第2章 有理数的运算——有理数的乘除运算 新知梳理+典型例题+配套+练习题 2024—-2025学年人教版（2024）数学七年级上册

专题03 有理数的乘除运算 一、选择题（共10小题） 1．（2024秋•齐齐哈尔月考）计算：的结果是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•迎江区校级月考）下列说法正确的是　　 A．相反数等于本身的数只有0 B．几个有理数相乘，如果负因数有奇数个，那么积为负数 C．如果一个数的绝对值大于另一个数的绝对值，则它们的和可能是0 D．绝对值等于本身的数是正数 3．（2024春•顺河区校级期末）某同学在计算时，误将“”看成“”而算得结果是，则的正确结果是　　 A．3 B．2 C． D． 4．（2024•吉林）若□的运算结果为正数，则□内的数字可以为　　 A．2 B．1 C．0 D． 5．（2024秋•路北区月考）的倒数是　　 A．1 B． C．2024 D． 6．（2024秋•东光县月考）已知，则的值为　　 A．2024 B． C． D． 7．（2024秋•金水区校级月考）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 8．（2024秋•杭州月考）一个数的2倍再除以3的商是6，则这个数是　　 A． B． C．9 D．36 9．（2024秋•梁溪区校级月考）与计算结果相同的是　　 A． B． C． D． 10．（2024秋•延安月考）在，，0，4这四个数中，任意选两个数相除，所得的商最小是　　 A． B． C． D． 二、填空题（共10小题） 11．（2024秋•齐齐哈尔月考）计算：　　． 12．（2024秋•宜兴市月考）计算：　　 13．（2024秋•南关区校级月考）直接写出计算的结果；　　． 14．（2024秋•太和县月考）的倒数与的相反数的和是 　　． 15．（2024秋•鼓楼区校级月考）计算的结果是　 　． 16．（2024秋•安溪县校级月考）在，2，，5四个数中，任意两个数之积的最小值为　　． 17．（2024秋•杭州月考）　　． 18．（2024秋•衡阳县月考）计算：　　． 19．（2024秋•延安月考）若两个数的积为，我们称它们互为负倒数，则0.25的负倒数是 　　． 20．（2024秋•崇川区校级月考）若被除数是，除数比被除数小，则商是 　　． 三、解答题（共6小题） 21．（2024秋•内乡县校级月考）根据下列语句列式并计算： （1）与0.3的和乘以2的倒数； （2）45加上15与的积； （3）34与6的商减去； （4）与的差的平方． 22．（2024秋•大理市校级月考）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 23．（2024秋•二道区校级月考）根据下列语句列式并计算： （1）与的绝对值的和； （2）2.5的相反数和的倒数的商． 24．（2024•衡阳开学）今年5月4日，衡阳市举办了首届马拉松比赛，吸引了来自全国各地和国外的15000名跑友参赛．小明也报名参加了欢乐跑家庭组项目（全程，他跑完全程共花了25分钟．那么，小明平均每小时跑多少？ 25．（2024春•浙江期中）对于任意有理数，，，，我们规定符号，，．例如：，，． （1）求，，的值； （2）求，，的值，其中． 26．（2023秋•淮南期中）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （1）上面解题过程有两处错误： 第一处是第 　　步，错误原因是 　　； 第二处是第 　　步，错误原因是 　　； （2）请写出正确的结果 　　． 一、选择题（共10小题） 1．【答案】 【分析】根据乘法法则进行计算即可． 【解答】解：原式； 故选：． 2．【答案】 【分析】根据相反数、绝对值、有理数的乘法法则逐个判断即可． 【解答】解：、相反数等于本身的数只有0，故该选项正确； 、若其中的有理数有0，则积既不是正数也不是负数，故该选项错误； 、只有互为相反数的两个数的和是0，而相反数的绝对值相等，故该选项错误； 、绝对值等于本身的数是正数和0，故该选项错误； 故选：． 3．【答案】 【分析】根据题意先计算出的值，再将结果代入得出本题答案． 【解答】解：计算时，误将“”看成“”而算得结果是， ， ， ， 故选：． 4．【答案】 【分析】将选项代入，得出运算结果即可． 【解答】解：，故选项错误； ，故选项错误； ，故选项错误； ，故选项正确； 故选：． 5．【答案】 【分析】根据倒数的定义即可求解． 【解答】解：， 的倒数是， 故选：． 6．【答案】 【分析】根据有理数的除法运算法则进行计算即可求解． 【解答】解：原式， 故选：． 7．【答案】 【分析】根据有理数的乘法与除法运算对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：、，故本选项错误； 、，故本选项正确； 、，故本选项错误； 、，故本选项错误． 故选：． 8．【答案】 【分析】根据题意列出求这个数的算式，再根据有理数的乘除法运算法则计算即可． 【解答】解：， 即这个数为9， 故选：． 9．【答案】 【分析】根据乘法的分配律进行计算即可得出答案． 【解答】解： ， 则选项符合题意． 故选：． 10．【答案】 【分析】根据有理数除法运算法则可知，异号相除得负，即要使所得的商最小必为一正一负相除，再分别计算取最小值即可． 【解答】解：由有理数除法运算法则可知，异号相除得负， 所以要使所得的商最小必为一正一负相除， 若选和4，则，； 若选和4，则，； 因为， 所以所得的商最小是， 故选：． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】． 【分析】先确定符号，再绝对值相乘即可求解． 【解答】解：原式． 故答案为：． 12．【答案】． 【分析】先根据负负为正，确定结果的正负；再用有理数乘法法则进行计算即可． 【解答】解：原式， 故答案为：． 13．【答案】． 【分析】根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，计算结果的符号的取法为“奇负偶正”，由此即可求解． 【解答】解： ， 故答案为：． 14．【答案】0． 【分析】根据倒数，相反数的定义求出的倒数与的相反数，然后相加即可得出答案． 【解答】解：，它的倒数是，的相反数是， 则， 即的倒数与的相反数的和是0， 故答案为：0． 15．【分析】先利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分即可得到结果． 【解答】解：原式． 故答案为：9 16．【答案】． 【分析】根据有理数的大小比较和有理数的乘法运算法则确定出两个异号且绝对值尽可能大的因数相乘即可得到乘积最小值． 【解答】解：两个数之积的最小值为：． 故答案为：． 17．【答案】． 【分析】两个不为零的数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘解题即可． 【解答】解：， 故答案为：． 18．【答案】． 【分析】先确定结果的符号，再把除法变成乘法进行约分． 【解答】解：原式 ； 故答案为：． 19．【答案】． 【分析】根据互为负倒数的定义可知，用即可得到0.25的负倒数． 【解答】解：， 的负倒数是． 故答案为：． 20．【答案】． 【分析】先求出除数，再根据有理数的除法法则计算即可． 【解答】解：除数是， 商是， 故答案为：． 三、解答题（共6小题） 21．【答案】（1）；（2）0；（3）6；（4）． 【分析】（1）（2）（3）（4）先根据题意列出算式，再计算算式的结果． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 22．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）700． 【分析】（1）先确定符号，将其化为假分数，再进行计算； （2）先确定符号，利用交换律和结合律计算； （3）先确定符号，再计算； （4）先确定符号，利用交换律和结合律计算． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 23．【答案】（1）4.3； （2）． 【分析】各个小题先根据题意，列出算式，进行计算即可． 【解答】解：由题意得 （1） ； （2） ． 24．【答案】． 【分析】根据速度路程时间即可求解． 【解答】解：25分钟小时小时， ， 即小明平均每小时跑． 25．【答案】（1）6；（2）． 【分析】（1）根据新定义写出算式再进行计算即可； （2）根据新定义写出算式再整体代入即可． 【解答】解：（1）原式 ． （2）原式 ， ， ， 原式． 26． 【分析】根据有理数的乘除运算法则即可求出答案． 【解答】解：（1）第一处是第二步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算． 第二处是第三步，错误原因是符号弄错． （2）原式 ． 故答案为：（1）二，没有按同级运算从左至右运算．二，符号弄错． （2）． 第12页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 有理数的乘除运算 1．有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积． 任何数与0相乘，都得0． 显然，两个有理数相乘，积是一个有理数． 2．倒数 乘积是1的两个数互为倒数． 3．有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即ab=ba． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，即（ab）c=a（bc）． （3）分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，即a（b+c）=ab+bc． 4．有理数乘法法则的推广 （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． （2）几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 5．有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即（b≠0）． （2）从有理数除法法则，容易得出：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． 6．有理数的乘除混合运算 （1）因为乘法与除法是同一级运算，应按从左到右的顺序运算． （2）结果的符号由算式中负因数的个数决定，负因数的个数是偶数时结果为正，负因数个数是奇数时结果为负． （3）化成乘法后，应先约分再相乘． （4）有理数的乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果． 7．有理数的加减乘除混合运算 先乘除，后加减，有括号的先计算括号里面的．同级运算中，按照从左到右的顺序计算，并能合理运用运算律简化运算． 考点01 倒数 1．求倒数的方法： （1）求分数的倒数：交换分子、分母的位置． （2）求整数的倒数：整数分之1． （3）求带分数的倒数：先化成假分数，再求倒数． （4）求小数的倒数：先化成分数再求倒数． 2．1的倒数是它本身，因为11=1． 0没有倒数，因为任何数乘0积都是0，且0不能作分母． 3．任意数a（a≠0），它的倒数为． 4．真分数的倒数是假分数，真分数的倒数大于1，也大于它本身； 假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1． 【典例1】　（2024秋•芙蓉区校级月考）的倒数是　　 A． B． C． D．以上都不是 【答案】 【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数求解． 【解答】解：． 的倒数是． 故选：． 【典例2】　（2024•定西二模）的倒数的绝对值为　　 A． B． C．2021 D． 【答案】 【分析】利用倒数的定义结合绝对值的性质即可答案． 【解答】解：的倒数为， 的绝对值为． 故选：． 【典例3】　（2024秋•凉州区校级月考）下列各组中两数互为倒数的是　　 A．0和0 B．4和 C．和 D．和 【答案】 【分析】根据倒数的定义可知，乘积是1的两个数互为倒数． 【解答】解：．0没有倒数，和0不互为倒数，故不符合题意； ．，和不互为倒数，故不符合题意； ．，和不互为倒数，故不符合题意； ．，和互为倒数，故符合题意． 故选：． 考点02 有理数的乘除运算 1．在进行除法运算时，若能整除，则根据“两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除”进行计算；若不能整除，则根据“除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数”进行计算；除法算式中的小数常化成分数，带分数常化成假分数，以利于转化为乘法时约分；0不能作除数（即分母）． 2．有理数乘除混合运算的步骤： （1）将除法转化为乘法，除数转化为倒数； （2）先确定积的符号，再把绝对值相乘； （3）运用乘法运算律简化计算； （4）求出最简结果． 【典例4】　（2024秋•市中区校级月考）计算． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）15． 【分析】（1）利用有理数的乘法法则计算即可； （2）利用有理数的乘法和除法法则计算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【典例5】　（2024秋•白塔区校级月考）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）按照混合运算法则，同级运算，谁在前面先算谁，进行计算即可； （2）交换乘数的位置，进行简便计算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【典例6】　（2024秋•甘井子区校级月考）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）运用有理数乘法运算律以及法则计算即可； （2）根据有理数除法法则计算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 考点03 有理数的乘法运算律 （1）运用交换律时，在交换因数的位置时，要连同符号一起交换． （2）运用分配律时，要用括号外的因数乘括号内每一个因数，不能有遗漏． （3）逆用：有时可以把运算律“逆用”，例如逆用乘法分配律的符号表示为：ab+ac=a（b+c）． （4）推广：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘，如abcd=d（ac）b． 【典例7】　（2023秋•桦南县校级期中）用简便方法计算 （1） （2） 【分析】（1）将变形为，然后依据乘法的分配律进行计算即可； （2）逆用乘法的分配律计算即可． 【解答】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 【典例8】　（2024秋•庐江县校级月考）用简便方法计算： ①； ②． 【答案】①；②． 【分析】①利用乘法分配律计算即可； ②利用乘法分配律计算即可． 【解答】解：①原式 ． ②原式 ． 【典例9】　（2024秋•双城区校级月考）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：，看谁算的又快又对，小明同学的解法如下：原式，根据上面的解法，请你再写一种你认为合适的方法计算． 【答案】答案见解答过程． 【分析】把转化为，再利用乘法分配律简便计算即可求解． 【解答】解： ． 考点04 有理数的乘除在实际生活中的应用 1．生活中计算水费、电费、出租车费用时常用到有理数的混合运算．解决这类问题的关键是（1）观察好每个阶段未知数的取值范围及收费标准；（2）辨别问题中所求量在哪个阶段中，并进行计算． 2．解题步骤： （1）读题列式，将实际问题转化为有理数四则运算问题． （2）按照有理数的四则运算法则进行变形． （3）根据运算法则、运算律进行计算． 【典例10】　（2024秋•南安市校级月考）天气渐渐热了，又到了饮料的销售旺季，济南、、三个超市都进了一批相同的料，同一规格的饮料定价相同．大瓶10元，小瓶2.5元．为了抢占市场，分别推出不同的优惠措施：超市买大瓶送小瓶；超市一律打九折；超市购买满30元就能全部打八折．下表是四位顾客的购买情况，请你帮助这些顾客计算去哪家超市购买花钱最少，并把结果填入下面的表格中． 顾客 甲 乙 丙 丁 购买情况 10小瓶 5大瓶 4大6小 1大2小 选择商场 所花钱数（元 【答案】甲到超市购买花钱最少，乙到超市购买花钱最少，丙到超市购买花钱最少，丁到超市购买花钱最少． 【分析】分别对每位顾客计算出相应的超市的费用即可得出结果． 【解答】解：顾客甲：只买10小瓶，（元，只买10小瓶，到或超市购买无优惠，到超市购买有优惠，花费为（元； 顾客乙：只买5个大瓶，（元，已满30元，到超市购买无优惠，到超市购买九折，到超市购买八折，应该到超市购买更便宜，花费； 顾客丙：买4大瓶6小瓶，（元，如果选超市就是：（元，如果选超市就是：（元，选超市就是：（元，所以选超市， 顾客丁：买1大瓶和2小瓶，（元，如果选超市：（元，如果选超市就是：（元，如果选超市无优惠，所以选购买花钱最少． 顾客 甲 乙 丙 丁 购买情况 10小瓶 5大瓶 4大6小 1大2小 选择商场 所花钱数（元 22.5 40 44 12.5 答：甲到超市购买花钱最少，乙到超市购买花钱最少，丙到超市购买花钱最少，丁到超市购买花钱最少． 【典例11】　（2023•临平区开学）爸爸每年车辆保养和使用的相关信息如图： 　　．保养、维修平均每月240元 　　．汽油每升8元 　　．汽车走高架比普通路每千米耗油节省 　　．平均每月行驶1000千米 　　．平均10千米大约耗油0.9升 （1）爸爸想计算出平均每月油耗多少钱，他需要用到记录单上的哪些信息？请在信息前打“”． （2）根据你选出的信息，计算出爸爸平均每月油耗大约需要多少钱？ 【答案】（1），，；（2）720． 【分析】（1）要求每月油耗，需要知道每月耗油量及油价，每月耗油量可以用行驶路程乘每千米耗油量计算； （2）根据所给条件计算爸爸每月加油大约需要多少钱即可． 【解答】解：（1）要计算油耗，需知道每月耗油量及油价，每月耗油量可以用行驶路程乘每千米耗油量计算；则 ．保养、维修平均每月240元 ．汽油每升8元 ．汽车走高架比普通路每千米耗油节省 ．平均每月行驶1000千米 ．平均10千米大约耗油0.9升 （2）（元． 答：爸爸平均每月油耗大约需要720元． 【典例12】　（2024•环江县校级开学）我们环江毛南族自治县有一个编织组，原来30人10天生产150顶花竹帽．现在增加到120人，按照原来的功效，要生产900顶花竹帽需要多少天？ 【答案】15天． 【分析】先求出原来每人每天生产的顶数，即可求出现在要生产900顶花竹帽需要的天数． 【解答】解： （天）． 答：要生产900顶花竹帽需要15天． 考点05 有理数的加减乘除混合运算 1．有理数的加减乘除混合运算： （1）通常加减运算要统一成加法运算，乘除运算要统一成乘法运算． （2）分配律既可以正用，也可以逆用，根据实际情况恰当选择． 2．运算口诀：混合运算有顺序，同级运算左至右；先算乘除后加减，转化思想时时用；若有括号它优先，先算括号里面的． 3．在有理数的混合运算中， （1）常以加减号为界，把式子分成若干个部分，每一部分同时单独运算． （2）通常把小数化为分数，把带分数化为假分数，以便于通分、约分计算． （3）除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算． （4）不能随意改变运算顺序． 【典例13】　（2024秋•凉州区校级月考）计算： （1） （2） （3） 【答案】（1）4；（2）1；（3）． 【分析】（1）根据有理数的加法运算法则求解即可； （2）根据有理数的乘除运算法则求解即可； （3）首先利用有理数的乘法分配律求解，化简绝对值，然后计算加减即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 【典例14】　（2024秋•龙岩校级月考）计算（温馨提醒：需写解：原式） （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）先算小括号里面的加减法，再算括号外面的除法； （2）根据乘法分配律简便计算． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【典例15】　（2024秋•中原区校级月考）计算： （1）； （2） （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）1； （3）3； （4）14． 【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （3）先化简绝对值和除法，然后计算加法； （4）首先利用有理数的乘法分配律求解，然后计算加减即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 考点06 新定义问题 认真理解新定义，在给出的式子中，有括号先算括号里的．新定义的运算，不一定满足加法或乘法运算律，不能应用运算律去括号． 【典例16】　（2023秋•天宁区校级月考）对于有理数、，定义运算：，计算的值　　． 【答案】． 【分析】根据题意可得，据此求解即可． 【解答】解：， ， 故答案为：． 【典例17】　（2023秋•天门月考）定义运算，则　　． 【分析】首先计算的值，然后根据定义确定利用哪种运算法则，然后求解． 【解答】解：， 则原式． 故答案为：6． 【典例18】　（2023秋•富县期末）数学探究课上，老师布置的任务如下： 任务一：自学阅读材料．我们定义：如果两个有理数的差等于这两个有理数的商，那么这两个有理数就叫做“差商等数对”．即：如果，那么与就叫做“差商等数对”，记为．例如：，，则称数对，，是“差商等数对”． 任务二：根据自学阅读材料，尝试解决下列问题： （1）下列数对中，是“差商等数对”的是 　　；（填序号） ①； ②； （2）若是“差商等数对”，求出的值； （3）若是“差商等数对”，求的值． 【答案】（1）②； （2）； （3）． 【分析】（1）根据“差商等数对”的定义分别判断即可； （2）根据“差商等数对”的定义得出，即可求出的值； （3）根据“差商等数对”的定义得出，即可求出的值． 【解答】解：（1）①，， ， 不是“差商等数对”； ②，， ， 是“差商等数对”； 故答案为：②； （2）因为是“差商等数对”， 所以， 解得； （3）因为是“差商等数对”， 所以， 解得． 第1页（共16页） 学科网（北京）股份有限公司 $$