四川省达州市达州外国语学校2024-2025学年高二上学期第八周数学周测试题

高2023级高二上学期第八周数学周测 主要考点（异面直线所成角、直线与平面所成角、线面垂直） 一、单选题 1．在空间中，下列命题是真命题的是（    ） A．三条直线最多可确定1个平面 B．三条直线最多可确定2个平面 C．三条直线最多可确定3个平面 D．三条直线最多可确定4个平面 2．已知圆台的上､下底面半径分别为和，母线长为，则圆台的侧面积为（     ） A． B． C． D． 3．如图所示，点是平面外一点，，，分别是，的中点，且，则异面直线和所成的角为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（多选）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，，则下列说法正确的有（    ） A．该圆台的高为 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台轴截面面积为 D．一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为 三、填空题 5．下列关于直三棱柱中点、线、面位置关系的说法正确的有 . ①直线与直线平行；        ②直线与平面垂直； ③直线与平面平行；    ④直线与平面垂直 6．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥为阳马，侧棱底面为棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为 . 四、解答题 7．如图，四棱锥中，底面四边形为菱形，，为等边三角形. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若，，求直线与平面所成的角. 8．已知正方体的棱长为2． (1)证明：． (2)求三棱锥的体积． 清北班选做 9．如图正方体中，点是的中点，点为正方形内一动点，且平面，若异面直线与所成角为，则的最小值为 . 10．如图，斜三棱柱中，，为的中点，为的中点，平面⊥平面． (1)设直线与直线的交点为点，若三角形是等边三角形且边长为2，侧棱，且异面直线与互相垂直，求异面直线与所成角； (2)若，在三棱柱内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱柱的高． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高2023级高二上学期第八周数学周测 主要考点（异面直线所成角、直线与平面所成角、线面垂直） 一、单选题 1．在空间中，下列命题是真命题的是（    ） A．三条直线最多可确定1个平面 B．三条直线最多可确定2个平面 C．三条直线最多可确定3个平面 D．三条直线最多可确定4个平面 2．已知圆台的上､下底面半径分别为和，母线长为，则圆台的侧面积为（     ） A． B． C． D． 3．如图所示，点是平面外一点，，，分别是，的中点，且，则异面直线和所成的角为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（多选）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，，则下列说法正确的有（    ） A．该圆台的高为 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台轴截面面积为 D．一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为 三、填空题 5．下列关于直三棱柱中点、线、面位置关系的说法正确的有 . ①直线与直线平行；        ②直线与平面垂直； ③直线与平面平行；    ④直线与平面垂直 6．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥为阳马，侧棱底面为棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为 . 四、解答题 7．如图，四棱锥中，底面四边形为菱形，，为等边三角形. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若，，求直线与平面所成的角. 8．已知正方体的棱长为2． (1)证明：． (2)求三棱锥的体积． 清北班选做 9．如图正方体中，点是的中点，点为正方形内一动点，且平面，若异面直线与所成角为，则的最小值为 . 10．如图，斜三棱柱中，，为的中点，为的中点，平面⊥平面． (1)设直线与直线的交点为点，若三角形是等边三角形且边长为2，侧棱，且异面直线与互相垂直，求异面直线与所成角； (2)若，在三棱柱内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱柱的高． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C A D CD 1．C 【分析】根据平面的性质判断即可. 【详解】在空间中，三条直线最多可确定个平面， 例如：三棱锥中的三个侧面. 故选：C 2．A 【分析】根据圆台的侧面积公式即可直接求解. 【详解】圆台侧面积； 故选：A 3．D 【分析】取的中点，连接，，证明为异面直线和所成的角，解三角形求其大小. 【详解】如图，取的中点，连接，， 因为，分别是，的中点， 故且，，且. 则为异面直线和所成的角， 又，故， 所以. 故选：D. 4．CD 【分析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断BC选项；由圆台侧面展开图结合勾股定理即可判断D选项． 【详解】如图①，作交于E，则， 则，则圆台的高为，故A错误； 圆台的轴截面面积为，故B错误，C正确； 将圆台的一半侧面展开，如图②，设P为的中点，由圆台补成圆锥，圆台对应的圆锥的一半侧面展开为扇形， 可得大圆锥的母线长为，底面半径为，圆锥侧面展开图的圆心角为， 连接，可得，，则， 所以沿着该圆台表面从点C到中点的最短距离为，故D正确． 故选：CD． 5．①②③ 【分析】对于①②，由三棱柱的定义可得；对于③，可用线面平行的性质得到；对于④，可举出反例. 【详解】如图，由直三棱柱的性质可知：①直线与直线平行，①正确； ②直线与平面垂直，②正确； ③因为，平面，，故直线与平面平行，③正确； ④不妨设为等边 ，则此时直线与平面不垂直，④错误. 故答案为：①②③. 6．/ 【分析】首先证明平面，再根据线面角的定义，即可作出线面角的平面角，再计算这个平面角的大小. 【详解】 因为平面ABCD，平面ABCD，故可得， 又，，平面，故平面， 连接，故即为所求直线与平面所成角. 由，故在直角三角形中，，故， 则，则直线CE与平面PAD所成角的余弦值为， 故答案为：. 7．（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）. 【分析】（Ⅰ）取中点E，连结，，由已知可得，，又，即可证平面，从而可得． （Ⅱ）先证明，可得平面，由线面角定义即可知即为所求． 【详解】（Ⅰ）因为四边形为菱形，且        所以为等边三角形． 取线段的中点,连接， 则.    又因为为等边三角形，所以． 因为平面，平面，且， 所以直线平面，   又因为，所以． （Ⅱ）因为为等边三角形，且其边长为，所以， 又，所以，所以.   因为， 所以面，   所以为直线与平面所成的角.    在中，，所以 故直线和平面所成的角为. 【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的性质及线面角求法，属于基础题 ． 8．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证平面，则可得； （2）利用等体积转化即可求得. 【详解】（1）在正方体中，， 平面，平面，． 又，、平面，平面． 又平面，． （2）在正方体中，平面， . 清北班选做 9．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明出四边形为平行四边形，从而，得到线面平行； （2）先证明出为三等分点，然后运用余弦定理求出可得； （3）因为在三棱柱内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切，故小球的半径即为三棱柱直截面的内切圆的半径，利用面积公式得到内切圆半径，画出立体几何图形，结合相关关系求出三棱柱的高. 【详解】（1）斜三棱柱中，为的中点，为的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为AC=BC，为的中点，所以CD⊥AB， 因为平面⊥平面，交线为AB，CD平面ABC， 所以CD⊥平面，故⊥平面， 所以,又与互相垂直，,面 故面,得.即为直角三角形， 在中，为中点，，所以为的三等分点，设， 由余弦定理可得： 解之：，所以故 ⊥平面，在中，. 与所成的角为 （3）过作于，过作于，连 为直截面，小球半径为的内切圆半径 因为，所以， 故AC⊥BC，则 设所以，由解得， ； 由最小角定理 由面,易知， 内切圆半径为： 则 【点睛】定义法求解二面角，需要先作出辅助线，找到二面角的平面角，再求出各边长，利用余弦定理求解该角的余弦值，或根据直角三角形锐角三角函数求出该角的正弦，余弦或正切值，得到答案. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$