项系数的和与常数项的差是：． 故答案为：4． 19．【答案】． 【解答】解：是关于的三次四项式，二次项系数是， ， ， ． 故答案为：． 20．【答案】20． 【解答】解：第1个图形表示的三角形数为1， 第2个图形表示的三角形数为， 第3个图形表示的三角形数为， 第4个图形表示的三角形数为， ， 第个图形表示的三角形数为， ， 解得：． 故答案为：20． 三、解答题（共6小题） 21．【答案】． 【解答】解：多项式是六次四项式，常数项是2， ，， 解得：． 22． 【解答】解：（1）多项式的次数是：4； （2）二次项系数是：； （3）常数项是：2； （4）是四次四项式． 23．【答案】（1）单项式：，0，，，；多项式：，，； （2），，． 【解答】解：“由数字或字母组成的式子叫做单项式，特别的，单独的一个数字或字母也是单项式．”；“几个单项式的和叫做多项式．” 根据单项式和多项式的定义： （2）多项式， 有三项，分别为、、． 24．【答案】，；或． 【解答】解：（1）多项式是五次四项式， ， ， 单项式的次数与该多项式的次数相同， ， ． （2）由题意可得，，是必选项， ，别的系数不符合题意， 结果为或． 25．【答案】16． 【解答】解： ， 由题意，得，， 所以，， 则． 26．【答案】（1），； （2），，； （3）． 【解答】解：（1）单项式有：，； （2）多项式有：，，； （3）将代数式按照字母的降幂排列为：． 故答案为：（1），； （2），，； （3）． 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $$