精品解析：湖南省祁东县第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

祁东一中2024年下期期中考试高二年级数学试题卷 考生注意： 1．本试题卷分为第I、II卷，共19道题．满分为150分，考试时量120分钟． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值. 【详解】因为，所以，由题意可得， 所以，则． 故选：C. 2. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 3. 在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先将用表示，然后再结合数量积的运算律即可得解. 【详解】因为，所以 ， 从而，即的长为． 故选：C. 4. 已知圆与直线相切，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式，结合圆的切线性质求解即得. 【详解】圆的圆心为，半径为， 依题意，. 故选：D 5. 如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】因为M为与的交点，所以M是与的中点， 所以. 故选：D. 6. 以点为圆心，两平行线与之间的距离为半径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行直线间距离公式可求得圆的半径，由圆心和半径可得圆的方程. 【详解】直线方程可化为， 则两条平行线之间距离，即圆的半径， 所求圆的方程为：. 故选：B. 7. 在棱长为2的正方体中，下列说法正确的是（ ） A. 平面与平面的距离为 B. 三棱锥外接球的表面积为 C. D. 直线BC与平面所成的角为 【答案】A 【解析】 【分析】D选项，作出辅助线，由线面垂直得到⊥，故⊥平面，直线与平面所成的角为，且，故D错误；C选项，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到，所以⊥平面，⊥；B选项，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，从而求出外接球半径，得到外接球表面积；A选项，先证明出平面平面，利用点到平面距离向量公式得到答案. 【详解】D选项，如图1，连接，与相交于O点， 因为⊥平面，且平面，所以⊥， 又因为⊥，，平面， 所以⊥平面， 即直线与平面所成的角为， 且，故D错误； C选项，如图2，连接，以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，则， 则，所以⊥平面， 又因为平面，则⊥，故C错误； B选项，三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 设其外接球的半径为R，则，即， 所以，故B错误； A选项，如图3，因为，平面，平面， 所以平面，同理平面， 又，平面，所以平面平面， 由B选项可知，平面的一个法向量为， 且， 则两平面间的距离，故A正确. 故选：A 8. 已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为5 B. 的最小值为 C. 直线与圆相切时， D. 圆心到直线的距离最大为4 【答案】C 【解析】 【分析】对A，转化为圆上的点到圆心的距离最值问题；对B，转化为斜率最值并求出相切时的斜率；对C，根据点到直线的距离得公式即可求出值；对D，根据点到直线的距离再对分类讨论即可. 【详解】对A，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径. ，是圆上的点， 所以的最大值为，A选项错误. 对B，如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且， 根据对称性知的最小值为，B选项不正确； 对C，直线，即，过定点， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为， 即，解得，所以C选项正确； 对D，圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，所以D选项错误. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】运用空间向量的基底表示，结合平面向量的三角形法则和线性运算规则可解. 【详解】， 即，故A错误、B正确； ， 即，故C错误，D正确. 故选：BD. 10. 已知圆，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 若点在圆的内部，则 B. 若，则圆的公共弦所在的直线方程是 C. 若圆外切，则 D. 过点作圆的切线，则的方程是或 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据点在圆的内部解不等式即可判断A错误；将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程可知B正确；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知C正确；对直线的斜率是否存在进行分类讨论，由点到直线距离公式即可得D正确. 【详解】对于A，由点在圆的内部，得，解得，故错误； 对于B，若，则圆， 将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是，故B正确； 对于C，圆的标准方程为，圆心为，半径， 圆的标准方程为，圆心为，半径， 若圆外切，则，即，解得，故C正确； 对于D，当的斜率不存在时，的方程是，圆心到的距离，满足要求， 当的斜率存在时，设的方程为， 圆心到的距离，解得， 所以的方程是，故D正确. 故选：BCD. 11. 由正四棱锥P-ABCD和正方体ABCD-A1B1C1D1组成的多面体的所有棱长均为2，则（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 与平面所成角的余弦值为 D. 点P到平面的距离为 【答案】BD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，判断与平面的一个法向量是否垂直即可判断A；根据平面和平面的法向量是否垂直判断出B；由线面夹角的正弦的公式及同角三角函数的平方关系即可判断C；由点到平面的距离公式即可判断D． 【详解】以为原点，以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 连接，与交点为，连接，则平面， 因为正四棱锥和正方体的所有棱长均为， 所以，，点坐标为， 所以，则， 又，，，，， 对于A：，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，取得， 因为，所以与平面不平行，故A错误； 对于B：由A得平面的一个法向量为， ，， 设平面的一个法向量为， 则，即，取得， 因为，即，所以平面平面，故B正确； 对于C：由A得平面的一个法向量为， ，设与平面所成角为， 则， 所以，即与平面所成角的余弦值为，故C错误； 对于D：由A得平面的一个法向量为， 因为， 所以点到平面的距离，故D正确； 故选：BD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标______ 【答案】 【解析】 【分析】结合数量积的坐标运算，根据投影向量的概念求解. 【详解】空间向量， 则，， 则向量在向量上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 13. 设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可； 【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上， 所以所在直线即为直线，所以直线为，即； 圆，圆心，半径， 依题意圆心到直线的距离， 即，解得，即； 故答案为： 14. 如图，在正三棱柱中，、分别是、的中点.设D是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_______. 【答案】 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值，即可得到方程，解得，从而得解． 【详解】解：如图以为坐标原点建立空间直角坐标系： 则设， 则，设直线与所成角为 所以，即， 解得或（舍去），所以， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． 【答案】（1） 连接，因为E为BC中点，，所以①， 因为，，所以与均为等边三角形， ，从而②，由①②，，平面， 所以，平面，而平面，所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意易证平面，从而证得； （2）由题可证平面，所以以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再求出平面的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不妨设，，． ，，又，平面平面． 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设， 设平面与平面的一个法向量分别为， 二面角平面角为,而， 因为，所以，即有， ，取，所以； ，取，所以， 所以，，从而． 所以二面角的正弦值为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1， 圆心在上. （1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程； （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围. 【答案】（1）或；（2）. 【解析】 【分析】（1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆的半径为，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆的圆心在直线：上可设圆的方程为，由，可得的轨迹方程为，若圆上存在点，使，只需两圆有公共点即可. 【详解】（1）由得圆心， ∵圆的半径为1， ∴圆的方程为：， 显然切线的斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即． ∴， ∴，∴或． ∴所求圆的切线方程为或． （2）∵圆的圆心在直线：上，所以，设圆心为， 则圆的方程为． 又∵， ∴设为，则，整理得，设为圆． 所以点应该既在圆上又在圆上，即圆和圆有交点， ∴， 由，得， 由，得． 综上所述，的取值范围为． 考点：1、圆的标准方程及切线的方程；2、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用. 【方法点睛】本题主要考查圆的标准方程及切线的方程、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.属于难题.转化与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题（2）巧妙地将圆上存在点，使问题转化为，两圆有公共点问题是解决问题的关键所在. 17. 如图，四面体中，，E为的中点． （1）证明：平面平面； （2）设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）证明如下： 因为，E为的中点， 所以； 在和中， 因为， 所以， 所以， 又因为E为的中点， 所以； 又因为平面，， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面. （2）与平面所成的角的正弦值为 【解析】 【分析】（1）根据已知关系证明，得到，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）根据勾股定理逆用得到，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，由（1）知，平面，因为平面， 所以，所以， 当时，最小，即的面积最小. 因为，所以， 又因为，所以是等边三角形， 因为E为的中点，所以，， 因为，所以, 在中，，所以. 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 又因为，所以， 所以， 设与平面所成的角为， 所以， 所以与平面所成的角的正弦值为. 18. 在四棱锥中，四边形是直角梯形，且平面，，点在棱上． （1）当 时，求证: 平面; （2）若直线与平面所成的角为 ，二面角的余弦值为，求的值． 【答案】（1） 连接交于点O，连接， 由 知，，∴， ∵，∴，∴， 又平面，平面，∴平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点O，连接，利用几何性质证明，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，设，求出平面的法向量,用表示出平面的法向量，利用向量的夹角公式计算，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵平面，∴为与底面所成的角， 即，∴， 又四边形是直角梯形， 故以D为坐标原点，分别以为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ∴，，， 设平面法向量为，则 ， 即 ，令，则， 设，则， 设平面的法向量为，则， 即 ，令，则， 因为二面角的余弦值为 ∴，解得， ∴． 19. 在直线l上任取不同的两点A，B，称为直线l的方向向量与直线l的方向向量垂直的非零向量称为l的法向量，在平面直角坐标系中，已知直线是函数的图象，直线是函数的图象. （1）求直线和直线所夹成的锐角的余弦值； （2）已知直线平分直线与直线所夹成的锐角，求直线的一个方向向量的坐标； （3）已知点，A是与y轴的交点，是的法向量.求在上的投影向量的坐标(求出一个即可)，并求点P到直线的距离. 【答案】（1）；（2）；（3）， 【解析】 【分析】（1）求得和相交点的坐标，以及和与y轴相交点的坐标，再根据直线方向向量的定义，向量的余弦公式求解，并判断夹角是否为锐角即可. （2）平分直线与直线所夹成的锐角，所以和所夹的锐角等于和所夹的锐角，根据直线的夹角公式求出，写出一个方向向量的坐标即可. （3）求点P到直线的距离，写出过A点垂直于的直线方程（方向向量为），并根据这两点联合解出点P在该直线上的投影，则 的投影向量得出. 【详解】 （1）设和相交点的坐标为M，和y轴相交点的坐标为A，和y轴相交点的坐标为B，则，， 由直线和的方程式联立，解得. 则、分别为直线和的方向向量. 由向量的余弦公式. 由，而，所以向量形成的角为锐角. 所以直线和直线所夹成的锐角的余弦值为. （2）直线平分直线与直线所夹成的锐角，所以直线和直线所夹成的锐角与直线和直线所夹成的锐角相等，根据直线的夹角公式，则 ， ， ， . 又∵，∴. ∴直线的一个方向向量的坐标为. （3）∵，为，则点P到的距离为. 过A点做直线AN交x轴于N，则为直线AN的方向向量. 又∵的法向量垂直于，则. 因为，则 ∵，则为. 设点P在上的投影坐标为，则①， 易知点Q到的距离为②， 由①②解得Q为或 由和点，可知，点P在的左边，点P在上的投影坐标Q为. ∴在上的其中一个投影向量为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 祁东一中2024年下期期中考试高二年级数学试题卷 考生注意： 1．本试题卷分为第I、II卷，共19道题．满分为150分，考试时量120分钟． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 向量，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. C. 1 D. 3. 在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6 4. 已知圆与直线相切，则（ ） A. 2 B. C. D. 5. 如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 6. 以点为圆心，两平行线与之间的距离为半径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在棱长为2的正方体中，下列说法正确的是（ ） A. 平面与平面的距离为 B. 三棱锥外接球的表面积为 C. D. 直线BC与平面所成的角为 8. 已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为5 B. 的最小值为 C. 直线与圆相切时， D. 圆心到直线的距离最大为4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 若点在圆的内部，则 B. 若，则圆的公共弦所在的直线方程是 C. 若圆外切，则 D. 过点作圆的切线，则的方程是或 11. 由正四棱锥P-ABCD和正方体ABCD-A1B1C1D1组成的多面体的所有棱长均为2，则（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 与平面所成角的余弦值为 D. 点P到平面的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标______ 13. 设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________． 14. 如图，在正三棱柱中，、分别是、的中点.设D是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1， 圆心在上. （1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程； （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围. 17. 如图，四面体中，，E为的中点． （1）证明：平面平面； （2）设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 18. 在四棱锥中，四边形是直角梯形，且平面，，点在棱上． （1）当 时，求证: 平面; （2）若直线与平面所成的角为 ，二面角的余弦值为，求的值． 19. 在直线l上任取不同的两点A，B，称为直线l的方向向量与直线l的方向向量垂直的非零向量称为l的法向量，在平面直角坐标系中，已知直线是函数的图象，直线是函数的图象. （1）求直线和直线所夹成的锐角的余弦值； （2）已知直线平分直线与直线所夹成的锐角，求直线的一个方向向量的坐标； （3）已知点，A是与y轴的交点，是的法向量.求在上的投影向量的坐标(求出一个即可)，并求点P到直线的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $