重庆实验外国语学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

2024-2025学年度（上）高2027届期中考试 数学试题 （满分150分，120分钟完成） 命题人：数学命题组 审题人：数学命题组 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分，每题有且仅有一个正确答案） 1. 已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 7. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知全集，集合，若有4个子集，且，则（ ） A. B. 集合有3个真子集 C. D. 10. 已知正实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 的最小值为 C. 的最大值为8 D. 的最小值为4 11. 我们知道，函数的图象关于原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由同学发现可以将其推广为：函数的图象关于成中心对称的充要条件是函数为奇函数．下列说法正确都有（ ） A. 若函数关于对称，则函数满足 B. 函数的对称中心为 C. 若关于对称，当时，，则当时 D. 若关于对称，为偶函数，则为偶函数 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知，集合，则______． 13. 已知函数为偶函数，则______． 14. 记表示中最大的数，已知为正实数，记．若，则的最小值为______，若，则的最小值为______． 四、解答题（共5题，共77分，其中15题13分，16、17每题15分，18、19每题17分，请写出必要的解答过程） 15. 已知，集合， （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 16. 为了缓解交通压力，需要限定汽车速度，交管部门对某路段作了调研，得到了某时间段内的车流量（千辆/小时）和汽车平均速度（千米/小时）的下列数据： 10 30 40 60 70 0.8 6 8 4.8 3.5 为了描述车流量和汽车平均速度的关系，现有以下三种模型供选择：，， （1）选出你认为最符合实际的函数模型，请说明理由并计算的值； （2）计算该路段最大车流量及最大车流量时汽车的平均速度． 17. 在①不等式解集为，②，且，③，，三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答 问题：已知函数，且______． （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上的值域为，求的值． 18. 已知函数对任意实数恒有，且当时，，又． （1）判断的奇偶性； （2）判断在上的单调性，并证明你的结论； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 19. 定义在上的函数满足：如果对任意的，都有（当且仅当时等号成立），则称函数为定义在上的凹函数；如果对任意的，都有（当且仅当时等号成立），则称函数为定义在上的凸函数，如果函数在定义域上为凹函数或凸函数，则称函数具有凹凸性． （1）判断函数和的凹凸性并用上述定义证明； （2）若函数为定义在上的凹函数，求的取值范围； （3）若是定义在上的凹函数，单调递增，恒正；是定义在上的凸函数，单调递减，恒正，判断函数在上的凹凸性并证明． 2024-2025学年度（上）高2027届期中考试 数学试题 （满分150分，120分钟完成） 命题人：数学命题组 审题人：数学命题组 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分，每题有且仅有一个正确答案） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】AB 【11题答案】 【答案】BCD 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. 2 ②. 2 四、解答题（共5题，共77分，其中15题13分，16、17每题15分，18、19每题17分，请写出必要的解答过程） 【15题答案】 【答案】（1）； （2）. 【16题答案】 【答案】（1） 根据表格数据可知，随着汽车平均速度的增大，车流量呈现出先增大后减少的趋势； 再由一次函数性质可知成持续增大模式，由幂函数性质可知成持续减少模式； 只有符合题意； 将代入表达式可得， 解得 （2）最大车流量为千辆/小时,此汽车的平均速度千米/小时. 【17题答案】 【答案】（1）； （2）. 【18题答案】 【答案】（1）为奇函数； （2）在R上的单调递减，证明如下： 任取，且，则， 令，则， 因为为奇函数，所以， 因为当时，，所以， 即，所以在上的单调递减. （3）. 【19题答案】 【答案】（1）函数是定义在上的凸函数. 证明：设是区间内任意实数， ，； 由 ，当且仅当时等号成立. 且，， 得， 故函数是定义在上的凸函数. 函数是定义在上的凹函数. 证明：设任意两实数，函数是定义在上的凹函数. ， 由， 得，当且仅当时等号成立. 函数是定义在上的凹函数. （2） （3）函数在上是凹函数. 要证明在上是凹函数， 只需证（当且仅当时等号成立）. 证明：设任意， ①当时，则，且. 由是定义在上的凹函数，则； 由是定义在上的凸函数，则， 由单调递增，且得，， 且 由单调递减，且得，， ； 因为 ， 且， 故只需要证明. ， 由，得， 即，又， 则. 故； ②当时，； ③当时，与①同理可证得. 综上所述，对任意的，都有（当且仅当时等号成立）. 故函数在上是凹函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $