北京市景山学校远洋分校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

北京景山学校远洋分校2024-2025学年度第一学期 高二数学期中试卷 考试时间：120分钟 一、单选题 1. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间三点共线，则和的值分别是（ ） A. 3，6 B. 2，4 C. 1，4 D. 2，6 3. 已知向量，，则（ ） A. B. 9 C. 1 D. 3 4. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，则“”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 如图，在棱长为2的正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点Q，使得 B. 存在点Q，使得平面 C. 三棱锥的体积是定值 D. 存在点Q，使得PQ与AD所成的角为 9. 已知点在边长为2的正八边形的边上，点在边上，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不含端点）上运动，则下列结论正确的是（ ） ①的外接球表面积为； ②异面直线与所成角的取值范围是； ③直线平面； ④三棱锥的体积随着点的运动而变化. A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 二、填空题 11. 已知两个平面，的法向量分别是和，若，则________． 12. 已知，是空间两向量，若，则与的夹角为______． 13. 如图，正方体的棱长为，点在正方体的表面上运动，且，若动点的轨迹的长度为3π，则棱长为 _____． 14. 如图，在正方体中，E，F，G，H，M分别是棱，，的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件________时，就有；当N只需满足条件________时，就有MN∥平面． 15. 如图，在正方体中，为棱的中点，是正方形内部（含边界）的一个动点，且平面.给出下列四个结论： ①动点的轨迹是一段圆弧； ②存在符合条件的点，使得； ③三棱锥的体积的最大值为； ④设直线与平面所成角为，则的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是__________. 三、解答题 16. 已知空间直角坐标系中四个点的坐标分别为：. （1）求； （2）若，求x的值； （3）若D点在平面ABC上，直接写出x的值. 17. 如图，在三棱锥中，平面，． （1）求证：平面PAB； （2）求二面角的大小． 18. 如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，是PD的中点． （1）求证：平面平面PAD； （2）求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值． 19. 如图，在四棱锥中，直线平面PCD，，，，平面平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点． （1）证明：； （2）证明：； （3）当EF为何值时，直线BE与平面PAD夹角的正弦值为． 20. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点． （1）求证：平面； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 21. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，为中点． （1）求证：平面． （2）求二面角的余弦值． （3）在棱上是否存在点，使得？若求的值；若不存在，说明理由． 北京景山学校远洋分校2024-2025学年度第一学期 高二数学期中试卷 考试时间：120分钟 一、单选题 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】C 二、填空题 【11题答案】 【答案】4 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】2 【14题答案】 【答案】 ①. 点N在EG上； ②. 点N在EH上 【15题答案】 【答案】②③④ 三、解答题 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【17题答案】 【答案】（1） 因为平面平面， 所以，同理， 所以为直角三角形， 又因为，， 所以，则为直角三角形，故， 又因为，， 所以平面. （2） 【18题答案】 【答案】（1） 证明：在底面是矩形的四棱锥中，平面，直线两两垂直， 以为原点，线分别为轴建立空间直角坐标系，如图： 则， ， 于是，即， ，即， 又平面PAD，因此平面PAD，又平面， 所以平面平面PAD. （2）. 【19题答案】 【答案】（1） 因为直线平面平面， 且平面平面，所以； （2） 过作，垂足为， 由题意知：为矩形，可得， 由，则为等边三角形，且F为线段BC的中点，则， 又因为平面平面ABCD，平面平面，平面， 可得平面ABCD，且平面， 所以. （3）2 【20题答案】 【答案】（1）证明：取的中点为，连接， 由三棱柱可得四边形为平行四边形， 而，则， 而平面，平面，故平面， 而，则，同理可得平面， 而平面， 故平面平面，而平面，故平面， （2） 若选①或选②，直线AB与平面BMN所成角的正弦值都是. 【21题答案】 【答案】（1）设与的交点为，连接. 因为为矩形，所以为的中点， 在中，由已知为中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）； （3）存在，，理由如下： 设是棱上一点，则存在使得． 因此点，，． 由，即． 因为，所以在棱上存在点，使得， 此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $