2024-2025学年人教版数学八年级上册第十一章==第十三章综合卷

2024-2025学年八年级（上）第十一章==第十三章综合卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。） 1．（3分）在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）在△ABC中，若∠A＝75°，∠B＝40°，则∠C的度数为（　　） A．65° B．70° C．75° D．80° 3．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．4，5，6 C．7，8，16 D．9，10，20 4．（3分）如图，△ABC≌△BDE，若AB＝12，ED＝5，则CD的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（3分）如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（　　） A．AF＝BF B．AE＝AC C．∠DBF+∠DFB＝90° D．∠BAF＝∠EBC 6．（3分）若一个多边形每一个内角都是135°，则这个多边形的边数是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 7．（3分）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　） A．10 B．5 C．4 D．7 8．（3分）如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（　　） A．∠M＝∠N B．AM∥CN C．AB＝CD D．AM＝CN 9．（3分）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，点E，BE、CD相交于点O．∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（　　） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 10．（3分）如图，在△ABC中，已知BC＝13，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE的周长等于（　　） A．11 B．13 C．14 D．15 11．（3分）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边AC，BD，CE的中点，且阴影部分图形面积等于4平方厘米，则△ABC的面积为（　　） A．8平方厘米 B．12平方厘米 C．16平方厘米 D．18平方厘米 12．（3分）如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF．则下列结论中正确的个数（　　） ①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠CAB＝2∠CPB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．（3分）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是 　 　． 14．（3分）在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是 　 　． 15．（3分）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若∠BAE＝50°，则∠DAC的度数为 　 　°． 16．（3分）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝　 　． 17．（3分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．若AD＝25cm，BE＝8cm，则DE的长为 　 　cm． 18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P、Q是边AC、BC上的两个动点，PD⊥AB于点D，QE⊥AB于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．若点P从C点出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，当t＝　 　时，△APD和△QBE全等． 三、解答题（本大题共6小题，共46分） 19．（6分）如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）． （1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1； （2）写出点A1，B1，C1的坐标； （3）求△ABC的面积． 20．（6分）在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°．求∠BCD和∠ECD的度数． 21．（8分）如图，点E，F在线段AC上，AE＝CF，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝CD．求证： （1）DE＝BF． （2）AB∥CD． 22．（8分）如图所示，已知△ABC中，D为BC上一点，E为△ABC外部一点，DE交AC于一点O，AC＝AE，AD＝AB，∠BAC＝∠DAE． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAD＝20°，求∠CDE的度数． 23．（8分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）说明BE＝CF的理由； （2）如果AB＝9，AC＝5，求AE、BE的长． 24．（10分）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． （1）【阅读理解】如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8．求AC边上的中线BD的取值范围．小聪同学是这样思考的；延长BD至E，使DE＝BD，连接CE．利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是：　 　；中线BD的取值范围是 　 　． （2）【理解与应用】如图2，在△ABC中，∠B＝90°，点D是AC的中点，点M在AB边上，点N在BC边上，若DM⊥DN．试猜想线段AM、CN、MN三者之间的数量关系，并证明你的结论． （3）【问题解决】如图3，在△ABC中，点D是AC的中点，AB＝MB，BC＝BN，其中∠ABM＝∠NBC＝90°，连接MN，探索BD与MN的关系，并说明理由． 2024-2025学年八年级（上）第十一章==第十三章综合卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。） 1．（3分）在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可． 【解答】解：四个汉字中只有“善”字可以看作轴对称图形， 故选：D． 【点评】考查了轴对称图形的知识，掌握轴对称图形的意义，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合． 2．（3分）在△ABC中，若∠A＝75°，∠B＝40°，则∠C的度数为（　　） A．65° B．70° C．75° D．80° 【分析】根据三角形的内角和定理可直接求解． 【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝75°，∠B＝40°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣75°﹣40°＝65°， 故选：A． 【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 3．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．4，5，6 C．7，8，16 D．9，10，20 【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断． 【解答】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得 A中，1+2＝3＝3，不能组成三角形； B中，4+5＝9＞6，能组成三角形； C中，7+8＝15＜16，不能够组成三角形； D中，9+10＝19＜20，不能组成三角形． 故选：B． 【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形． 4．（3分）如图，△ABC≌△BDE，若AB＝12，ED＝5，则CD的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】先根据全等三角形的对应边相等得出AB＝BD＝12，BC＝DE＝5，再由CD＝BD﹣BC，将数值代入计算即可求解． 【解答】解：∵△ABC≌△BDE，AB＝12，ED＝5， ∴AB＝BD＝12，BC＝DE＝5， ∴CD＝BD﹣BC＝12﹣5＝7． 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，解题时应注重识别全等三角形中的对应边． 5．（3分）如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（　　） A．AF＝BF B．AE＝AC C．∠DBF+∠DFB＝90° D．∠BAF＝∠EBC 【分析】由图中尺规作图痕迹可知，BE为∠ABC的平分线，DF为线段AB的垂直平分线，结合角平分线的定义和垂直平分线的性质逐项分析即可． 【解答】解：由图中尺规作图痕迹可知， BE为∠ABC的平分线，DF为线段AB的垂直平分线． 由垂直平分线的性质可得AF＝BF， 故A选项不符合题意； ∵DF为线段AB的垂直平分线， ∴∠BDF＝90°， ∴∠DBF+∠DFB＝90°， 故C选项不符合题意； ∵BE为∠ABC的平分线， ∴∠ABF＝∠EBC， ∵AF＝BF， ∴∠ABF＝∠BAF， ∴∠BAF＝∠EBC， 故D选项不符合题意； 根据已知条件不能得出AE＝AC， 故B选项符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质是解答本题的关键． 6．（3分）若一个多边形每一个内角都是135°，则这个多边形的边数是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】已知每一个内角都等于135°，就可以知道每个外角是45度，根据多边形的外角和是360度，可以求出多边形的边数． 【解答】解：多边形的边数是：360°÷（180°﹣135°）＝8， 即该多边形是八边形． 故选：B． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和、多边形的每一个外角的度数、多边形的边数三者之间的关系是解题的关键． 7．（3分）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　） A．10 B．5 C．4 D．7 【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质定理得到EF＝DE＝2，根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：作EF⊥BC于F， ∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB， ∴EF＝DE＝2， ∴△BCE的面积＝×BC×EF＝5． 故选：B． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 8．（3分）如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（　　） A．∠M＝∠N B．AM∥CN C．AB＝CD D．AM＝CN 【分析】根据三角形全等的判定定理，有AAS、SSS、ASA、SAS四种．逐条验证即可． 【解答】解：A、∠M＝∠N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN，故A选项不符合题意； B、AM∥CN，得出∠MAB＝∠NCD，符合AAS，能判定△ABM≌△CDN，故B选项不符合题意． C、AB＝CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN，故C选项不符合题意； D、根据条件AM＝CN，MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，不能判定△ABM≌△CDN，故D选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，本题是一道较为简单的题目． 9．（3分）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，点E，BE、CD相交于点O．∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（　　） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【分析】共有四对．分别为△ADO≌△AEO，△ADC≌△AEB，△ABO≌△ACO，△BOD≌△COE．做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找． 【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，AO平分∠BAC ∴∠ADO＝∠AEO＝90°，∠DAO＝∠EAO ∵AO＝AO ∴△ADO≌△AEO；（AAS） ∴OD＝OE，AD＝AE ∵∠DOB＝∠EOC，∠ODB＝∠OEC＝90° ∴△BOD≌△COE；（ASA） ∴BD＝CE，OB＝OC，∠B＝∠C ∵AE＝AD，∠DAC＝∠CAB，∠ADC＝∠AEB＝90° ∴△ADC≌△AEB；（ASA） ∵AD＝AE，BD＝CE ∴AB＝AC ∵OB＝OC，AO＝AO ∴△ABO≌△ACO．（SSS） 所以共有四对全等三角形． 故选：C． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 10．（3分）如图，在△ABC中，已知BC＝13，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE的周长等于（　　） A．11 B．13 C．14 D．15 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DA，EC＝EA，根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：∵AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E， ∴DB＝DA，EC＝EA， ∴△ADE的周长＝AD+AE+DE＝BD+DE+EC＝BC＝13， 故选：B． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 11．（3分）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边AC，BD，CE的中点，且阴影部分图形面积等于4平方厘米，则△ABC的面积为（　　） A．8平方厘米 B．12平方厘米 C．16平方厘米 D．18平方厘米 【分析】本题利用中线平分面积这一结论，由F为CE的中点，可以得到△AEC的面积为8，因为D是AC的中点，可以得到△ADE的面积，同理，得到△ABE和△BEC的面积，问题即可解决． 【解答】解：∵F为CE的中点， ∴EF＝CF， ∵阴影部分图形面积等于4平方厘米， ∴S△AEC＝2S△AEF＝8平方厘米， ∵D是AC的中点， ∴AD＝CD， ∴S△AED＝S△CED＝4平方厘米， ∵E为BD的中点， ∴S△AEB＝S△AED＝4平方厘米， 同理，S△BEC＝S△CED＝4平方厘米， ∴△ABC的面积为：S△ABE+S△BEC+S△AEC＝4+4+8＝16（平方厘米）， 故选：C． 【点评】本题是一道三角形的面积题目，考查了中线平分三角形的面积这一结论的应用，利用题目中的中点条件，将面积进行转化是解决本题的关键． 12．（3分）如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF．则下列结论中正确的个数（　　） ①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠CAB＝2∠CPB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】过P作PQ⊥AC于Q，根据角平分线的性质得出PQ＝PN，PQ＝PM，求出PQ＝PM＝PN，求出∠PMA＝∠PNC＝∠PQA＝∠PQC＝90°，根据全等三角形的判定得出Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC，再逐个判断即可． 【解答】解：过P作PQ⊥AC于Q， ∵∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF， ∴PM＝PQ，PQ＝PN， ∴PM＝PN， ∴P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC，故①正确； ∵PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC， ∴∠PMA＝∠PQA＝90°，∠PQC＝∠PNC＝90°， 在Rt△PMA和Rt△PQA中， ， ∴Rt△PMA≌Rt△PQA（HL）， ∴∠MPA＝∠QPA， 同理Rt△PQC≌Rt△PNC， ∴∠QPC＝∠NPC， ∵∠PMA＝∠PNC＝90°， ∴∠ABC+∠MPN＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∴∠ABC+2∠APC＝180°，故②正确； ∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC， ∴∠FCA＝∠ABC+∠CAB＝2∠PCN， 又∵∠PCN＝∠ABC+∠CPB， ∴∠ABC+∠CAB＝2（∠ABC+∠CPB）， ∴∠CAB＝2∠CPB，故③正确； ∵Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC， ∴S△PAC＝S△MAP+S△NCP，故④正确； 即正确的个数是4， 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质和判定，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．（3分）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是 　8　． 【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）可得方程180（x﹣2）＝1080，再解方程即可． 【解答】解：设多边形边数有x条，由题意得： 180（x﹣2）＝1080， 解得：x＝8， 故答案为：8． 【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）•180 （n≥3）． 14．（3分）在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是 　（1，2）　． 【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案． 【解答】解：点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（1，2）， 故答案为：（1，2）． 【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，利用关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题关键． 15．（3分）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若∠BAE＝50°，则∠DAC的度数为 　30　°． 