2.3有理数的乘方 新知梳理+典型例题+配套+练习题 2024-2025学年人教版数学七年级上册

专题04 有理数的乘方 1．有理数的乘方的意义： （1）定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方． （2）乘方的结果叫做幂．在an中，a叫做底数，n叫做指数． （3）当an看作a的n次方的结果时，也可读作“a的n次幂”． 2．有理数乘方的运算法则： （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数． （2）正数的任何次幂都是正数． （3）0的任何正整数次幂都是0． 3．有理数混合运算的顺序： （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 4．科学记数法 把大于10的数表示成a×10n的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），使用的是科学记数法． 例如567 000 000=5．67×108．对于小于–10的数也可以类似表示．例如–567 000 000=–5．67×108． 5．近似值 （1）准确数 在日常生活和生产实际中，能准确地表示一些量的数，称为准确数．例如：三班共50人，小颖养了3条金鱼，数字“50”和“3”就是准确数． （2）近似数 与实际接近但存在一定偏差的数称为近似数．例如：体重约为54 kg． （3）精确度 近似数的精确度是指近似数与准确数的接近程度． ①用数位表示：如精确到个位或百分位等． ②用小数点表示：如精确到0.1或0.01等． 确定近似数精确度的方法：看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上，就说明该近似数精确到哪一个数位． （4）有效数字 从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字． 考点01 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值． 【典例1】　（2024秋•大连月考）下列各组数中，运算结果相等的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】 【分析】根据有理数的乘方解决此题． 【解答】解：．，，那么，故不符合题意； ．，，那么，故符合题意； ．，，那么，故不符合题意； ．，，那么，故不符合题意． 故选：． 【典例2】　（2024秋•崇川区月考）下列各组式子中，运算结果相等的是　　 A．与 B．与 C．与 D．与 【分析】根据有理数的平方的性质即可作出判断． 【解答】解：、，选项正确； 、，，选项错误； 、，，，故选项错误； 、，，故选项错误． 故选：． 【典例3】　（2024秋•东台市月考）化简：　　． 【答案】． 【分析】根据有理数的乘方运算法则计算即可． 【解答】解：． 故答案为：． 考点02 有理数的混合运算 1．有理数混合运算的顺序： （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．进行混合运算时，在遵守运算顺序的前提下，灵活运用运算律，可以使运算准确、快捷． 【典例4】　（2024秋•丰台区校级月考）（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）11；（5）；（6）8；（7）． 【分析】（1）先去小括号，再去中括号，然后计算括号外面的减法即可； （2）根据乘法分配律计算即可； （3）先把除法转化为乘法，再约分即可； （4）先算乘方，再算加减法，然后去掉绝对值，最后算绝对值外面的减法即可； （5）先变形，然后逆用乘法分配律计算即可； （6）先算乘方，再算除法，然后算减法即可； （7）先算乘方和括号内的式子，再算乘除法，然后算减法即可． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ． 【典例5】　（2024秋•鼓楼区校级月考）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）0； （2）； （3）37； （4）50． 【分析】（1）把小数化成分数，再将同分母的分数结合起来计算即可； （2）先计算绝对值、乘方，再计算乘法，最后计算加减即可； （3）将除法化为乘法，再利用乘法分配律计算即可； （4）先计算乘方、再计算乘法，最后计算加减即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【典例6】　（2024秋•衡阳月考）计算下列各题： （1） （2） 【答案】（1）； （2）74． 【分析】（1）先去括号，再计算即可； （2）先计算乘方，并将除法化为乘法，再计算乘法，最后计算加减即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 考点03 科学记数法 1．科学记数法的表示步骤 （1）确定a 将原数的小数点移动到从左到右第1个不是0的数字的后面． （2）确定n 方法一：根据原数的整数位数来确定 n等于原数的整数位数减1． 方法二：按小数点移动的位数来确定 小数点向左移动了几位，n就等于几． 2．用科学记数法表示负数 用科学记数法表示负数时和正数一样，区别就是前面多一个“－”号． 【典例7】　（2024秋•高平市月考）近十年来，我国城镇新增就业年均13000000人以上，13000000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】． 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【解答】解：． 故选：． 【典例8】　（2024秋•江阴市校级月考）国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录，观影人次为1.63亿．将数据80.16亿用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】． 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【解答】解：80.16亿． 故选：． 【典例9】　（2024秋•霍邱县月考）2023年全省人口变动情况抽样调查，是依据省政府决策部署，由省统计局具体组织实施的一项重大省情省力调查，这次调查以2023年11月1日零时为标准时点，采取多阶段、分层、概率比例抽样方法，最终抽样单位为住户，共调查登记人口90.9万人，其中90.9万用科学记数法可表示为　　 A． B． C． D． 【答案】． 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【解答】解：90.9万． 故选：． 考点04 近似数 1．取近似数的方法： 根据精确度取近似数时，要采用四舍五入法；在实际问题中，特殊情况下使用去尾法或进一法． 2．确定近似数的精确度的方法： 看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该近似数精确到哪一个数位． 3．由近似数确定原数的取值范围的方法： （1）在近似数的最后一位之后再取一位，数值记为0； （2）在这一位上加5是最大数，减5是最小数，注意含小不含大． 【典例10】　（2024秋•东莞市月考）下面说法中错误的是　　 A．368万精确到万位 B．近似数1.8与1.80精确度不一样 C．2.58精确到百分位 D．0.0450精确到万位 【答案】 【分析】根据各个选项中的说法，可以判断是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：368万精确到万位，故选项正确，不符合题意； 近似数1.8精确到0.1，1.80精确到0.01，故选项正确，不符合题意； 2.58精确到百分位，故选项正确，不符合题意； 0.0450精确到万分位，故选项错误，符合题意； 故选：． 【典例11】　（2024秋•隆昌市校级月考）下列说法正确的是　　 A．6.449精确到十分位是6.5 B．近似数3.2万精确到千位 C．近似数30.000精确到个位 D．近似数0.76与0.760意义一样 【答案】 【分析】根据近似数的精确方法，逐一进行判断即可． 【解答】解：6.449精确到十分位是6.4，故选项错误，不符合题意； 近似数3.2万精确到千位，故选项正确，符合题意； 近似数30.000精确到千分位，故选项错误，不符合题意； 近似数0.76与0.760的意义不一样，因为精确度不一样，故选项错误，不符合题意； 故选：． 【典例12】　（2024秋•内乡县校级月考）用四舍五入法对3.14159分别取近似值，其中错误的是　　 A．3.14（精确到 B．3.141（精确到千分位） C．3.1（精确到十分位） D．3.1416（精确到 【答案】 【分析】利用近似数的精确度对各选项进行判断． 【解答】解：．（精确到，所以选项不符合题意； ．（精确到千分位），所以选项符合题意； ．（精确到十分位），所以选项不符合题意； ．（精确到，所以选项不符合题意． 故选：． 考点05 利用有理数的乘方解决实际问题 在利用有理数的乘方解决有关纸张对折、细胞分裂、拉面根数等实际问题时，关键是找到每次变化后所得的结果与变化次数之间的关系． 【典例13】　（2024秋•建邺区校级月考）一根长的绳子第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，剪第六次后，剩下的绳子的长度为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】第二次开始，每次剪去剩下的，用的幂表示． 【解答】解：根据乘方的意义和题意可知： 第一次后剩下的绳子的长度为， 第二次后剩下的绳子的长度为， 第三次后剩下的绳子的长度为：， 那么以此类推得到第六次后剩下的绳子的长度为． 故选：． 【典例14】　（2023秋•高明区期末）把一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折6次后得到　　条折痕． A．14 B．31 C．63 D．127 【答案】 【分析】对前三次对折分析不难发现每对折1次把纸分成的部分是上一次的2倍，折痕比所分成的部分数少1，求出第4次的折痕即可，再根据对折规律求出对折次得到的部分数，然后减1即可得到折痕条数． 【解答】解：由图可知，第1次对折，把纸分成2部分，1条折痕， 第2次对折，把纸分成4部分，3条折痕， 第3次对折，把纸分成8部分，7条折痕， 所以，第4次对折，把纸分成16部分，15条折痕， ， 以此类推，第次对折，把纸分成部分，条折痕． 当时，， 故选：． 【典例15】　如图是一张长、宽的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，，按照此方式裁剪下去，第6次裁剪后剩下的长方形的面积是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据乘方的定义解决此题． 【解答】解：长方形的最初的面积为． 第一次剪裁后剩余的面积为． 第二次剪裁后剩余的面积为． 第三次剪裁后剩余的面积为． 经分析，第六次剪裁后剩余的面积为． 故选：． 第1页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 有理数的乘方 一、选择题（共10小题） 1．（2024秋•上城区校级月考）下列算式中，结果为负数的是　　 A． B． C． D． 2．（2024•广东）2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据384000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 3．（2024春•道县期末）计算：　　 A．1 B．2 C．0 D． 4．（2024秋•海港区校级月考）在有理数中负数有　　个． A．4 B．3 C．2 D．1 5．（2024秋•铁西区校级月考）　　 A． B． C． D． 6．（2024秋•市南区校级月考）下列计算错误的是　　 A． B． C． D． 7．（2024秋•宽城区校级月考）下列各对数中，相等的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 8．（2024秋•绿园区校级月考）若，则的值是　　 A．1 B． C．2025 D． 9．（2024•宁波模拟）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 10．（2024秋•高新区校级月考）中，负数共有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（共10小题） 11．（2024秋•宽城区校级月考）78.9823亿，保留整数是 　　亿． 12．（2024秋•凉州区校级月考）若，则　　． 13．（2024秋•市北区校级月考）一根1米长的小棒，第一次截去它，第二次截去剩下，如此截下去，第10次后剩下的棒的长度是　　米． 14．（2024秋•大连月考）用四舍五入法将8.589精确到0.1，所得的近似数为 　　． 15．（2024秋•姜堰区月考）已知：是19位数，那么的值为 　　． 16．（2024秋•海城市月考）规定一种新运算：△，如3△，则△　　． 17．（2024秋•锦江区校级月考）直接写出答案： ①　　； ②　　； ③　　； ④　　； ⑤　　； ⑥　　． 18．（2024春•大渡口区校级月考）　　． 19．（2024秋•锦江区校级月考）现规定两种新运算“△”和“”，对任意有理数、，规定：△，，那么△　　． 20．（2023秋•新安县期末）近似数0.09206精确到 　　位，将207670精确到千位，其近似值是 　　． 三、解答题（共6小题） 21．（2024秋•海港区校级月考）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 22．（2024秋•铁西区校级月考）计算求值 （1）； （2）； 23．（2024秋•皇姑区校级月考）计算： （1）； （2）． 24．（2023秋•江海区期末）计算：． 25．（2024秋•原阳县月考）在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品． 下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）； 列式，并计算： （1）经过，，，的顺序运算后，结果是多少？ （2）5经过，，，的顺序运算后，结果是多少？ 26．（2023秋•仪征市期末）对有理数，定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“⊕”．并按照此运算写出了一些式子：2⊕，⊕，2⊕，⊕，⊕，2⊕，2⊕，⊕， （1）根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得 　　，异号得 　　，并把绝对值 　　；一个数与0相“乘加”等于 　　； （2）根据法则计算：⊕　　；⊕　　； （3）若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算： ①⊕⊕； ②⊕⊕⊕． 一、选择题（共10小题） 1．【答案】． 【分析】先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【解答】解：，是正数； ．，是正数； ．，是负数； ，0既不是正数，也不是负数； 故选：． 2．【答案】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可． 【解答】解：． 故选：． 3．【答案】 【分析】先算乘方，再算减法即可． 【解答】解： ， 故选：． 4．【答案】． 【分析】先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【解答】解：，是正数； ，是负数； ，是负数； ，是负数； ，是负数； 负数有，，，，共4个． 故选：． 5．【答案】 【分析】先确定结果的符号，再根据乘方运算法则进行计算即可求解． 【解答】解：原式． 故选：． 6．【答案】 【分析】根据有理数的运算法则逐项计算，即可求解． 【解答】解：、，该选项计算正确，不符合题意； 、，该选项计算正确，不符合题意； 、，该选项计算不正确，符合题意； 、，该选项计算正确，不符合题意． 故选：． 7．【答案】 【分析】根据绝对值的意义，有理数乘方运算法则进行计算逐项判断即可． 【解答】解：．和不相等，故不符合题意； ．和，故不符合题意； ．和相等，故符合题意； ．和不相等，故不符合题意． 故选：． 8．【答案】． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：， ，， ，， ． 故选：． 9．【答案】 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解：、原式，错误； 、原式，错误； 、原式，错误； 、原式，正确， 故选：． 10．【答案】 【分析】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【解答】解：，是正数； ，是正数； ，是负数； ，是负数； ，0既不是正数，也不是负数； ，是负数； 负数有，，，共3个． 故选：． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】79． 【分析】根据第一位小数9大于5，进一位，即可作答． 【解答】解：亿的第一位小数9大于5， 亿，保留整数是79亿． 故答案为：79． 12．【答案】． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：， ，， ，， ． 故答案为：． 13．【答案】． 【分析】由题意可知，第一次截后剩下的棒的长度是，第二次截后剩下的棒的长度是，据此即可求解． 【解答】解：由题意可得，第五次后剩下的小棒的长度是： ． 故答案为：． 14．【答案】8.6． 【分析】根据四舍五入法可以将题目中的数据精确到0.1． 【解答】解：（精确到， 故答案为：8.6． 15．【答案】18． 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【解答】解：是一个19位数， ． 故答案为：18． 16．【答案】． 【分析】根据△，可以计算出所求式子的值． 【解答】解：△， △6 ． 故答案为：． 17．【答案】①； ②4； ③； ④； ⑤； ⑥5． 【分析】①利用有理数的减法法则计算即可； ②利用有理数的减法法则计算即可； ③利用有理数的乘法法则计算即可； ④利用有理数的乘方法则计算即可； ⑤利用有理数的乘方法则计算即可； ⑥先算括号里面的，再算加法即可． 【解答】解：①原式， 故答案为：； ②原式 ， 故答案为：4； ③原式 ， 故答案为：； ④原式， 故答案为：； ⑤原式， 故答案为：； ⑥原式 ， 故答案为：5． 18．【答案】． 【分析】将2022化为，2024化为，再利用平方差公式进行计算即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 19．【答案】． 【分析】首先根据：△，求出8△的值是多少；然后根据：，求出△的值是多少即可． 【解答】解：△，， △ 故答案为：． 20． 【分析】利用近似数的精确度可判断近似数0.09206确定到十万分，然后用科学记数法表示207670，再把百位上的数字6进行四舍五入即可． 【解答】解：近似数0.09206精确到十万分位，将207670精确到千位，其近似值是． 故答案为：十万分，． 三、解答题（共6小题） 21．【答案】（1）18；（2）；（3）1；（4）． 【分析】（1）先计算乘方，再计算除法，最后计算减法即可； （2）先计算乘方，再计算乘除法即可； （3）先计算乘方，再计算乘法，最后计算减法即可； （4）先计算小括号的乘法，再计算小括号内的减法，最后计算除法即可． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） （4） ． 22．【答案】（1）69； （2）． 【分析】（1）把分数化为小数，再先算减法，最后算加法即可； （2）先计算乘方，再计算乘除运算，最后计算减法运算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 23．【答案】（1）4； （2）14． 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号，进行计算即可； （2）先乘方，再进行乘法运算，最后算加减即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 24．【答案】． 【分析】先算乘方并化简绝对值，再算乘除，最后算加减． 【解答】解：原式 ． 25．【答案】（1）7；（2）206． 【分析】（1）根据题意列出运算式子，然后根据有理数的四则运算法则求解即可； （2）根据题意列出运算式子，然后根据有理数的四则运算法则求解即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 26．【答案】（1）正，负，相加，这个数的绝对值． （2）；． （3）①；②． 【分析】（1）根据新的运算，对照式子直接写出答案即可； （2）根据新的运算，写出运算的式子，再计算出结果； （3）根据新的运算和括号的作用，计算出结果． 【解答】解：（1）同号得正，异号得负，并把绝对值相加；一个数与0相“乘加”等于这个数的绝对值， 故答案为：正，负，相加，这个数的绝对值． （2）⊕； ⊕， 故答案为：；． （3）①⊕⊕ ⊕ ； ②⊕⊕⊕ ⊕ ． 第7页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $$