期末考试B卷填空点的坐标规律性探索压轴题专项训练-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都八年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

期末考试B卷填空点的坐标规律性探索压轴题专项训练 【例题精讲】 例1．（2024·石室联中期末）如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作 y 轴平行线，交直线 于点，以线段为边在右侧作第一个正方形 所在的直线交的图象于点，交 的图象于点 ，再以线段为边在右侧作第二个正方形…依此类推，按照图中反映的规律，第 3 个正方形的边长是 ；第 100 个正方形的边长是 ． 【答案】 18 【分析】根据题意求出点，，，……，由此发现规律，即可求解． 【详解】解：∵点，轴， ∴点的横坐标为1， 当时，， ∴点的坐标为， ∴， ∴正方形的边长为2， ∴， ∴点、的横坐标均为3， ∴， ∴， ∴正方形的边长为6， 同理：， ∴， ∴正方形的边长为18， ∴， ∴ ……， 由此发现，， ∴， ∴第100个正方形的边长为 故答案为：18；． 【点睛】本题考查一次函数图象上的点的特征，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 例2．（2024·金牛区期末）如图，点是平面直角坐标系原点，射线与轴重合，已知，过点作交轴于，过点作交直线于点，过作交轴于点，过点作交直线于点，重复操作，依次得到点，则点的坐标为 ，点的坐标为 ．（用含的式子表示）（提示：含角的直角三角形，三边之比为） 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，含角的直角三角形，解题的关键是根据求出的数据得出规律．过点作轴于点，过点作轴于点，过点作 轴于点，根据含角的直角三角形，三边之比为，，可得，，从而求出点的坐标；根据题意可求出、、等的长度，进而求出，，，，可推出的纵坐标，再根据边的长度关系，可得到的横坐标． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，过点作 轴于点， ， ， 由题意，， ，， ； ， ，， 又，， ， ， ，， 同理求出，，，， 可推出的纵坐标为， ，，同理可得的横坐标为， 的坐标为； 故答案为：，． 例3．（2024·成华区期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的平行线交于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的平行线交于点，按此方法作下去，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为，，，依题意得，，，进而得，则，由此可求出，再由△的面积公式求出，进而可求出，则，据此得点，根据直线，直线，得，，，则，，再由直线得，则，，进而可求出，再由三角形的面积公式求出，由此可求出，则，据此得点，同理可得：点，点，，以此类推，点的坐标为，据此规律即可得出点的坐标． 【详解】解：分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为，，，如图所示： 直线与轴的夹角为，点的坐标为， ，， 直线经过坐标原点，且与轴的夹角为， ， ， ， ， ， 直线， ， ， ， 在中，，，由勾股定理得：， 由三角形面积公式得：的面积， ， 在中，，，由勾股定理得：， ， 点的坐标为， 直线，直线， ，，， ， 由勾股定理得：， 直线， 在中，，则， ， 由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：的面积， ， 在中，，，由勾股定理得：， ， 点的坐标为，同理可得：点，点，，以此类推，点的坐标为， 当时，，， 点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标规律，涉及一次函数的图像，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的图像，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键，根据点，、，坐标的规律归纳总结出点的坐标是解决问题的难点． 【专项训练】 1．如图，，，，是等边三角形，直线经过它们的顶点，，，，，点，，，在轴上，则点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】如图所示，设直线与轴交于点，可求出，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，设直线与轴交于点， 当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，，，┈， ∴，， ∴点的横坐标为． 【点睛】本题主要考查一次函数图形与几何的变换规律的综合，理解等边三角形的性质，一次函数图像的性质和特点，点的变换规律是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，点在x轴上且按此规律，过点作x轴的垂线分别与直线交于点连接，记的面积分别为则 ． 【答案】 【分析】当时，先求出，再计算出，，， ，，，，得到公式，代入计算即可． 【详解】解：当时， ∵， ∴，，， ∵， ∴，，， ∵， ∴，，， ， ∴，，， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形与坐标的规律题，明确题意，准确得到规律，是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，直线与轴交于点，以AB为边作等边三角形，过点作轴，交直线于点，以为边作等边三角形，过点作轴，交直线于点，以为边作等边三角形以此类推，连接，与交于点，连接，与交于点则点的纵坐标是 ．    【答案】 【分析】求出，的纵坐标是，，求出直线方程为和直线方程为，联立求出交点坐标，以此类推求出规律式即可求出． 【详解】作的边高，如图： ∵直线与轴交于点， ∴， ∵，是等边三角形，， ∴，， ∴的边高是，    ∴， ∵， ∴的纵坐标是， 把的纵坐标是代入， 解得， ∴， ∴， 解设方程为， 把，代入 解得， ∴直线方程为， 设直线方程为， 把，代入解得， ， ∴直线方程为， 与联立， 解得， ∴点纵坐标是， 同理可得的纵坐标， 的纵坐标， ∴的纵坐标， ∴的纵坐标是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数、坐标，解题的关键是求出交点坐标，找出规律，求出纵坐标． 4．如图，已知是x轴上的点，且，分别过点作x轴的垂线交一次函数的图象于点，连接依次产生交点，则：的纵坐标是 ，的纵坐标是 ．    【答案】 【分析】由已知可以得到，，，点的坐标分别为：，，，，又得作轴的垂线交一次函数的图象于点，，，的坐标分别为，，，，由此可推出点，，，的坐标为，，，，．由函数图象和已知可知要求的的坐标是直线和直线的交点．在这里可以根据推出的四点求出两直线的方程，从而求出点，从而求得结果． 【详解】解：由已知得，，，的坐标为：，，，， 又得作轴的垂线交一次函数的图象于点，，，的坐标分别为，，，． 由此可推出，，，四点的坐标为，，，，． 所以得直线和的直线方程分别为： ， ， 即， 解得： ， ∴点，． 将代入得点的纵坐标是， 将代入得点的纵坐标是， 故答案为：， 【点睛】此题考查的知识点是一次函数的综合应用，同时也考查了学生对数字规律问题的分析归纳的能力．解答此题的关键是先确定相交于点的两直线的方程． 5．如图，直线：与轴交于点A，过点A作x轴的平行线交直线：于点，过点作y轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，则 ．    【答案】 【分析】根据中，时，，得到，，，根据平分一、三象限夹角，得到，根据轴，得到，得到，根据时，，得到，，根据时，，得到，，发现规律，，…，得到 ，． 【详解】解：∵中，时，， ∴，，， ∵是一、三象限角平分线， ∴， ∵轴， ∴°， ∴， ∴， 当时，， ∴，， 同理，， 当时，， ∴，， ∴发现规律，，， …， ∴ ，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数和正比例函数，解决问题的关键是熟练掌握一次函数和正比例函数的图象和性质，规律性过一次函数和正比例函数图象上的点做x轴和y轴的平行线产生的线段的长的规律． 6．如图，已知，是轴上的点，且，分别过点作轴的垂线交直线于点，连接，依次相交于点，，的面积依次为，则为 ． 【答案】 【分析】此题考查的知识点是一次函数的综合应用，同时也考查了学生对数字规律问题的分析归纳的能力由已知可以得到，，，点的坐标分别为：，，，，则点，，，的坐标分别为，，，，由此可推出点，，，的坐标为，，，，．由函数图象和已知可知要求的的坐标是直线和直线的交点．在这里可以根据推出的四点求出两直线的方程，从而求出点，再跟进从而求得结果． 【详解】解：由已知得，，，的坐标为：，，，， ∵分别过点作轴的垂线交直线于点， ∴点，，，的坐标分别为，，，． 由此可推出，，，四点的坐标为，，，，． 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴点， ∴ ， 故答案为： ． 7．已知直线与（其中k为正整数），记与x轴围成的三角形面积为，则 ． 【答案】 【分析】变形解析式得到两条直线都经过点，即可证出无论k取何值，直线与的交点均为定点；先求出与x轴的交点和与x轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出，求出，，以此类推，相加后即可求解． 【详解】解：∵直线， ∴直线经过点； ∵直线：， ∴直线：经过点． ∴无论k取何值，直线与的交点均为定点． ∵直线与x轴的交点为， 直线：与x轴的交点为， ∴， ∴； ∴ ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数的综合题；解题的关键是一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x轴的交点的纵坐标为0，与y轴的交点的横坐标为0． 8．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过作轴的垂线交于点，．．．依次进行下去，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点、、、、、、、等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“，，，，，，，为自然数）”，依此规律结合即可找出点的坐标． 【详解】解：当时，， 点的坐标为； 当时，， 点的坐标为； 同理可得：，，，，，，，， ，，，， ，，，为自然数）． ， 点的坐标为，，即，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“，，，，，，，为自然数）”是解题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，点，直线与x轴交于点B，以为边作等边，过点作轴，交直线l于点，以为边作等边，过点作轴，交直线l于点，以为边作等边，以此类推……，则点的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】先根据解析式求得B的坐标，即可求得AB=1，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的纵坐标为，A2的纵坐标为，A3的纵坐标为，进而得到An的纵坐标为，据此可得点的纵坐标． 【详解】解：∵直线与x轴交于点B， ∴B（-1，0）， ∴OB=1， ∵A（-2，0）， ∴OA=2， ∴AB=1， ∵△ABA1是等边三角形， ∴A1（，）， 把代入，求得x=， ∴B1（，）， ∴A1B1=2， ∴A2（，）， 即A2（，）， 把代入，求得x=， ∴B2（，）， ∴A2B2=4， ∴A3（，）， 即A3（，）， ……， An的纵坐标为， ∴点的纵坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质的运用，解决问题的关键是依据等边三角形的性质找出规律，求得An的纵坐标为． 10．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交ll于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去．则点A4的坐标为 ；点的坐标为 ;点A2021的坐标为 ． 【答案】 （4，﹣4） （﹣8，8） （21010，21011） 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（-22n+1，22n+1），A4n+3（-22n+1，-22n+2），A4n+4（22n+2，-22n+2）（n为自然数）”，依此规律结合6=1×4+2；2021=505×4+1即可找出点A2021的坐标． 【详解】解：观察，发现规律： A1（1，2）， A2（-2，2）， A3（-2，-4）， A4（4，-4）， A5（4，8），…， ∴“A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（-22n+1，22n+1），A4n+3（-22n+1，-22n+2），A4n+4（22n+2，-22n+2）（n为自然数）”， ∵6=1×4+2， A6（﹣8，8） ∵2021=505×4+1， ∴A2021的坐标为（21010，21011）． 故答案为：（4，﹣4）； （﹣8，8）；（21010，21011）． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中坐标的变化，解题的关键是找出变化规律“A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（-22n+1，22n+1），A4n+3（-22n+1，-22n+2），A4n+4（22n+2，-22n+2）（n为自然数）”． 11．如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为 【答案】 【分析】先求出，可得点的纵坐标为1，再求出点，即点的横坐标为，同理点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，……，由此发现，再由，即可求解． 【详解】解：∵点，点在直线a：上， ∴， ∵轴， ∴点的纵坐标为1， ∵点在直线b：上， ∴，解得：， ∴点，即点的横坐标为， 同理点的横坐标为， 点的横坐标为 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ……， ∴， ∵， ∵点的横坐标为， ∴点的横坐标为． 故答案为： 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，正确的作出规律是解题的关键． 12．如图，直线，点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴正半轴于点；再过点作轴的垂线交直线 于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴正半轴于点；…，按此作法进行下去，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】由点的坐标可得出点的坐标，利用勾股定理可得出点的坐标，同理可得出点，，，，，的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律“点的坐标为”，依此规律即可得出结论． 【详解】解：点的坐标为，轴，且点在直线， 点的坐标为， ， 以长为半径画弧交轴正半轴于点， 点的坐标， 同理：，，，，，，，，，， 点的坐标为，即点的坐标为， 当时，点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、勾股定理以及点的坐标规律，根据点的坐标的变化找出坐标的变化规律是解题的关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点，过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点，…，按照如此规律进行下去，点的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据题意可以求得点的坐标，点的坐标，点的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从而可以求得点的坐标． 【详解】由题意可得， 点的坐标为， 设点的坐标为， ∵， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， 同理可得，点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， …… ∴点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标的变化规律以及两点之间的距离公式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末考试B卷填空点的坐标规律性探索压轴题专项训练 【例题精讲】 例1．（2024·石室联中期末）如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作 y 轴平行线，交直线 于点，以线段为边在右侧作第一个正方形 所在的直线交的图象于点，交 的图象于点 ，再以线段为边在右侧作第二个正方形…依此类推，按照图中反映的规律，第 3 个正方形的边长是 ；第 100 个正方形的边长是 ． 例2．（2024·金牛区期末）如图，点是平面直角坐标系原点，射线与轴重合，已知，过点作交轴于，过点作交直线于点，过作交轴于点，过点作交直线于点，重复操作，依次得到点，则点的坐标为 ，点的坐标为 ．（用含的式子表示）（提示：含角的直角三角形，三边之比为） 例3．（2024·成华区期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的平行线交于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的平行线交于点，按此方法作下去，则点的坐标是 ． 【专项训练】 1．如图，，，，是等边三角形，直线经过它们的顶点，，，，，点，，，在轴上，则点的横坐标是 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，点在x轴上且按此规律，过点作x轴的垂线分别与直线交于点连接，记的面积分别为则 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，直线与轴交于点，以AB为边作等边三角形，过点作轴，交直线于点，以为边作等边三角形，过点作轴，交直线于点，以为边作等边三角形以此类推，连接，与交于点，连接，与交于点则点的纵坐标是 ．    4．如图，已知是x轴上的点，且，分别过点作x轴的垂线交一次函数的图象于点，连接依次产生交点，则：的纵坐标是 ，的纵坐标是 ．    5．如图，直线：与轴交于点A，过点A作x轴的平行线交直线：于点，过点作y轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，则 ．    6．如图，已知，是轴上的点，且，分别过点作轴的垂线交直线于点，连接，依次相交于点，，的面积依次为，则为 ． 7．已知直线与（其中k为正整数），记与x轴围成的三角形面积为，则 ． 8．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过作轴的垂线交于点，．．．依次进行下去，则的坐标为 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，点，直线与x轴交于点B，以为边作等边，过点作轴，交直线l于点，以为边作等边，过点作轴，交直线l于点，以为边作等边，以此类推……，则点的纵坐标是 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交ll于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去．则点A4的坐标为 ；点的坐标为 ;点A2021的坐标为 ． 11．如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为 12．如图，直线，点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴正半轴于点；再过点作轴的垂线交直线 于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴正半轴于点；…，按此作法进行下去，点的坐标为 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点，过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点，…，按照如此规律进行下去，点的坐标为 ．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$