精品解析：福建省莆田市莆田第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷

莆田一中2024-2025学年度上学期10月月考试卷 高一数学 必修第一册第一、二章 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设全集，，，则韦恩图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则满足的实数a的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，，则P的非空子集的个数是（ ） A. 7 B. 15 C. 63 D. 64 6. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若，使得成立，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（ ） A. 20 B. 21 C. 23 D. 25 二､多选题（本题共3小题，每小題6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知、均为实数集的子集，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 若正实数满足，则下列结论中正确的有（ ） A. 的最小值为8． B. 的最小值为 C. 的最大值为． D. 的最小值为． 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，若集合满足⫋，则集合______. 13. 已知命题“存在，”为假命题，则实数a的取值范围为______. 14. 已知 ，，若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围______ 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知. （1）求的最小值； （2）求的最小值 16. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 17. 已知关于的不等式的解集为，其中. （1）若，求的值； （2）求不等式的解集； （3）是否存在实数，使上述不等式的解集中恰有个整数?若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 18. 问题：正数、满足，求的最大值.其中一种解法是：，当且仅当，即时取等号，学习上述解法并解决下列问题， （1）若正实数、满足，求的最大值； （2）若实数、、、满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （3）若，利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得最小的的值. 19. 已知有限集，若，则称为“完全集”. （1）判断集合是否为“完全集”，并说明理由； （2）若集合为“完全集”，且，均大于，证明：，中至少有一个大于； （3）若为“完全集”，且，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田一中2024-2025学年度上学期10月月考试卷 高一数学 必修第一册第一、二章 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解二次不等式与绝对值不等式化简集合，再利用集合的并集运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 2. 设全集，，，则韦恩图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先观察图，得出图中阴影部分表示的集合，再结合已知条件即可求解 【详解】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合中，但不在集合中． 又，0，2，4，7，，，，1，3，4，， 则右图中阴影部分表示的集合是：，1，． 故选：C． 3. 已知集合，，则满足的实数a的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合运算得集合关系，结合集合元素的性质分类讨论求解即可. 【详解】依题意，，若，解得（时不满足集合的互异性，舍去）， 若，解得（时不满足集合的互异性，舍去）， 综上所述，或. 故选：B 4. 某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，列出一元二次不等式，结合实际意义求出范围即可. 【详解】依题意，，即，解得， 因为，则，所以这批台灯的销售单价x的取值范围是. 故选：A 5. 已知集合，，则P的非空子集的个数是（ ） A. 7 B. 15 C. 63 D. 64 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵集合, ∴,共6个元素, 故P的非空子集的个数为． 故选C． 【点睛】本题主要考查了集合运算以及包含个元素的集合的非空子集个数,属于基础题型. 6. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】以为条件判断是否成立验证充分性，以为条件判断是否成立验证必要性. 【详解】充分性：当时，，满足充分条件； 必要性：当时，取，，此时不满足，所以不满足必要性； 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 7. 若，使得成立，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知原题意等价于，使得成立，令，利用基本不等式结合存在性问题分析求解. 【详解】因为，即， 又因为，则，可得， 原题意等价于，使得成立， 令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的范围是. 故选：B. 8. 某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（ ） A. 20 B. 21 C. 23 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为，只参加其中一个小组的人数为，根据题意列出方程即可. 【详解】 如图，设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为，只参加其中一个小组的人数为， 则，即． 因为，所以． 故选：B. 二､多选题（本题共3小题，每小題6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】举例说明判断AB；作差判断C；利用不等式的性质推理判断D. 【详解】对于A，，当时，，A错误； 对于B，由于，而有，B错误； 对于C，由，得，即，C正确； 对于D，由，得，而，于是，D正确. 故选：CD 10. 已知、均为实数集的子集，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】首先根据已知条件得到集合与集合的包含关系，然后通过交并补运算逐一验证选项即可. 【详解】∵∴， 若是的真子集，则，故A错误； 由可得，故B正确； 由可得，故C错误，D正确． 故选：BD． 11. 若正实数满足，则下列结论中正确的有（ ） A. 的最小值为8． B. 的最小值为 C. 的最大值为． D. 的最小值为． 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用基本不等式求解最值判断A，B，C，利用消元法结合二次函数求得最值判断D. 【详解】A选项，因为，且，所以， 所以，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立，故A正确； B选项，因为 ， 当且仅当，即时取等号，故B项正确； C选项，， 当且仅当时取等号，所以，所以的最大值为，故C项正确； D选项，因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，故D项错误． 故选：ABC. 【点睛】思路点睛：四个选项均要对所求式子进行变形，A，B，C选项利用“1”代换以及基本不等式求最值，同时也要注意取等条件是否成立，D选项由条件消元转换成二次函数求最值. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，若集合满足⫋，则集合______. 【答案】 【解析】 【分析】用列举法表示集合，根据集合间的基本关系得到集合. 【详解】由题意得，. ∵⫋，∴. 故答案为：. 13. 已知命题“存在，”为假命题，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到“任意，”为真命题，在分类讨论求解即可. 【详解】因为“存在，”为假命题， 所以“任意，”为真命题， 当时，，满足题意. 当时，， 综上：. 故答案为： 14. 已知 ，，若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围______ 【答案】 【解析】 【分析】解分式不等式求出p，再结合含参数的一元二次不等式求出q，分析可知p是q的充分不必要条件，结合包含关系列式求解即可. 【详解】因为，等价于，等价于，解得， 所以； 又因为， 且，则， 由，解得， 所以； 若是的必要而不充分条件，则p是q的充分不必要条件， 可知是的真子集， 则，且等号不同时成立，解得， 所以实数m的取值范围. 故答案为：. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知. （1）求的最小值； （2）求的最小值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用基本不等式的变形，然后解不等式即可； （2）利用，结合二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 ，，， 即， 解得或（舍， 当且仅当且， 即时等号成立， 的最小值为． 【小问2详解】 ， 令，则，故， 故当时，取最小值，此时， 故的最小值为. 16. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 【答案】（1） （2）设备占地面积为时，y的值最小 【解析】 【分析】（1）由题意得，解不等式即可得解. （2）将变形为，再利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 令即，整理得即， 所以解得， 所以设备占地面积的取值范围为. 【小问2详解】 ， 当且仅当即时等号成立， 所以设备占地面积为时，的值最小. 17. 已知关于的不等式的解集为，其中. （1）若，求的值； （2）求不等式的解集； （3）是否存在实数，使上述不等式的解集中恰有个整数?若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）存在，且实数的取值范围是 【解析】 【分析】（1）分析可知，关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得实数的值； （2）对实数的取值进行分类讨论，结合一次不等式或二次不等式的解法可求得集合； （3）由（2）可知，或，然后分情况讨论，求出集合，根据题意可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：当时，则关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，解得. 【小问2详解】 解：原不等式即为. 当时，原不等式即为，解得，此时，； 当时，方程的解为，， 若，解不等式可得或，此时，； 若，即，则原不等式即为，此时，； 若，即，解不等式可得，此时，； 若，即，解不等式可得，此时，. 综上所述，当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 【小问3详解】 解：由（2）可知，若集合恰有三个整数，则或， 当时，，则集合中的三个整数分别为、、， 所以，，解得， 当时，则，，此时，集合中至多一个整数，不合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 18. 问题：正数、满足，求的最大值.其中一种解法是：，当且仅当，即时取等号，学习上述解法并解决下列问题， （1）若正实数、满足，求的最大值； （2）若实数、、、满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （3）若，利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得最小的的值. 【答案】（1） （2） ， 当且仅当时，即当时，等号成立. （3）的最小值为，此时， 【解析】 【分析】（1）将代数式和相乘，展开后利用基本不等式可求得的最大值； （2）将代数式和相乘，展开后利用基本不等式可得出和的大小关系，并可得出等号成立的条件； （3）利用（2）中的结论，构造，，则，再结合（2）中的结论可得出的最小值. 【小问1详解】 解：因为正实数、满足， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 【小问2详解】 解：因为实数、、、满足， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 【小问3详解】 解：令，，则， 因为，所以，可得， 因为，则， 所以， 取等号时，解的，，即， 所以时，取得最小值. 19. 已知有限集，若，则称为“完全集”. （1）判断集合是否为“完全集”，并说明理由； （2）若集合为“完全集”，且，均大于，证明：，中至少有一个大于； （3）若为“完全集”，且，求. 【答案】（1）是，理由如下： 由， ， 所以， 故集合是“完全集”. （2）由题设，令， 则，是方程的两个不同的正实数根， 所以或（舍），即， 又，，若，都不大于2，则，矛盾， 所以，至少有一个大于2. （3） 【解析】 【分析】（1）由“完全集”的定义判断即可； （2）由“完全集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设，得到，分类讨论求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨令，则， 所以， 当，即，故，显然无解，不满足； 当，即，只能有，，， 故存在一个“完全集”； 当，， 即， 又， 且， 此时，显然有矛盾， 所以时不存在“完全集”； 综上，. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $