第23章 图形的相似——《位似图形》拓展训练 2024—2025学年华东师大版数学九年级上册

《位似图形》拓展训练 一、选择题（ 本大题共5小题，共25.0分） 1．（5分）如图，点O是等边三角形PQR的中心，P'、Q'、R'分别是OP、OQ、OR的中点，则△P'Q'R'与△PQR是位似三角形，此时△P'Q'R'与△PQR的位似比、位似中心分别是（　　） A．2、点P B．、点P C．2、点O D．、点O 2．（5分）如图，△DEF和△ABC是位似图形点O是位似中心，点D，E，F，分别是OA，OB，OC的中点，若△ABC的面积是8，△DEF的面积是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（5分）△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，若△DEF的面积是2，则△ABC的面积是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（5分）如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），则位似中心的坐标为（　　） A．（0，3） B．（0，2.5） C．（0，2） D．（0，1.5） 5．（5分）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大后得到△DEF，已知△ABC与△DEF的面积比为1：9，则AB：DE的值为（　　） A．1：3 B．1：2 C．1： D．1：9 二、填空题（ 本大题共5小题，共25.0分） 6．（5分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，CD＝1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形AB4C4C3的面积为　 　． 7．（5分）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则＝　 　． 8．（5分）如图，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是以O为位似中心的位似图形，满足OA1＝A1A，E，F，E1，F1分别是AD，BC，A1D1，B1C1的中点，则＝　 　． 9．（5分）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB＝3OB′，若△ABC的面积为9，则△A′B′C′的面积为　 　； 10．（5分）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则OA：OD＝　 　． 三、解答题（ 本大题共5小题，共50.0分） 11．（10分）如图1，△ABC的顶点都在4×4的方格格点上． （1）在图1，图2，图3中分别画一个与△ABC有一公共边且与△ABC成轴对称的三角形（要求顶点都在格点上）． （2）在图4中画出一个三角形（要求顶点都在格点上），使它与△ABC相似，且相似比为：1，并直接写出该三角形的面积． 12．（10分）在4×4的方格中，△ABC的三个顶点都在格点上． （1）在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形（画出一个即可）； （2）在图2、图3中各作一格点D，使得△ACD∽△DCB，并请连结AD、CD、BD． 13．（10分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有一个格点三角形ABC．（注：顶点均在网格线交点处的三角形称为格点三角形） （1）请直接写出△ABC中AB边上的高线长：　 　； （2）请在图中画一个格点三角形DEF，使得△DEF～△ABC，且相似比为2：1； （3）若建立平面直角坐标系后，A、B、C三点的坐标分别为A（2，4）、B（1，0）、C（4，2）．请在图中确定格点M，使得△BCM的面积为7.5，请直接写出所有符合题意的格点M的坐标　 　． 14．（10分）由边长相等的小正方形组成的网格，以下各图中点A、B、C、D都在格点上． （1）在图1中，PC：PB＝　 　； （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图2，在AB上找点P，使得AP：PB＝1：3； ②如图3，在BC上找点P，使得△APB∽△DPC； ③如图4，在△ABC中内找一点P，连接PA、PB、PC，将△ABC分成面积相等的三部分． 15．（10分）已知，△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别是A（0，3）、B（3，4）、C（2，2），正方形网格中，每个小正方形的边长是一个单位长度． （1）画出△ABC向左平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是　 　； （2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是　 　；（画出图形） （3）△A2B2C2的面积是　 　平方单位． 《位似图形》拓展训练 参考答案与试题解析 一、选择题（ 本大题共5小题，共25.0分） 1．（5分）如图，点O是等边三角形PQR的中心，P'、Q'、R'分别是OP、OQ、OR的中点，则△P'Q'R'与△PQR是位似三角形，此时△P'Q'R'与△PQR的位似比、位似中心分别是（　　） A．2、点P B．、点P C．2、点O D．、点O 【分析】根据三角形中位线定理得到P′Q′＝PQ，根据位似三角形的定义、位似中心的定义解答． 【解答】解：∵△P′Q′R′与△PQR是位似三角形 ∴△P′Q′R′∽△PQR， ∴相似比等于P′Q′：PQ， ∵P′，Q′，R′分别是OP，OQ，OR的中点 ∴P′Q′＝PQ ∴△P′Q′R′与△PQR的位似比为， 根据位似中心的定义可知，△P'Q'R'与△PQR的位似中心为点O， 故选：D． 【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似中心的定义、相似三角形的性质是解题的关键． 2．（5分）如图，△DEF和△ABC是位似图形点O是位似中心，点D，E，F，分别是OA，OB，OC的中点，若△ABC的面积是8，△DEF的面积是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】根据点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点知＝，由位似图形性质得＝（）2，即＝，据此可得答案． 【解答】解：∵点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点， ∴＝， ∴△DEF与△ABC的相似比是1：2， ∴＝（）2，即＝， 解得：S△DEF＝2， 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角形中位线定理、位似的定义及性质，掌握面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 3．（5分）△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，若△DEF的面积是2，则△ABC的面积是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】根据点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点知＝，由位似图形性质得＝（）2，即＝，据此可得答案． 【解答】解：∵点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点， ∴＝， ∴△DEF与△ABC的相似比是1：2， ∴＝（）2，即＝， 解得：S△ABC＝8， 故选：D． 【点评】本题主要考查了三角形中位线定理、位似的定义及性质，掌握面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 4．（5分）如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），则位似中心的坐标为（　　） A．（0，3） B．（0，2.5） C．（0，2） D．（0，1.5） 【分析】连接BF交y轴于P，根据题意求出CG，根据相似三角形的性质求出GP，求出点P的坐标． 【解答】解：如图，连接BF交y轴于P， ∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1）， ∴点C的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1）， ∴CG＝3， ∵BC∥GF， ∴＝＝， ∴GP＝1，PC＝2， ∴点P的坐标为（0，2）， 故选：C． 【点评】本题考查的是位似变换的概念、坐标与图形性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心是解题的关键． 5．（5分）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大后得到△DEF，已知△ABC与△DEF的面积比为1：9，则AB：DE的值为（　　） A．1：3 B．1：2 C．1： D．1：9 【分析】利用位似的性质和相似三角形的性质得到，然后利用比例性质可求出即可． 【解答】解：∵△ABC与△DEF位似， ∴＝， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行． 二、填空题（ 本大题共5小题，共25.0分） 6．（5分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，CD＝1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形AB4C4C3的面积为　　． 【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得AC，AC1，AC2的长，从而可发现规律，根据规律即可求得第4个矩形的面积． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD⊥DC， ∴AC＝＝＝， ∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C， ∴矩形AB1C1C的边长和矩形ABCD的边长的比为：2 ∴矩形AB1C1C的面积和矩形ABCD的面积的比5：4， ∵矩形ABCD的面积＝2×1＝2， ∴矩形AB1C1C的面积＝， 依此类推，矩形AB2C2C1的面积和矩形AB1C1C的面积的比5：4 ∴矩形AB2C2C1的面积＝ ∴矩形AB3C3C2的面积＝， 按此规律第4个矩形的面积为， 故答案为：． 【点评】本题考查了作图﹣相似变换，矩形的性质，勾股定理，解此题的关键是能根据相似多边形的性质求出的结果、得出规律． 7．（5分）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则＝　　． 【分析】直接利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝， ∴＝， 则＝＝． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 8．（5分）如图，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是以O为位似中心的位似图形，满足OA1＝A1A，E，F，E1，F1分别是AD，BC，A1D1，B1C1的中点，则＝　　． 【分析】依据OA1＝A1A，可得四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的位似比为，再根据E，F，E1，F1分别是AD，BC，A1D1，B1C1的中点，即可得到＝． 【解答】解：∵OA1＝A1A， ∴＝，即四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的位似比为， 又∵E，F，E1，F1分别是AD，BC，A1D1，B1C1的中点， ∴＝， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了位似变换，解题时注意：对应点到位似中心的距离之比等于位似比． 9．（5分）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB＝3OB′，若△ABC的面积为9，则△A′B′C′的面积为　1　； 【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可． 【解答】解：∵OB＝3OB′， ∴＝， ∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′， ∴△A′B′C′∽△ABC， ∴＝． ∴＝， ∵△ABC的面积为9， ∴△A′B′C′的面积为：1． 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了位似变换，主要考查了位似比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，解本题的关键是掌握位似的性质． 10．（5分）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则OA：OD＝　2：3　． 【分析】由△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心，根据位似图形的性质，即可得AB∥DE，即可求得△ABC的面积：△DEF面积＝，得到OA：OD═2：3 【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O， ∴△ABC∽△DEF， ∴△ABC的面积：△DEF面积＝（）2＝， ∴AB：DE＝2：3， ∴OA：OD＝2：3． 故答案为：2：3． 【点评】此题考查了位似图形的性质．注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方． 三、解答题（ 本大题共5小题，共50.0分） 11．（10分）如图1，△ABC的顶点都在4×4的方格格点上． （1）在图1，图2，图3中分别画一个与△ABC有一公共边且与△ABC成轴对称的三角形（要求顶点都在格点上）． （2）在图4中画出一个三角形（要求顶点都在格点上），使它与△ABC相似，且相似比为：1，并直接写出该三角形的面积． 【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质进而得出符合题意答案； （2）利用相似图形的性质进而得出答案． 【解答】解：（1）如图1，2，3所示，即为所求； （2）如图4所示：它与△ABC相似，且相似比为：1，面积为：×2×1＝1． 【点评】此题主要考查了相似变换以及轴对称变换，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 12．（10分）在4×4的方格中，△ABC的三个顶点都在格点上． （1）在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形（画出一个即可）； （2）在图2、图3中各作一格点D，使得△ACD∽△DCB，并请连结AD、CD、BD． 【分析】（1）利用相似三角形的性质得出答案； （2）利用相似三角形的性质得出D点位置． 【解答】解：（1）如图所示： （2）如图所示：△ACD∽△DCB． 【点评】此题主要考查了相似变换，正确得出对应点位置是解题关键． 13．（10分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有一个格点三角形ABC．（注：顶点均在网格线交点处的三角形称为格点三角形） （1）请直接写出△ABC中AB边上的高线长：　　； （2）请在图中画一个格点三角形DEF，使得△DEF～△ABC，且相似比为2：1； （3）若建立平面直角坐标系后，A、B、C三点的坐标分别为A（2，4）、B（1，0）、C（4，2）．请在图中确定格点M，使得△BCM的面积为7.5，请直接写出所有符合题意的格点M的坐标　（1，5），（4，7），（7，﹣1）　． 【分析】（1）依据三角形的面积计算公式，即可得到△ABC中AB边上的高线长； （2）依据△DEF～△ABC，且相似比为2：1，即可得到格点三角形DEF； （3）依据A、B、C三点的坐标分别为A（2，4）、B（1，0）、C（4，2），即可得到直角坐标系，再依据△BCM的面积为7.5，得出格点M的坐标． 【解答】解：（1）设△ABC中AB边上的高线长为h，依题意得 3×4﹣×1×4﹣×2×2﹣×2×3＝×h， 解得h＝， ∴△ABC中AB边上的高线长为； （2）如图所示，△DEF即为所求； （3）如图所示，△BCM3、△BCM2，△BCM1的面积均为7.5， 此时，M3（1，5），M2（4，7），M1（7，﹣1）； ∴格点M的坐标为（1，5），（4，7），（7，﹣1）． 【点评】本题考查了作图﹣相似变换，明确三角形的相似比是解答本题的关键，如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 14．（10分）由边长相等的小正方形组成的网格，以下各图中点A、B、C、D都在格点上． （1）在图1中，PC：PB＝　1：2　； （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图2，在AB上找点P，使得AP：PB＝1：3； ②如图3，在BC上找点P，使得△APB∽△DPC； ③如图4，在△ABC中内找一点P，连接PA、PB、PC，将△ABC分成面积相等的三部分． 【分析】（1）由△APB∽△DPC知＝＝； （2）①利用相似三角形的性质，借助网格构建相似三角形作图可得； ②连接点A关于BC的对称点与点D，交BC于点P； ③作BC、AC边的中线，交点即为所求． 【解答】解：（1）由图1知，△APB∽△DPC， ∴＝＝， 故答案为：1：2； （2）①如图2所示，点P即为所求； ②如图3所示，点P即为所求； ③如图4所示，点P即为所求． 【点评】本题主要考查作图﹣相似变换，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质及轴对称的性质． 15．（10分）已知，△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别是A（0，3）、B（3，4）、C（2，2），正方形网格中，每个小正方形的边长是一个单位长度． （1）画出△ABC向左平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是　（﹣2，2）　； （2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是　（1，0）　；（画出图形） （3）△A2B2C2的面积是　10　平方单位． 【分析】（1）将点A、B、C分别向左平移4个单位得到对应点，再顺次连接可得； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案； （3）割补法求解可得． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标是（﹣2，2）， 故答案为：（﹣2，2）； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标是（1，0）， 故答案为：（1，0）； （3）△A2B2C2的面积×（2+4）×6﹣×2×4﹣×2×4＝10， 故答案为：10； 【点评】此题主要考查了平移变换、位似变换以及坐标与图形的性质，得出对应点位置是解题关键． 第20页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 $$