空间向量与立体几何--2025届高中数学一轮复习专题训练

空间向量与立体几何--2025届高中数学一轮复习专题训练 一、选择题 1．已知点P是点在坐标平面内的射影，则( ) A. B. C.2 D. 2．已知点，空间内一平面过原点O，且垂直于向量，则点M到平面的距离为( ) A. B. C. D. 3．如图，在正方体中，E为棱上的一个动点，F为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的取值范围是( ) A. B. C. D. 4．在三棱锥中,E是棱的中点,且,则( ) A. B. C. D. 5．在空间直角坐标系中，已知，，则A到的距离为( ) A.3 B. C. D. 6．在长方体中,下列向量与是相等向量的是( ) A. B. C. D. 7．下列可使,,构成空间的一个基底的条件是( ) A.,,两两垂直 B. C. D. 8．已知,,则向量在向量上的投影向量是( ) A. B. C. D. 9．如图所示，在平行六面体中，M为与的交点.若，，，则( ) A. B. C. D. 10．已知为空间的一组基底,则下列向量也能作为空间的一组基底的是( ) A.,, B.,, C.,, D.,, 二、填空题 11．某中学组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作帐篷.将一块边长为的正方形材料先按如图①所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其中），然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷（如图②）.该四棱锥底面ABCD是正方形，从顶点P向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为_________. 12．已知直三棱柱，，，点P为此直三棱柱表面上一动点，且，当取最小值时，的值为__________. 13．已知空间直角坐标系中的三点、、，则点A到直线的距离为__________. 14．已知,,,若,,共面,则实数___________. 三、解答题 15．如图,四棱锥的底面为正方形,底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l． （1）证明：平面PDC; （2）已知,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 参考答案 1．答案：B 解析：因为点P是点在坐标平面内的射影，则，则， 因此， 故选：B. 2．答案：A 解析：由题意可得：，平面的法向量为， 所以点M到平面的距离为. 故选：A. 3．答案：A 解析： 设平面与底面所成的二面角的平面角为，由图可得不为钝角. 以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，故， 又底面的一个法向量为， 所以，因为， 则， 当时，， 当时，，当，， 则，，则， 则当，时，分母取到最小值，此时， 当，时，则，此时， 综上， 故选：A. 4．答案：D 解析：因为E是棱的中点,, 所以 . 故选：D. 5．答案：D 解析：因为，，， 所以，，，， 所以， 所以， 所以A到的距离为. 故选：D. 6．答案：B 解析：如图所示的长方体中, A：向量与方向相反,所以这两个向量不相等,因此本选项不正确; B：向量与大小相等,方向相同,所以这两个向量相等,因此本选项正确; C：向量与方向相反,所以这两个向量不相等,因此本选项不正确; D：显然向量与向量方向相反,所以这两个向量不相等,因此本选项不正确, 故选：B. 7．答案：A 解析：由空间任意三个不共面的向量都可以组成空间的一个基底可得A正确; 若,则与共线,此时与必然共面,所以无法构成空间基底,B错误; 与都表示共面,C,D错误． 故选：A 8．答案：C 解析：因为,, 则向量在向量上的投影为, 所以向量在向量上的投影向量是. 故选:C. 9．答案：D 解析：.故选D. 10．答案：B 解析：对于A项,因为,则,,共面,不能作为基底,故A不符合题干. 对于选项B,假设,,共面,则存在,使,所以无解,所以,,不共面,可以作为空间的一组基底. 对于C项,因为,则,,共面,不能作为基底,故C不符合题干. 对于D项,,则,,共面,不能作为基底,故D不符合题干. 故选：B. 11．答案： 解析：设AC与BD的交点为点O，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 由题意可知，，，，，故，，，，. 设平面PBC的法向量为，又，，则有即 令，可得平面PBC的一个法向量为.设与平面PBC的法向量n的夹角为，则，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为. 12．答案：或 解析：由可得P是在以B为球心半径为4的球面上， 由于，， 取值最小时，其在平面内， 其在平面的交线为如图所示的圆弧. 故取值最小时，B，P，三点共线， 通过点P往作垂线，垂足为M，则， 则，故， 代入解得，从而， 因此 . 故答案为：. 13．答案： 解析：依题意，，， 所以点A到直线的距离， 故答案为：. 14．答案：9 解析：,,,, 由若,,共面,则存在实数m,n,使得, , , 解得,, . 故答案为9. 15．答案：（1）证明见解析; （2）. 解析：（1）证明：在正方形ABCD中,,因为平面PBC,平面PBC, 所以平面PBC,又因为平面PAD,平面平面, 所以,因为在四棱锥中,底面ABCD是正方形, 所以,且平面ABCD,所以,, 因为,所以平面． （2）［方法一］【最优解】：通性通法 因为DP,DA,DC,两两垂直,建立空间直角坐标系,如图所示： 因为,设,,,, 设,则有,, 设平面QCD的法向量为, 则,即, 令,则,所以平面QCD的一个法向量为, 则 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值, 所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值等于, 当且仅当时取等号,所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为. ［方法二］：定义法 如图2,因为平面PBC,,所以平面PBC． 在平面PQC中,设． 在平面PAD中,过P点作,交于F,连接EF． 因为平面平面,所以． 又由平面PAD,平面, 所以平面．又平面PAD, 所以．又由,,平面QOC,平面QDC, 所以平面QDC,从而即为PB与平面QCD所成角． 设,在中,易求． 由与相似,得,可得． 所以,当且仅当时等号成立． ［方法三］：等体积法 如图3,延长CB至G,使得,连接GQ,GD,则,过G点作平面QDC,交平面QDC于M,连接QM,则即为所求． 设,在三棱锥中,． 在三棱锥中,． 由得, 解得, 当且仅当时等号成立． 在中,易求,所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$