4.4幂函数（同步课件）数学人教B版2019必修第二册

4.4 幂函数 第4章 指数函数、对数函数与幂函数 情境引入 情境与问题： 我们已经知道，在关系式中，当底数为大于且不等于的常数时：如果把作为自变量、作为因变量，则就是的指数函数；如果把作为自变量、作为因变量，则就是的对数函数(即).那么，当为常数时，能否将底数作为自变量、作为因变量来构造函数关系呢？ 在关系式中，以为自变量、为因变量构造出来的函数就是本节我们要讨论的幂函数. 新知探索 一般地，函数称为幂函数，其中为常数.上面提到的函数， ，都是幂函数. 尝试与发现： 我们以前学过函数，，，这三个函数的解析式有什么共同的特点吗？你能根据指数运算的定义，把这三个函数的解析式改写成统一的形式吗？ 新知探索 下面我们通过具体函数来研究幂函数的一些性质. 尝试与发现：判断这些数中，哪些在函数的定义域内，求出对应的函数值，并填写下表(只需填在定义域内的数及对应的函数值)，由此猜测这个函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，尝试说明理由. 首先来研究函数. 新知探索 (1)定义域是_______； (2)值域是_________； (3)奇偶性是________________； (4)单调性是__________. 非奇非偶函数 增函数 由于，由此不难知道，函数的性质有： 新知探索 根据以上信息可知，函数的图象上的点，除了原点，其余点都在第一象限，通过描点(如图所示)，可作出其图象，如图所示. 下面来研究函数. 新知探索 (1)定义域是_______； (2)值域是_________； (3)奇偶性是__________； (4)单调性是__________. 奇函数 增函数 新知探索 下图中已经作出了5个常见幂函数，，，的图象，观察图象找到它们的共性和异性. 新知探索 一般地，幂函数，随着的取值不同，函数的定义域、值域、奇偶性、单调性也不尽相同，但也有一些共同的特征： (1)所有的幂函数在区间上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点. (2)如果，则幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数. (3)如果，则幂函数在区间上是减函数，且在第一象限内：当从右边趋向于原点时，图象在轴右方且无限逼近轴；当无限增大时，图象在轴上方且无限逼近轴. 探索新知 接下来，我们通过网络画板观察幂函数图象随着取值变化的动画，推论之前的结论是否成立. 例题 例1 比较下列各题中两个值的大小： (1)与；(2)与. 解(1)考察幂函数，因为其在区间上是增函数， 而且，所以. 解(2)考察幂函数，因为其在区间上是减函数， 而且，所以. 例题 例2 讨论函数的定义域、奇偶性，通过描点作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性. 解：因为， 所以不难看出函数的定义域是实数集. 记，则， 所以函数是偶函数. 因此，函数的图象关于轴对称. 例题 通过列表描点，可以先作出在时的函数图象，再根据对称性，可作出它在时的图象，如图所示. 由图象可以看出，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 探索新知 在中，只要输入幂函数的表达式，就可以得到对应的图象，如图所示是用作出的，，，，的图象，你能从中得出什么规律吗？ “”作图. 新知探索 在直线的右侧，即时，指数越大，幂函数图象越远离轴(即“指大图高”). “”作图. 练习 题型一：幂函数的概念 例1.已知是幂函数，则________. 解：∵是幂函数 ∴， 得：或 练习 方法技巧： 幂函数的注意事项 (1)幂函数的表达式中，的系数必须为“”. (2)当时，幂函数的图象都过点和，且在上单调递增； (3)当时，幂函数的图象都过点，且在上单调递减. 例析 变1.已知幂函数在上单调递增，则等于（ ）. 解：∵为幂函数 ∴， 又∵幂函数在上单调递增 ∴.即 ∴ 练习 题型二：幂函数的图象及应用 例2.若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，问当为何值时，(1) 解：∵设,则 ∴=2.即 同理可得， 画出和的函数图象， 则由图象可知：当或时，； 当时，； 当时，. 练习 方法技巧： 解决幂函数图象问题的原则： (1)根据图象的高低判断幂指数的大小：在上，指数越大，幂函数图象越靠近轴(“指大图低”)；在上，指数越大，幂函数图象越远离轴(即“指大图高”). (2)当时，幂函数的图象都经过和点. 练习 变2：若四个幂函数图象在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系是（ ）. 答案：B.在（1，+）上，指大图高. 练习 题型三：利用幂函数的单调性比较大小 例3.比较下列各组数中两个数的大小. 与； 与； 解：(1)∵幂函数在上是单调递增的， 又，∴>. (2)∵幂函数在上是单调递减的， 又，∴. 练习 例3.比较下列各组数中两个数的大小. 与. 解：(3)∵幂函数在上是单调递增的， 又，∴> 又∵在上是单调递增的， 且,∴ ∴ 练习 方法技巧： 比较幂的大小的3种基本方法： 直接法 当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较 转化法 当幂指数不同时，可以先转化为相同的幂指数，再利用单调性来比较大小 中间量法 当底数不同且幂指数也不同时，不能运用单调性比较大小，可选取适当的中间值，从而达到比较大小的目的 练习 变3.比较下列各题中两个幂的值的大小. 与； 与. 解：(1)∵幂函数在上是单调递减的， 又，∴ (2)∵,幂函数在上是单调递增的， 且，∴,即 练习 题型四：幂函数性质的综合应用 例4.已知幂函数 (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在定义域上的单调性； 解：(1)∵∴ ∴,,∴不为偶数且为正数. ∴该函数的定义域为, 由幂函数的性质知，该函数在定义域上单调递增. 例4.已知幂函数 (2)若该函数图象经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围. 练习 解：(2)由(1)得： ∵该函数图象经过点,∴， ∴，即=，∴，即. 由，得，解之得 故的值为，满足条件的实数的取值范围为 练习 方法技巧： 解决幂函数的综合问题，要注意以下几点： (1)充分利用幂函数的图象、性质解题，如图象过定点、单调性、奇偶性等； (2)注意运用常见的思想方法解题，如分类讨论、数形结合等. 练习 变4.已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若，求实数的值. 解：(1)∵幂函数为偶函数, ∴，解得（舍去）或 ∴,∴ . (2)由，可得. 即 . 解之得 课堂小结&作业 课堂小结： (1)幂函数的概念； (2)5个常见幂函数的图象及其性质； (3)幂函数的性质； (4)幂函数比较大小的方法. 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P37习题的第1—5题；习题的第1—6题； 习题的第1—2题. 谢谢学习 Thank you for learning $$