四川省攀枝花市大河中学校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷

人教A版新教材必修第一册2024-2025学年四川省攀枝花市高一(上)月考数学试卷 一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要求) 1.(5分)已知集合A={﹣1,0,1},B={0,1,2},则A∪B=( ) A.{﹣1,1,2} B.{0,1} C.{﹣1,0,1,2} D.{﹣1,0,2} 2.(5分)已知集合M={1,2,3,4,5},N={1,3,5,7,9},且M,N都是全集U的子集,则如图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为( ) A.{1,3,5} B.{2,4} C.{7,9} D.{1} 3.(5分)已知命题p:∀x>0,x+>2,则￢p为( ) A.∀x>0, B.∀x≤0, C.∃x≤0, D.∃x>0, 4.(5分)设甲:x>1,y>1,乙:xy>1,则( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5.(5分)已知集合A={1,a,b},B={a2,a,ab},若A=B,则a2023+b2022=( ) A.﹣1 B.0 C.1 D.2 6.(5分)对于实数a,b,c,下列说法正确的是( ) A.若a>b,则 B.若a>b,则ac2>bc2 C.若a>0>b,则ab<a2 D.若c>a>b,则 7.(5分)设,,,则P,Q,R的大小顺序是( ) A.P>Q>R B.P>R>Q C.Q>P>R D.Q>R>P 8.(5分)设正实数x,y满足x>,y>1,不等式+≥m恒成立,则m的最大值为( ) A.2 B.4 C.8 D.16 二、多选题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) (多选)9.(6分)已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有2个子集,则a的取值有( ) A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1 (多选)10.(6分)已知实数x,y满足1<x<6,2<y<3,则( ) A.3<x+y<9 B.﹣1<x﹣y<3 C.2<xy<18 D. (多选)11.(6分)我们知道,如果集合A⊆S,那么S的子集A的补集为∁sA={x|x∈S,x∉A}.类似的,对于集合A、B,我们把集合{x|x∈A,x∉B}叫做集合A与B的差集,记作A﹣B.例如,A={1,2,3,4,5},B={4,5,6,7,8},则有A﹣B={1,2,3},B﹣A={6,7,8}.下列说法正确的是( ) A.若A={x|x>2},B={x|x>2或x<﹣2},则B﹣A={x|x<﹣2} B.若A﹣B=∅,则B⊆A C.若S是高一(1)班全体同学的集合,A是高一(1)班全体女同学的集合,则S﹣A=∁SA D.若A∩B={2},则2一定是集合A﹣B的元素 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分,把答案填在题中的横线上) 12.(5分)设集合A={2,1﹣a,5},若4∈A,则a= . 13.(5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,2,3,4},B={1,3,5},则∁U(A∪B)= . 14.(5分)已知命题p:∃x∈{x|2≤x≤3},3x﹣a>0,命题p:∀x∈R,都有ax2+4x﹣1≠0,若命题p为真命题,命题q为假命题,则实数a的取值范围是 . 四、解答题(本大题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(15分)已知集合U=R,A={x|﹣2≤x≤5},B={x|4≤x≤6}.求: (1)A∩B; (2)(∁UA)∩B; (3)∁U(A∪B). 16.(15分)已知集合A={x|x2﹣3x+2=0},B={x|x2﹣(m+1)x+m2﹣2=0},C={x|x2﹣2x+n﹣1=0}. (1)命题p:∀x∈A,都有x∈B,若命题p为真命题,求实数m的值; (2)已知p:x∈A,q:x∈C,若p是q的必要不充分条件,求实数n的取值范围. 17.