【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC＝110°，可得∠CAE＝60°，由折叠的性质可得∠CAD＝∠EAD＝30°． 【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝110°， ∵∠BAE＝50°， ∴∠CAE＝60°， ∵△ADC沿直线AD折叠得到△ADE， ∴∠CAD＝∠EAD＝30°， 故答案为：30． 【点评】本题考查三角形内角和定理，折叠的性质，解题的关键是明确折叠前后对应的角相等． 16．（3分）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝　180°　． 【分析】根据三角形外角的性质可知∠B+∠C＝∠2，∠A+∠E＝∠1，再根据三角形内角和定理即可得出结论． 【解答】解：如图， ∵∠2是△OBC的外角， ∴∠B+∠C＝∠2， ∵∠1是△AEF的外角， ∴∠A+∠E＝∠1， ∵∠1+∠2+∠D＝180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°． 故答案为：180°． 【点评】本题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟知“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解答此题的关键． 17．（3分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．若AD＝25cm，BE＝8cm，则DE的长为 　17　cm． 【分析】根据全等三角形的判定得出△DCA≌△EBC，根据全等三角形的性质得出CD＝BE，AD＝CE，即可求出答案． 【解答】解：∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠ADC＝∠E＝90°， ∵∠BCA＝90°， ∴∠BCE+∠DCA＝90°，∠DAC+∠DCA＝90°， ∴∠BCE＝∠DAC， 在△DCA和△EBC中， ， ∴△DCA≌△EBC（AAS）， ∴CD＝BE，AD＝CE， ∵AD＝25cm，BE＝8cm， ∴CE＝25cm，CD＝8cm， ∴DE＝CE﹣CD＝25cm﹣8cm＝17cm， 故答案为：17． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，能根据全等三角形的判定定理得出△DCA≌△EBC是解此题的关键． 18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P、Q是边AC、BC上的两个动点，PD⊥AB于点D，QE⊥AB于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．若点P从C点出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，当t＝　2或4　时，△APD和△QBE全等． 【分析】分两种情况：①0≤t＜时，点P从C到A运动，则AP＝AC﹣CP＝8﹣3t，BQ＝t，求得t＝2，②t时，点P从A到C运动，则AP＝3t﹣8，BQ＝t，求得t＝4． 【解答】解：①0≤t＜时，点P从C到A运动，则AP＝AC﹣CP＝8﹣3t，BQ＝t， 当△ADP≌△QBE时， 则AP＝BQ， 即8﹣3t＝t，解得：t＝2， ②t时，点P从A到C运动，则AP＝3t﹣8，BQ＝t， 当△ADP≌△QBE时， 则AP＝BQ， 即3t﹣8＝t， 解得：t＝4， 综上所述：当t＝2s或4s时，△ADP≌△QBE． 故答案为：2或4． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是正确进行分类讨论，不要漏解． 三、解答题（本大题共6小题，共46分） 19．（6分）如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）． （1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1； （2）写出点A1，B1，C1的坐标； （3）求△ABC的面积． 【分析】（1）根据对称性即可在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1； （2）结合（1）即可写出点A1，B1，C1的坐标； （3）根据网格利用割补法即可求△ABC的面积． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）A1（1，5），B1（3，0），C1（4，3）； （3）△ABC的面积为：3×5﹣2×5﹣1×3﹣2×3＝． 【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称性质． 20．（6分）在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°．求∠BCD和∠ECD的度数． 【分析】由CD⊥AB与∠B＝60°，根据两锐角互余，即可求得∠BCD的度数，又由∠A＝20°，∠B＝60°，求得∠ACB的度数，由CE是∠ACB的平分线，可求得∠ACE的度数，然后根据三角形外角的性质，求得∠CEB的度数． 【解答】解：∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∵∠B＝60°， ∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°； ∵∠A＝20°，∠B＝60°，∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴∠ACB＝100°， ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACE＝∠ACB＝50°， ∴∠CEB＝∠A+∠ACE＝20°+50°＝70°， ∠ECD＝90°﹣70°＝20°． 或∠ECD＝∠ECB﹣∠BCD＝50°﹣30°＝20°． 【点评】此题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质以及三角形高线，角平分线的定义等知识．此题难度不大，解题的关键是数形结合思想的应用． 21．（8分）如图，点E，F在线段AC上，AE＝CF，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝CD．求证： （1）DE＝BF． （2）AB∥CD． 【分析】（1）由AE＝CF，推导出AF＝CE，由DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，得∠CED＝∠AFB＝90°，而CD＝AB，即可根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△CDE≌Rt△ABF，则DE＝BF； （2）由全等三角形的性质得∠C＝∠A，即可证明AB∥CD． 【解答】证明：（1）∵AE＝CF， ∴AE+EF＝CF+EF， ∴AF＝CE， ∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F， ∴∠CED＝∠AFB＝90°， 在RtCDE和RtABF中， ， ∴Rt△CDE≌Rt△ABF（HL）， ∴DE＝BF． （2）∵Rt△CDE≌Rt△ABF， ∴∠C＝∠A， ∴AB∥CD． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，证明Rt△CDE≌Rt△ABF是解题的关键． 22．（8分）如图所示，已知△ABC中，D为BC上一点，E为△ABC外部一点，DE交AC于一点O，AC＝AE，AD＝AB，∠BAC＝∠DAE． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAD＝20°，求∠CDE的度数． 【分析】（1）根据题目中的条件，根据SAS可以证明结论成立； （2）根据（1）中全等三角形的性质和三角形内角和的知识可以求得∠CDE的度数． 【解答】证明：（1）在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）； （2）∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，∠E＝∠C， ∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC，∠DAE＝∠DAC+∠CAE，∠BAD＝20°， ∴∠CAE＝∠BAD＝20°， ∵∠E＝∠C，∠AOE＝∠DOC， ∴∠CAE＝∠CDE， ∴∠CDE＝20°． 【点评】本题考查全等三角形的性质与判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用全等三角形的性质解答． 23．（8分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）说明BE＝CF的理由； （2）如果AB＝9，AC＝5，求AE、BE的长． 【分析】（1）连接BD，CD，由AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质，即可得DE＝DF，又由DG⊥BC且平分BC，根据线段垂直平分线的性质，可得BD＝CD，继而可证得Rt△BED≌Rt△CFD，则可得BE＝CF； （2）首先证得△AED≌△AFD，即可得AE＝AF，然后设BE＝x，由AB﹣BE＝AC+CF，即可得方程9﹣x＝5+x，解方程即可求得答案． 【解答】解：（1）连接BD，CD， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°， ∵DG⊥BC且平分BC， ∴BD＝CD， 在Rt△BED与Rt△CFD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴BE＝CF； （2）在△AED和△AFD中， ， ∴△AED≌△AFD（AAS）， ∴AE＝AF， 设BE＝x，则CF＝x， ∵AB＝9，AC＝5，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF， ∴9﹣x＝5+x， 解得：x＝2， ∴BE＝2，AE＝AB﹣BE＝9﹣2＝7． 【点评】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解． 24．（10分）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． （1）【阅读理解】如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8．求AC边上的中线BD的取值范围．小聪同学是这样思考的；延长BD至E，使DE＝BD，连接CE．利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是：　SAS　；中线BD的取值范围是 　1＜BD＜9　． （2）【理解与应用】如图2，在△ABC中，∠B＝90°，点D是AC的中点，点M在AB边上，点N在BC边上，若DM⊥DN．试猜想线段AM、CN、MN三者之间的数量关系，并证明你的结论． （3）【问题解决】如图3，在△ABC中，点D是AC的中点，AB＝MB，BC＝BN，其中∠ABM＝∠NBC＝90°，连接MN，探索BD与MN的关系，并说明理由． 【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△CED得出CE＝AB＝10，在△CBE中，由三角形的三边关系即可得出结论； （2）延长ND至点F，使FD＝ND，连接AF、MF，同（1）得△AFD≌△CND，由全等三角形的性质得出AF＝CN，由线段垂直平分线的性质得出MF＝MN，在△AFM中，由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，由（1）得：△ABD≌△CED，由全等三角形的性质得出∠ABD＝∠E，AB＝CE，证出∠BCE＝∠MBN，证明△BCE≌△NBM得出BE＝MN，则2BD＝MN． 【解答】解：（1）延长BD至E，使DE＝BD，连接CE， ∵BD是AC边上的中线， ∴AD＝CD， 在△ABD和△CED中， ， ∴△ABD≌△CED（SAS）， ∴CE＝AB＝10， 在△CBE中，由三角形的三边关系得：CE﹣BC＜BE＜CE+BC， ∴10﹣8＜BE＜10+8，即2＜BE＜18， ∵BE＝2BD， ∴2＜2BD＜18， ∴1＜BD＜9； 故答案为：SAS；1＜BD＜9； （2）AM+CN＞MN，证明如下： 延长ND至点F，使FD＝ND，连接AF、MF，如图2所示： 同（1）可证：△AFD≌△CND（SAS）， ∴AF＝CN， ∵DM⊥DN，FD＝ND， ∴MD是线段NF的垂直平分线， ∴MF＝MN， 在△AFM中，由三角形的三边关系得：AM+AF＞MF， ∴AM+CN＞MN； （3）2BD＝MN，理由如下： 延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，如图3所示： 同（1）得：△ABD≌△CED， ∴∠ABD＝∠E，AB＝CE， ∵∠ABM＝∠NBC＝90°， ∴∠ABC+∠MBN＝180°，即∠ABD+∠CBD+∠MBN＝180°， ∵∠E+∠CBD+∠BCE＝180°， ∴∠BCE＝∠MBN， ∵AB＝MB， ∴CE＝MB， 在△BCE和△NBM中， ， ∴△BCE≌△NBM（SAS）， ∴BE＝MN， ∴2BD＝MN． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/8 8:23:33；用户：初中数学14；邮箱：tlshiyan017@xyh.com；学号：27405248 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$