精品解析：江苏省江阴一中、青阳高中2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

江阴一中、青阳高中2024-2025学年第一学期期中试卷 高一数学 2024.11 命题人：李红艳 审核人：胡宗飞 一、单选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：B. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由全称命题的否定可直接得到结果. 【详解】由全称命题的否定知：原命题的否定为，. 故选：D. 3. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（ ） A. 若a＜b，则 B. 若a＞b＞0，则 C. 若a＞b，则 D. 若，则a＞b 【答案】D 【解析】 【分析】举反例说明选项AC错误；作差法说明选项B错误；不等式性质说明选项D正确. 【详解】当时，，选项A错误； ，所以，所以选项B错误； 时，，所以选项C错误； 时，，所以选项D正确. 故选：D 4. 下列函数在定义域范围内既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的奇偶性、单调性逐项判断即可得解. 【详解】对于A，函数为非奇非偶函数，故A错误； 对于B，函数是奇函数，在定义域内单调递减，故B错误； 对于C，因为，函数为奇函数，函数在R上单调递增，故C正确； 对于D，函数在定义域内不单调，故D错误. 故选：C 5. 数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，这就是数形结合的思想.在数学的学习和研究中，常利用函数的图象来研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用排除法及函数的奇偶性的定义，结合赋值法可求得结果. 【详解】由题可知，函数定义域为，即， 所以， 所以为奇函数，排除选项A； 当时，，排除选项B； 当时，分母，分子，此时函数值小于零，排除选项C； 故选：D. 6. 下列命题中的真命题是（ ） A. B. 若，则的最小值是 C. “”的充要条件是“” D. “，”是“”的充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，；B选项，由基本不等式求出的最大值为；C选项，举出反例；D选项，由推出关系得到D正确. 【详解】A选项，，A错误； B选项，若，则， 则，当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为，B错误； C选项，若，满足，但不满足， 故不是的充要条件，C错误； D选项，，故“，”是“”的充分条件，D正确. 故选：D 7. 已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的解集求出，再代入解一元二次不等式即得. 【详解】依题意，是方程的二实根，且， 于是，且，解得， 不等式化为：，解得， 所以所求不等式的解集为. 故选：A 8. 已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式恒成立得出是方程的根，从而得出的关系，再用基本不等式求最小值. 【详解】由题意，时，； 时，， 所以是方程的根， 所以，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 方程有唯一解的充要条件是 B. 若p是q的必要不充分条件，p是r的充要条件，则q是r的充分不必要条件 C. “的定义域是”的充要条件是“” D. 若，，且，则的最大值为9 【答案】BC 【解析】 【分析】分情况可判断A选项；根据充分条件、必要条件定义可判断B选项；利用二次不等式恒成立求出取值范围，可判断选项C；利用基本不等式可判断选项D. 【详解】对于A：当时，，有唯一解， 当时，，解得， 所以方程有唯一解的充要条件是或， 该选项不符合题意； 对于B：若p是q的必要不充分条件，p是r的充要条件， 则，所以，则q是r的充分不必要条件， 该选项符合题意； 对于C：因为的定义域是， 所以对，恒成立， 则，解得， 所以“的定义域是”的充要条件是“”， 该选项符合题意； 对于D：，，且，则，即， 当且仅当时，等号成立，此时的最大值为81， 该选项不符合题意； 故选：BC. 10. 给定函数，，用表示，中较小者，记为对于函数，则下列结论正确的是（ ） A. 增区间为 B. 值域为 C. ， D. 若有三解，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】先作出两个函数图像，根据定义求出的图像，即可求得结果. 【详解】作出函数，的图像如图： ， 因为表示，中较小者， 所以当时，即，即， 当时，即，即或， 当时，此时或， 可得到的图像如图： ， 由图像可得增区间为，值域为，故选项A、B正确； ，，故选项C错误； 若有三解，即与有三个交点，则，故选项D正确； 故选：ABD. 11. 已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数可能的值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】ABC 【解析】 【分析】由奇偶性联立方程得出，进而由得出，构造函数，讨论可能值即可. 【详解】由题意得：为奇函数，；为偶函数，； 将代入到得：， 与原式联立可得：， 又因为，等价于 整理得，令，则在为单调递减， 当时，，所以函数为减函数加减函数，则在为单调递减，则A正确； 当时，，则在为单调递减，则B正确； 当时，为对勾函数，根据对勾函数的性质可知，，即，所以在为单调递减，C正确. 当时，为对勾函数，根据对勾函数的性质可知，，即，在为单调递增，D错误. 故选：ABC 【点睛】方法点睛：利用单调性解决函数中的参数问题，关键在于运用奇偶性解出对应的函数解析式，在把不等式转换为函数单调性对应的式子进行单调性分析. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，将化为分数指数幂形式，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用根式转化为分数指数幂，再根据指数幂的运算法则即可. 【详解】. 故答案为：. 13. 如果幂函数的图象过点，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】设出幂函数解析式，由已知点坐标求得幂函数解析式，然后求函数值． 【详解】设，由已知，则，∴， ． 故答案为：． 14. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，则函数的最小值为__________． 【答案】49 【解析】 【分析】根据题中给的不等式可求得结果. 【详解】因为正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当即时，等号成立，此时的最小值为49， 故答案为：49. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）已知，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求得集合，由此求得. （2）先求得，然后根据列不等式组，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 ，解得. 因为，所以， 又因为，所以． 【小问2详解】 依题意，或，     由于，所以，解得， 所以的取值范围为． 16. 已知函数（且）在上的最大值与最小值之和为20，记． （1）求a的值及函数的值域； （2）证明：为定值；并求的值． 【答案】（1），的值域为 （2）， . 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的单调性即可根据最值求解，理由分离常数即可结合不等式的性质求解值域， （2）代入即可根据指数幂的运算化简即可求解，进而可求解. 【小问1详解】 由题意有，解得或（舍去）， 则， ∵，∴，，， ∴，函数的值域为. 【小问2详解】 略 17. 已知幂函数在上是减函数，. （1）求的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义，结合幂函数的单调性进行求解即可； （2）根据幂函数的单调性进行求解即可. 【小问1详解】 由函数为幂函数得， 解得或， 又函数在上是减函数，则，即， 所以，； 【小问2详解】 由（1）得，所以不等式为， 设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减， 所以解得，所以实数的取值范围是. 18. 新能源开发能够有效地解决我国能源短缺和传统能源使用带来的环境污染问题，国家新能源政策的出台，给新能源产业带来了春天，已知江苏某新能源企业，年固定成本万，每生产台设备，另需投入成本万元，若年产量不足台，则；若年产量不小于台，则，每台设备售价万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（台）的关系式； （2）年产量为多少台时，该企业所获利润最大？ 【答案】（1） （2）当年产量为台时，该企业所获利润最大为万元. 【解析】 【分析】（1）分、两种情况讨论，根据年利润总收入另外投本固定投本，可得出关于的函数关系式； （2）分别求出当、时，的最大值，比较大小后可得出结论. 【小问1详解】 解：依题意，若年产量不足台，另外投本，固定投本万， 总收入万元，故利润； 若年产量不小于台，另外投本，固定投本万， 总收入万元，故利润. 故. 【小问2详解】 解：当，时，， 此时，当时，； 当，时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为，故时，利润取得最大值，， 综上可知，当年产量为台时，该企业所获利润最大为万元. 19. 已知函数，在区间上有最大值，最小值. （1）求实数，的值； （2）存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若，且，如果对任意都有，试求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的单调性可得，进而求解即可； （2）令，由题意转为问题为成立，进而结合对勾函数的单调性求解即可； （3）由题意转为问题为恒成立，进而结合二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由题意，函数的对称轴为，开口向上， 所以函数在上单调递增， 则，解得，. 【小问2详解】 由（1）知，， 则存在，使得成立， 即存在，使得成立， 令，即成立， 即成立，则只需满足. 因为函数在上单调递增， 所以当上，， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 由题意，， 因为对任意都有， 即恒成立， 当时，显然成立； 当时，转化为恒成立， 由，则， 对于， 所以当，即时，，即； 对于， 所以当，即时，，即. 综上所述，实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于不等式恒成立或存在成立问题，常常分离参数，结合函数最值求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江阴一中、青阳高中2024-2025学年第一学期期中试卷 高一数学 2024.11 命题人：李红艳 审核人：胡宗飞 一、单选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（ ） A. 若a＜b，则 B. 若a＞b＞0，则 C. 若a＞b，则 D. 若，则a＞b 4. 下列函数在定义域范围内既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，这就是数形结合的思想.在数学的学习和研究中，常利用函数的图象来研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中的真命题是（ ） A. B. 若，则的最小值是 C. “”的充要条件是“” D. “，”是“”的充分条件 7. 已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 方程有唯一解的充要条件是 B. 若p是q的必要不充分条件，p是r的充要条件，则q是r的充分不必要条件 C. “的定义域是”的充要条件是“” D. 若，，且，则的最大值为9 10. 给定函数，，用表示，中较小者，记为对于函数，则下列结论正确的是（ ） A. 增区间为 B. 值域为 C. ， D. 若有三解，则 11. 已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数可能的值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，将化为分数指数幂形式，则__________. 13. 如果幂函数的图象过点，那么______． 14. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，则函数的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）已知，求实数的取值范围. 16. 已知函数（且）在上的最大值与最小值之和为20，记． （1）求a的值及函数的值域； （2）证明：为定值；并求的值． 17. 已知幂函数在上是减函数，. （1）求的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 18. 新能源开发能够有效地解决我国能源短缺和传统能源使用带来的环境污染问题，国家新能源政策的出台，给新能源产业带来了春天，已知江苏某新能源企业，年固定成本万，每生产台设备，另需投入成本万元，若年产量不足台，则；若年产量不小于台，则，每台设备售价万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（台）的关系式； （2）年产量为多少台时，该企业所获利润最大？ 19. 已知函数，在区间上有最大值，最小值. （1）求实数，的值； （2）存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若，且，如果对任意都有，试求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $