重庆实验外国语学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

重庆外国语学校 2024－2025学年度（上）高2026届期中考试 数学试题 （满分150分，120分钟完成） 一、单选题（共8个小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1. 圆的圆心坐标和半径分别是（ ） A. 和2 B. 和2 C. 和 D. 和 2. 已知平面向量且，则一定共线的三点是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 若直线和直线平行，则与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“曲线表示椭圆”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，空间四边形中，点M、N分别是、的中点，设，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 6. 如图，该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径，，，为半圆弧的中点，若异面直线和所成角的余弦值为，则该几何体的体积为（） A. B. C. D. 7. 已知圆的圆心为点，直线与圆交于，两点，点在圆上，且，若，则（ ） A. 6 B. 8 C. D. 8. 对于平面上点和曲线，任取上一点，若线段的长度存在最小值，则称该值为点到曲线的距离，记作．下列结论中正确的个数为（    ） ①若曲线是一个点，则点集所表示的图形的面积为； ②若曲线是一个半径为的圆，则点集所表示的图形的面积为； ③若曲线是一个长度为的线段，则点集所表示的图形的面积为； ④若曲线是边长为的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（3个小题，每小题6分，共18分.每小题的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部份分，有选错的得0分） 9. 下列四个结论不正确的是（ ） A. 任意向量，，若，则或 B. 若空间中任意四点，，，满足，则，，三点共线 C. 空间中任意向量，，都满足 D. 已知向量，，若，则为钝角 10. 直线的倾斜角可以为（ ） A. B. C. D. 11. 已知正方体棱长为1，动点满足，则下列选项正确的是（ ） A. 当时，直线平面 B. 当，，时，点到直线的距离为 C. 当，，时，的值可能为3 D. 当且，当时，点的轨迹长度为 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知，，当时，实数的值为____________． 13. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，一个焦点坐标为，且椭圆的两个焦点和短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，则此椭圆的标准方程为______． 14. 已知圆上有一动点，记点到直线的距离为，平面上有一定点，则的最小值为__________. 四、解答题（15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知，，. （1）求点到直线的距离； （2）求的外接圆的方程. 16. 如图，在四棱锥中，，，平面，，，分别是棱，的中点. （1）证明：平面. （2）求二面角的余弦值. 17. 已知圆关于直线对称，且过点. （1）求证：圆与直线相切； （2）若直线过点与圆交于、两点，且，求此时直线的方程. 18. 如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，，平面平面. （1）求证:平面; （2）若，点在棱上，且二面角的大小为.设是棱上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 19. 行列式是解决复杂代数运算的算法，二阶行列式其运算法则如下：.若，则称为空间向量与的向量积，其中，，为单位正交基底.以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，已知是空间直角坐标系中异于的不同两点，且三点不共线. （1）①若，，求； ②求证：是平面的一个法向量；且. （2）①记的面积为，证明：. ②三棱锥，其中，，，求三棱锥的体积.（用，，表示） （3）如图，两点分别是三角形的两条边上的动点（不含端点），其中的中点为，其中的中点为.求证：三角形面积是四边形面积的四分之一. 重庆外国语学校 2024－2025学年度（上）高2026届期中考试 数学试题 （满分150分，120分钟完成） 一、单选题（共8个小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、多选题（3个小题，每小题6分，共18分.每小题的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部份分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】6 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明：如图所示，连接． 因为，分别是棱，的中点， 所以， 因为，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 则． 因为平面，平面， 所以平面． （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明：圆化为标准方程，即， 则因为圆关于直线对称，所以，所以， 因为圆C过点，所以，所以， 得，所以圆方程为， 圆心坐标为，半径为， 故点C到直线的距离为， 所以C与直线相切. （2）或． 【18题答案】 【答案】（1）证明：在四棱锥中， 因为底面为矩形，所以. 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，且， 所以平面. （2）. 【19题答案】 【答案】（1）①； ②证明：设，， 为单位正交基底. 设平面内不同于点的任意一点，即， 则存在，使得， 则 ， 则 . 故向量垂直于平面内任意非零向量， 所以是平面的一个法向量. 由， ， 则. （2）①证明：记的面积为， 则， ， 又， 而，， 则 ， 故，得证.； ② （3）证明：先证明：向量积的运算律：成立. 设，， ，为单位正交基底. 则； 故成立. 由（1）可知， 则有也成立. 其次证明向量积的运算律：，成立. 证明：因为； ； . 所以向量积的运算律：，成立. 又. 设， 因为点分别在边上（不含端点）， 设（）， 因为是的中点，为的中点， 所以， . 结合以上向量积的运算律， 则 ， 因为， ， 又， 所以， 所以， 故三角形面积是四边形面积的四分之一. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $