1.3.1 空间直角坐标系1.3.2 空间向量运算的坐标表示同步练习-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.3.1　空间直角坐标系　1.3.2　空间向量运算的坐标表示 A组 1.已知向量p用基底{a,b,c}可表示为8a+6b+4c,其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则向量p在空间的一个单位正交基底{i,j,k}下的坐标为(　　) A.(12,14,10) B.(10,12,14) C.(14,10,12) D.(4,2,3) 2.已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则|a-b+2c|等于(　　) A.3 B.2 C. D.5 3.已知点A(3,4,5),B(0,2,1),O(0,0,0),若向量,则点C的坐标是(　　) A. B. C. D. 4.若a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且a与b夹角的余弦值为,则λ=(　　) A.2 B.-2 C.-2或 D.2或- 5.(多选题)关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1,2,3),下列说法正确的是(　　) A.OP的中点的坐标为 B.点P关于x轴对称的点的坐标为(-1,-2,-3) C.点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2,-3) D.点P关于坐标平面Oxy对称的点的坐标为(1,2,-3) 6.在空间直角坐标系中,点M(-2,4,-3)在Oxz平面上的射影为M'点,则M'关于原点的对称点的坐标是　　　　　.  7.已知a=(-2,-1,3),b=(-1,3,-2),a,b的夹角为θ,则θ=　　　　　.  8.已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λa+b|=,且λ>0,则λ=　　　　　.  9.已知a=(1,5,-1),b=(-2,3,5). (1)若(ka+b)∥(a-3b),求实数k的值; (2)若(ka+b)⊥(a-3b),求实数k的值. 10.如图,已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长为,底面边长为,E是SA的中点,O为底面ABCD的中心. (1)求CE的长; (2)求异面直线BE与SC所成角的余弦值; (3)若OG⊥SC,垂足为G,求证:OG⊥BE. B组 1.已知a=(2,0,3),b=(4,-2,1),c=(-2,x,2),若(a-b)⊥c,则x等于(　　) A.4 B.-4 C.2 D.-2 2.已知O为原点,向量=(2,-2,3),=(x,1-y,4z),且平行四边形OACB对角线的中点坐标为,则(x,y,z)=(　　) A.(-2,-4,-1) B.(-2,-4,1) C.(-2,4,-1) D.(2,-4,-1) 3.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°,D为BB1的中点,则异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 4.已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值是(　　) A. B. C. D. 5.已知△ABC的三个顶点是A(1,-1,1),B(2,1,-1),C(-1,-1,-2),则△ABC的面积为　　　　　. 6.已知点A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),O(0,0,0),点Q在直线OP上运动,当取得最小值时,点Q的坐标为　　　　　.  7.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2)三点. (1)若,求点D的坐标; (2)问是否存在实数α,β,使得=α+β成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由. 8.已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中,所有的棱长都是2,M是BC边的中点,则在棱CC1上是否存在点N,使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°? 参考答案 A组 1.A 解析:p=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k,故向量p在{i,j,k}下的坐标为(12,14,10). 2.A 解析:∵a-b+2c=(1,0,1)-(-2,-1,1)+(6,2,0)=(9,3,0),∴|a-b+2c|=3. 3.A 解析:设点C坐标为(x,y,z), 则=(x,y,z). 因为=(-3,-2,-4),, 所以x=-,y=-,z=-. 4.C 解析:a·b=1×2+λ×(-1)+2×2=6-λ, a·b=|a||b|cos<a,b>=. 由=6-λ,得λ=-2或. 5.AD 解析:OP的中点的坐标为,故A正确;点P关于x轴对称的点的坐标为(1,-2,-3),故B不正确;点P关于坐标原点对称的点的坐标为(-1,-2,-3),故C错误;点P关于坐标平面Oxy对称的点的坐标为(1,2,-3),故D正确.故选AD. 6.(2,0,3) 解析:由题意得,M在Oxz平面上的射影为M'(-2,0,-3),所以M'关于原点的对称点的坐标为(2,0,3). 7.120° 解析:cos θ==-, 故θ=120°. 8.3 解析:∵a=(0,-1,1),b=(4,1,0), ∴λa+b=(4,1-λ,λ). 又|λa+b|=,∴16+(1-λ)2+λ2=29. ∴λ2-λ-6=0,解得λ=3或λ=-2. ∵λ>0,∴λ=3. 9.解:ka+b=(k-2,5k+3,-k+5), a-3b=(1+3×2,5-3×3,-1-3×5)=(7,-4,-16). (1)∵(ka+b)∥(a-3b), ∴, 解得k=-. (2)∵(ka+b)⊥(a-3b), ∴(k-2)×7+(5k+3)×(-4)+(-k+5)×(-16)=0,解得k=. 10.解:连接SO,AC,OB,由于棱锥是正四棱锥,因此底面四边形ABCD是正方形,从而OA,OB,OS两两垂直,以O为原点,OA,OB,OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示. 因为侧棱长为,底面边长为,E为SA的中点, 所以A,S,C,B,E. (1), 所以||=, 即CE=. (2)因为=, 所以cos<>==-. 故异面直线BE和SC所成角的余弦值为. (3)证明:因为G在SC上,所以共线, 所以可设=λ,λ∈R, 则+-λ,0,-λ=. 因为OG⊥SC,即,所以=0. 所以λ-(1-λ)=0,解得λ=. 所以. 又, 所以=-+0+=0. 所以,即OG⊥BE. B组 1.B 解析:∵a-b=(-2,2,2),且(a-b)⊥c, ∴(a-b)·c=0,即4+2x+4=0,解得x=-4. 2.A 解析:由题意得(2,-2,3)+(x,1-y,4z)=2,即(x+2,-1-y,3+4z)=(0,3,-1), 解得 3.C 解析:建系如图, 则C1(0,1,2),D(1,0,1),A1(0,0,2),C(0,1,0), 因此=(1,-1,-1),=(0,1,-2). 所以cos<>=. 故异面直线C1D与A1C所成角的余弦值是. 故选C. 4.C 解析:∵b-a=(1+t,2t-1,0), ∴|b-a|2=(1+t)2+(2t-1)2+02=5t2-2t+2=5. ∴|b-a. ∴|b-a|min=. 5. 解析:S△ABC=|AB||AC|sin α,其中α是边AB与AC的夹角, 则S△ABC=|||·|. 在本题中=(1,2,-2),=(-2,0,-3), 所以||2=12+22+(-2)2=9, ||2=(-2)2+(-3)2=13, =1×(-2)+2×0+(-2)×(-3)=4. 所以S△ABC=. 6. 解析:设=λ=(λ,λ,2λ),λ∈R,则Q(λ,λ,2λ),=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ).因为=6λ2-16λ+10=6,所以当λ=时,取得最小值,此时点Q的坐标为. 7.解:(1)设D(x,y,z),则=(-x,1-y,-z),=(-1,0,2),=(-x,-y,2-z),=(-1,1,0). 因为,所以存在实数m,n,使得 解得即D(-1,1,2). (2)依题意=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,2). 假设存在实数α,β,使得=α+β成立,则有(-1,0,2)=α(-1,1,0)+β(0,-1,2)=(-α,α-β,2β). 所以解得α=1,β=1. 故存在α=β=1,使得=α+β成立. 8.解:以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知A(0,0,0),C(0,2,0),B(,1,0),B1(,1,2),M. 假设存在点N,满足条件. 因为点N在CC1上, 所以可设N(0,2,m)(0≤m≤2). 因为=(,1,2),, 所以||=2,||==2m-1. 因为异面直线AB1和MN所成的角等于45°,所以向量的夹角等于45°或135°. 又因为cos<>=, 所以=±,解得m=-,这与0≤m≤2矛盾. 所以在棱CC1上不存在点N,使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°. 5 学科网（北京）股份有限公司 $$