(15分)记全集U=R,集合A={x|a﹣2≤x≤2a+1,a∈R},B={x|x≤3,或x≥7}. (1)若a=4,求(∁UA)∩B; (2)若A∪B=R,求a的取值范围; (3)若A∩B=A,求a的取值范围. 18.(15分)(1)a=x3+y3,b=x2y+xy2,其中x,y均为正实数,比较a,b的大小; (2)证明:已知a>b>c,且a+b+c=0,求证:. 19.(17分)已知集合A={x1,x2,⋯,xn},n∈N*,n≥3,若x∈A,y∈A,x+y∈A或x﹣y∈A,则称集合A具有“包容”性. (1)判断集合{﹣1,1,2,3}和集合{﹣1,0,1,2}是否具有“包容”性; (2)若集合B={1,a,b}具有“包容”性,求a2+b2的值; (3)若集合C具有“包容”性,且集合C的子集有64个,1∈C,试确定集合C. 人教A版新教材必修第一册2024-2025学年四川省攀枝花市高一(上)月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要求) 1.(5分)已知集合A={﹣1,0,1},B={0,1,2},则A∪B=( ) A.{﹣1,1,2} B.{0,1} C.{﹣1,0,1,2} D.{﹣1,0,2} 【分析】进行并集的运算即可. 【解答】解:∵A={﹣1,0,1},B={0,1,2}, ∴A∪B={﹣1,0,1,2}. 故选:C. 【点评】本题考查了列举法的定义,并集的定义及运算,考查了计算能力,属于基础题. 2.(5分)已知集合M={1,2,3,4,5},N={1,3,5,7,9},且M,N都是全集U的子集,则如图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为( ) A.{1,3,5} B.{2,4} C.{7,9} D.{1} 【分析】根据韦恩图即可求解. 【解答】解:因为M={1,2,3,4,5},N={1,3,5,7,9}, 所以M∩N={1,3,5}. 故选:A. 【点评】本题主要考查了集合的基本运算,属于基础题. 3.(5分)已知命题p:∀x>0,x+>2,则￢p为( ) A.∀x>0, B.∀x≤0, C.∃x≤0, D.∃x>0, 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题,求解即可. 【解答】解:根据全称量词命题的否定是存在量词命题知, 命题p:∀x>0,x+>2,则￢p为:∃x>0,x+≤2. 故选:D. 【点评】本题考查了全称量词命题的否定应用问题,是基础题. 4.(5分)设甲:x>1,y>1,乙:xy>1,则( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【分析】由充分条件与必要条件的性质即可得. 【解答】解:当x>1,y>1时,xy>1, 当xy>1时,有、y=3,可使xy>1,但不符合甲, 故甲是乙的充分条件但不是必要条件. 故选:A. 【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断,属于基础题. 5.(5分)已知集合A={1,a,b},B={a2,a,ab},若A=B,则a2023+b2022=( ) A.﹣1 B.0 C.1 D.2 【分析】根据A=B可得出或,解出a,b的值,然后即可求出答案. 【解答】解:∵A=B, ∴或,解得a=﹣1,b=0, ∴a2023+b2022=﹣1. 故选:A. 【点评】本题考查了集合相等的定义,集合元素的互异性,考查了计算能力,属于基础题. 6.(5分)对于实数a,b,c,下列说法正确的是( ) A.若a>b,则 B.若a>b,则ac2>bc2 C.若a>0>b,则ab<a2 D.若c>a>b,则 【分析】根据不等式的基本性质及恰当的特殊值可逐一判断. 【解答】解:对于A选项,若a=0或b=0,或显然无意义.故A选项错误; 对于B选项,若c=0,则ac2=bc2.故B选项错误; 对于C选项,因为a>0>b,所以各项同时乘以a得a2>0>ab.故C正确; 对于D选项,因为c>a>b,所以﹣c<﹣a<﹣b,所以0<c﹣a<c﹣b, 所以,即.因为根据题意不知道a,b的符号, 所以无法满足同向可乘性的条件.故D错误. 故选:C. 【点评】本题考查了不等式的基本性质,是基础题. 7.(5分)设,,,则P,Q,R的大小顺序是( ) A.P>Q>R B.P>R>Q C.Q>P>R D.Q>R>P 【分析】要比较它们的大小,作差,R﹣Q与零大小,即可转化为与的大小,观察它们的被开方数和相等,所以可以用平方的方法进行比较.根据完全平方公式分别计算,展开都是两部分,其中整数部分相同,只需再进一步比较其带根号的部分即可求解. 【解答】解:∵P﹣R==2>0 ∴P>R R﹣Q==()﹣() 而=9+2,=9+2, 而18>14, ∴ 即R>Q, 综上P>R>Q, 故选:B. 【点评】此题主要考查了实数的大小的比较,比较两个实数的大小,可以采用作差法、取近似值法、比较平方法等.此题采用了平方的方法,属基础题. 8.(5分)设正实数x,y满足x>,y>1,不等式+≥m恒成立,则m的最大值为( ) A.2 B.4 C.8 D.16 【分析】不等式+≥m恒成立,转化为求+的最小值,可得m的最大值.将分母转化为整数,设y﹣1=b,则y=b+1,令2x﹣1=a,x=(a+1),利用基本不等式的性质即可得出. 【解答】解:设y﹣1=b,则y=b+1,令2x﹣1=a,x=(a+1),a>0,b>0. 那么:+==2(当且仅当a=b=1即x=1,y=2时取等号. ∴+的最小值为8, 则m的最大值为8. 故选:C. 【点评】本题考查了基本不等式的性质的运用解决恒成立的问题,利用了换元法转化求解,多次使用基本不等式解决问题的关键,属于中档题. 二、多选题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) (多选)9.(6分)已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有2个子集,则a的取值有( ) A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1 【分析】根据已知条件,推得A仅有1个元素,再分类讨论,即可求解. 【解答】解:∵集合A有且仅有2个子集, ∴A仅有1个元素, 当a=0时,集合A={0},符合题意, 当a≠0时, =4﹣4a2=0,解得a= 1, 当a=1时,A={﹣1},符合题意, 当a=﹣1时,A={1},符合题意, 故选:BCD. 【点评】本题主要考查集合子集的定义,属于基础题. (多选)10.(6分)已知实数x,y满足1<x<6,2<y<3,则( ) A.3<x+y<9 B.﹣1<x﹣y<3 C.2<xy<18 D. 【分析】由不等式的性质直接求解. 【解答】解:因为1<x<6,2<y<3,则3<x+y<9,2<xy<18,故A、C正确; 由题﹣3<﹣y<﹣2,故﹣2<x﹣y<4,B错误; 1<y﹣1<2,则,故,D正确. 故选:ACD. 【点评】本题主要考查了不等式性质的应用,属于基础题. (多选)11.(6分)我们知道,如果集合A⊆S,那么S的子集A的补集为∁sA={x|x∈S,x∉A}.类似的,对于集合A、B,我们把集合{x|x∈A,x∉B}叫做集合A与B的差集,记作A﹣B.例如,A={1,2,3,4,5},B={4,5,6,7,8},则有A﹣B={1,2,3},B﹣A={6,7,8}.下列说法正确的是( ) A.若A={x|x>2},B={x|x>2或x<﹣2},则B﹣A={x|x<﹣2} B.若A﹣B=∅,则B⊆A C.若S是高一(1)班全体同学的集合,A是高一(1)班全体女同学的集合,则S﹣A=∁SA D.若A∩B={2},则2一定是集合A﹣B的元素 【分析】根据所给定义判断A、C正确;选项B、D可以通过举反例来证明错误. 【解答】解:对于A,根据差集的定义可得B﹣A={x|x<﹣2},故A正确; 对于B,若A={1,2,3},B={1,2,3,4,5},则A﹣B=∅,显然A⊆B,故B错误; 对于C,根据差集的定义可判断C正确; 对于D,设A={1,2,3},B={2,4,5},则A∩B={2},A﹣B={1,3},此时2∉A﹣B,故D错误. 故选:AC. 【点评】本题主要考查了元素与集合关系的应用,属于基础题. 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分,把答案填在题中的横线上) 12.(5分)设集合A={2,1﹣a,5},若4∈A,则a= ﹣3 . 【分析】根据元素和集合的关系求解即可. 【解答】解:因为集合A={2,1﹣a,5},且4∈A, 所以1﹣a=4,解得a=﹣3. 故答案为:﹣3. 【点评】本题考查集合与元素之间的关系,考查学生的逻辑思维能力,属基础题. 13.(5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,2,3,4},B={1,3,5},则∁U(A∪B)= {6} . 【分析】先求出A∪B,可得∁U(A∪B). 【解答】解:A∪B={1,2,3,4,5}, ∴∁U(A∪B)={6}. 故答案为:{6}. 【点评】本题考查了集合的运算法则,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 14.(5分)已知命题p:∃x∈{x|2≤x≤3},3x﹣a>0,命题p:∀x∈R,都有ax2+4x﹣1≠0,若命题p为真命题,命题q为假命题,则实数a的取值范围是 {a|﹣4≤a<9} . 【分析】根据p为真命题,得a<(3x)max,故a<9,根据 p:∃x∈R,ax2+4x﹣1=0为真命题得a≥﹣4,即可求解. 【解答】解:由题意可得,x∈{x|2≤x≤3},使得a<3x为真命题,故a<(3x)max,故a<9, 若命题q为假命题,则 p:∃x∈R,ax2+4x﹣1=0为真命题, 故a=0或,解得a≥﹣4, 故命题p为真命题,命题q为假命题,则﹣4≤a<9. 故答案为:{a|﹣4≤a<9}. 【点评】本题主要考查了全称量词及存在量词命题的真假关系的应用,属于中档题. 四、解答题(本大题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(15分)已知集合U=R,A={x|﹣2≤x≤5},B={x|4≤x≤6}.求: (1)A∩B; (2)(∁UA)∩B; (3)∁U(A∪B). 【分析】(1)直接利用交集定义求A∩B, (2)先求出∁UA,再计算(∁UA)∩B, (3)利用并集定义求A∪B,再计算∁U(A∪B). 【解答】解:集合U=R,A={x|﹣2≤x≤5},B={x|4≤x≤6}, (1)A∩B={x|﹣2≤x≤5}∩{x|4≤x≤6}={x|4≤x≤5}. (2)由于∁UA={x|x<﹣2,或x>5},所以(∁UA)∩B={x|5<x≤6}. (3)A∪B={x|﹣2≤x≤6},∁U(A∪B)={x|x<﹣2,或x>6}. 【点评】本题考查集合的描述法表示,集合的基本运算.考查逻辑思维,运算求解能力. 16.(15分)已知集合A={x|x2﹣3x+2=0},B={x|x2﹣(m+1)x+m2﹣2=0},C={x|x2﹣2x+n﹣1=0}. (1)命题p:∀x∈A,都有x∈B,若命题p为真命题,求实数m的值; (2)已知p:x∈A,q:x∈C,若p是q的必要不充分条件,求实数n的取值范围. 【分析】(1)根据p为真命题,可得A⊆B,即可根据韦达定理求解, (2)将p是q的必要不充分条件转化为C⫋A,即可根据C={2},C={1}和C=∅分别求解. 【解答】解:(1)由题意可得A={x|x2﹣3x+2=0}={1,2}, 由于p:∀x∈A,都有x∈B为真命题,故A⊆B, 因为B={x|x2﹣(m+1)x+m2﹣2}=0, 因此B={1,2},故1+2=m+1且1 2=m2﹣2,故m=2; (2)由于p是q的必要不充分条件,则C⫋A, 因为A={1,2}, 当C={2}时,则,则n不存在, 当C={1}时,则,解得n=2, 当C=∅时,则 =4﹣4(n﹣1)<0,解得n>2, 综上:n的范围为{n|n≥2}. 【点评】本题主要考查了集合包含关系的应用,体现了分类讨论思想的应用,属于中档题. 17.(15分)记全集U=R,集合A={x|a﹣2≤x≤2a+1,a∈R},B={x|x≤3,或x≥7}. (1)若a=4,求(∁UA)∩B; (2)若A∪B=R,求a的取值范围; (3)若A∩B=A,求a的取值范围. 【分析】(1)利用集合的补集和交集的运算,即可求解; (2)由A∪B=R,列出不等式组,求解即可; (3)由A∩B=A,则A⊆B,再分集合A是否为空集,进行分类讨论求a的取值范围即可. 【解答】解:(1)当a=4时,集合A={x|a﹣2≤x≤2a+1,a∈R}, 则A={x|2≤x≤9},则∁UA={x|x<2,或x>9}, 因此(∁UA)∩B={x|x<2,或x>9}. (2)若A∪B=R,则,解得3≤a≤5, 故a的取值范围为[3,5]. (3)若A∩B=A,则A⊆B, 当A=∅时,a﹣2>2a+1,解得a<﹣3, 当A≠∅时,,或, 解得﹣3≤a≤1,或a≥9, 综上知,a的取值范围为(﹣∞,1]∪[9,+∞). 【点评】本题主要考查集合的混合运算,属于基础题. 18.(15分)(1)a=x3+y3,b=x2y+xy2,其中x,y均为正实数,比较a,b的大小; (2)证明:已知a>b>c,且a+b+c=0,求证:. 【分析】(1)利用作差法判断即可; (2)根据不等式的性质证明即可. 【解答】解:(1)因为a=x3+y3,b=x2y+xy2, 作差得a﹣b=x3+y3﹣(x2y+xy2)=x2(x﹣y)+y2(y﹣x) =(x﹣y)(x2﹣y2)=(x+y)(x﹣y)2, 因为x>0,y>0,所以x+y>0,(x﹣y)2≥0, 所以a﹣b≥0,即a≥b; (2)证明:因为a>b>c,且a+b+c=0,a>0,c<0, 因为a>b>c,所以c﹣a<b﹣a<0, 所以(c﹣a)(b﹣a)>0,, 所以﹣(c﹣a)>﹣(b﹣a)>0,, 所以, 所以, 故. 【点评】本题考查了作差比较法,不等式的性质,是基础题. 19.(17分)已知集合A={x1,x2,⋯,xn},n∈N*,n≥3,若x∈A,y∈A,x+y∈A或x﹣y∈A,则称集合A具有“包容”性. (1)判断集合{﹣1,1,2,3}和集合{﹣1,0,1,2}是否具有“包容”性; (2)若集合B={1,a,b}具有“包容”性,求a2+b2的值; (3)若集合C具有“包容”性,且集合C的子集有64个,1∈C,试确定集合C. 【分析】(1)根据“包容”性的定义,逐一判断即可; (2)根据“包容”性的定义,能得到0∈{1,a,b},分类讨论,得出a和b的值,即可得出结果; (3)由集合C的子集有64个,推出集合C中共有6个元素,且0∈C,再由条件1∈C,推出集合中有正数也有负数,将这几个元素设出来,再通过对正数负数个数的讨论,即可求出结果. 【解答】解:(1)集合{﹣1,1,2,3}中的3+3=6∉{﹣1,1,2,3},3﹣3=0∉{﹣1,1,2,3}, 所以集合{﹣1,1,2,3}不具有“包容”性, 集合{﹣1,0,1,2}中的任何两个相同或不同的元素,相加或相减,得到的两数中至少有一个属于集合{﹣1,0,1,2}, 所以集合{﹣1,0,1,2}具有“包容”性; (2)已知集合B={1,a,b}具有“包容”性,记m=max{1,a,b},则m≥1, 易得2m∉{1,a,b},从而必有0∈{1,a,b}, 不妨令a=0,则B={1,0,b},b≠0且b≠1, 则{1+b,1﹣b}∩{1,0,b}≠∅, 且{1+b,b﹣1}∩{1,0,b}≠∅, ①当1+b∈{1,0,b}时,若1+b=0,得b=﹣1,此时B={1,0,﹣1}具有包容性; 若1+b=1,得b=0,舍去;若1+b=b,无解; ②当1+b∉{1,0,b}时,则{1﹣b,b﹣1}⊆{1,0,b},由b≠0且b≠1,可知b无解, 故B={1,0,﹣1}. 综上,a2+b2=1; (3)因为集合C的子集有64个,所以集合C中共有6个元素,且0∈C,又1∈C,且C中既有正数也有负数, 不妨设C{﹣bk,﹣bk﹣1,⋯,﹣b1,0,a1,a2,⋯,at}, 其中k+l=5,0<a1<⋯<at,0<b1<⋯<bk, 根据题意{a1﹣al,⋯,al﹣1﹣al}⊆{﹣bk,﹣bk﹣1,⋯,﹣b1}, 且{bk﹣b1,bk﹣1﹣b1,⋯,b2﹣b1}⊆{a1,a2,⋯,al}, 从而(k,l)=(2,3)或(3,2). ①当(k,l)=(3,2)时,{b3﹣b1,b3﹣b2}={a1,a2}, 并且由{﹣b3+b1,﹣b3+b2}={﹣b1,﹣b2},得b3=b1+b2,由a2﹣a1∈{a1,a2},得a2=2a1, 由上可得(b2,b1)=(b3﹣b1,b3﹣b2)=(a2,a1)=(2a1,a1),并且b3=b1+b2=3a1, 综上可知C={﹣3a1,﹣2a1,﹣a1,0,a1,2a1}; ②当(k,l)=(3,2)时,同理可得C={﹣2a1,﹣a1,0,a1,2a1,3a1}. 综上,C中有6个元素,且1∈C时,符合条件的集合C有5个, 分别是{﹣2,﹣1,0,1,2,3},,,{﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2}或. 【点评】本题主要考查了集合中的新定义问题,考查了分类讨论的数学思想,属于中档题. 声明:试题解析著作权属所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2024/11/8 10:49:02;用户:攀枝花市大河中学校;邮箱:dahe@xyh.com;学号:43949091 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $$