精品解析：福建省浦城第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

2024—2025学年第一学期期中考试高三数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 命题人：侯尹文 审核人：余素英 一､单选题（8个小题共40分，每小题选对得5分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. 2 D. 3. 在中，点在边上，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 在《九章算法》和《算法通变》中提出了一些新的垛积公式，讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中，从第二项开始，后一项与前一项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前8项分别为，则该数列的第50项为（ ） A. 1275 B. 1596 C. 1597 D. 1598 5. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知四棱锥的底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心，高为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，且该圆柱的体积为，则四棱锥的底面的边长为（ ） A. B. 6 C. D. 9 8. 定义在上的函数满足，且，则不等式解集为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（3个小题共18分，每小题全选对得6分，有选错的得0分，其余选对一个得2分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求） 9. 已知定义在上的奇函数满足，则以下说法正确的是（ ） A. B. 的一个周期为 C. D. 10. 给出下列四个命题，正确的有（ ） A. 若直线平面，则直线和平面内的所有直线平行； B. 已知非负数，则的最小值为； C. 在锐角中，必有； D. 函数的图象向右平移个单位，所得图象与曲线关于原点对称，则的解析式为. 11. 设函数，，给定下列命题，则正确的命题是（ ） A. 不等式的解集为； B. 函数在单调递增，在单调递减； C. 若函数有两个极值点，则实数； D. 时，总有恒成立. 三､填空题（3个小题共15分，每小题5分，其中第14题第一空3分，第二空2分） 12. 已知，，则 ________. 13. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________. 14. 如图所示，在正方体中，若分别是的中点，则与所成的角为__________；平面与平面关系__________.（填垂直或不垂直）. 四､解答题（共5小题共77分），解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，角所对的边分别为.已知 （1）求； （2）当，且时，求. 16. 已知数列的各项均不为零，为其前项和，且. （1）探究：与的关系； （2）若，数列为等比数列，，，求数列的前项和. 17. 如图，在四棱锥中，点在平面上射影是的外心，且是棱的中点，且平面. （1）证明：平面； （2）若，求二面角的正弦值. 18. 已知函数. （1）写出函数在的零点个数，并证明； （2）若存在，方程有解，记的最大值为，证明. 19. 模糊数学普遍存在于自然界和数学模型中，比如天气预测､种群数量变化和天体运动等等.假设在一个模糊数学系统中，用来表示系统在第个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态满足，，其中. （1）当时，若满足对，有，求； （2）当时，判断中是否存在连续的三项构成等比数列；若存在，求出连续的三项；若不存在，说明理由. （3）若，，记，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期中考试高三数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 命题人：侯尹文 审核人：余素英 一､单选题（8个小题共40分，每小题选对得5分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由补集定义可得、，再借助交集定义即可得. 【详解】由， 则，， 则. 故选：A. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助复数运算法则计算即可得. 【详解】. 故选：D. 3. 在中，点在边上，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的线性运算把用表示后可得，从而得结论． 【详解】由已知， 所以，，， 故选：D． 4. 在《九章算法》和《算法通变》中提出了一些新的垛积公式，讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中，从第二项开始，后一项与前一项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前8项分别为，则该数列的第50项为（ ） A. 1275 B. 1596 C. 1597 D. 1598 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件分析得出该数列逐项之差成等差数列，利用累加法及等差数列求和公式计算即可. 【详解】设该数列为，则由题意可知：， 即从第二项开始后一项与前一项之差构成等差数列，所以， 利用累加法可得， 所以. 故选：A 5. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数运算性质，指数函数单调性，三角函数性质可比较大小. 【详解】，因在R上单调递增，则. 又，则. 故选：B 6. 已知函数，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据与的关系，可采用换元法转化为关于的二次函数最大值的求解问题，根据的范围和二次函数性质可求得结果. 【详解】，， 令，则， 则，， 即的最大值为. 故选：A. 7. 已知四棱锥的底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心，高为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，且该圆柱的体积为，则四棱锥的底面的边长为（ ） A. B. 6 C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】作出组合体的截面，确定圆柱的高，利用圆柱的体积求得圆柱底面的半径，进而得到底面正方形的边长. 【详解】 如图四棱锥的底面四边形为正方形，高， 作截面（如下图）点，点分别为，的中点，点为是正方形的中心也是圆柱底面圆的圆心. 依题意可知， 所以 所以， 所以， 所以. 故选：A. 8. 定义在上的函数满足，且，则不等式解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数单调性可得，构造函数并利用可证明在上单调递减，可得，由单调性可解得. 【详解】不等式等价于，可得， 即可得； 令函数，可得， 又可得恒成立， 因此在上单调递减，又， 所以等价于，即； 解得， 所以不等式解集为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将指数不等式转化为，再通过构造函数结合导数求得其单调性，利用函数单调性可解不等式. 二､多选题（3个小题共18分，每小题全选对得6分，有选错的得0分，其余选对一个得2分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求） 9. 已知定义在上的奇函数满足，则以下说法正确的是（ ） A. B. 的一个周期为 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A选项：由是上的奇函数即有； 对B选项：由可得，即可得； 对C选项：由周期性及奇偶性结合即可得； 对D选项：由周期性及奇偶性结合即可得. 【详解】是上的奇函数，因此，故A正确； 由得，所以是它的一个周期，故B正确； ，而，故，故C错误； ，，因此，故D正确. 故选：ABD. 10. 给出下列四个命题，正确的有（ ） A. 若直线平面，则直线和平面内的所有直线平行； B. 已知非负数，则的最小值为； C. 在锐角中，必有； D. 函数的图象向右平移个单位，所得图象与曲线关于原点对称，则的解析式为. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据线面平行的特征可知A错误；利用对勾函数单调性可求得B正确；由锐角三角形性质和诱导公式可知C正确；根据关于原点对称点的特征和函数平移变换可求得D正确. 【详解】对于A，若直线平面，则直线与平面内的直线平行或异面，A错误； 对于B，令，则， 在上单调递增，，B正确； 对于C，，，， ，，， ，，即，， ，C正确； 对于D，设与曲线关于原点对称的曲线上一点为， 则在曲线上，， 即曲线关于原点对称的曲线为， ，，D正确. 故选：BCD. 11. 设函数，，给定下列命题，则正确的命题是（ ） A. 不等式的解集为； B. 函数在单调递增，在单调递减； C. 若函数有两个极值点，则实数； D. 时，总有恒成立. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据的正负可求得的单调性，结合可确定AB正误；将极值点个数问题转化为与有两个不同交点问题，采用数形结合的方式可知C错误；根据的单调性可求得最值，通过最值比较可知D正确. 【详解】对于AB，，， ， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，B错误； 又，当时，恒成立，的解集为，A正确； 对于C，，， 有两个极值点，有两个不等正实根， 由得：， 与有两个不同交点， 图象如下图所示， 结合图象可知：当，即时，与有两个不同交点， 即若函数有两个极值点，则实数，C错误； 对于D，，当时，， 在上单调递增，； 在上单调递增，， 的最大值与的最小值不同时取得， 当时，恒成立，D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数的单调性、求解函数不等式、根据极值点个数求解参数范围、恒成立问题的求解；根据极值点个数求解参数范围的关键是能够将问题转化为函数交点个数的求解问题，采用数形结合的方式，利用函数图象来进行求解. 三､填空题（3个小题共15分，每小题5分，其中第14题第一空3分，第二空2分） 12. 已知，，则 ________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据已知条件求得的值，由此求得的值. 【详解】依题意，两边平方得 ， 而，所以， 所以. 由解得， 所以. 故答案为： 【点睛】知道其中一个，可通过同角三角函数的基本关系式求得另外两个，在求解过程中要注意角的范围. 13. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将不等式恒成立转化为恒成立，后解不等式可得答案. 【详解】因，则，又， 则，即， 因，则， 则不等式恒成立，等价于恒成立. 因，则，则. 注意到的根为， 且，则. 故答案为：. 14. 如图所示，在正方体中，若分别是的中点，则与所成的角为__________；平面与平面关系__________.（填垂直或不垂直）. 【答案】 ①. ②. 垂直 【解析】 【分析】连接，运用中位线定理推出，将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，即为所求角，在中求解即可；然后结合线面平行和垂直的判定定理和性质定理以及面面垂直的判定定理即可得 【详解】连接， 因为为正方形，所以既是中点，又是的中点，所以， 所以与所成的角为，而为等边三角形，所以， 因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，所以， 又，，，都在平面内， 所以平面， 又因为，所以平面，又平面， 所以平面平面， 故答案为：；垂直 四､解答题（共5小题共77分），解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，角所对的边分别为.已知 （1）求； （2）当，且时，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用二倍角公式得到再使用诱导公式得到，进而应用“1”的代换得到，解得继而求得； （2）由（1）得到，进而求得，再应用余弦定理可求得. 【小问1详解】 解：因为， 所以，即， 所以， 所以， 又因为为锐角，所以， 所以 【小问2详解】 解：由（1）知且为锐角， 所以， 所以，即， 所以.解之得 16. 已知数列的各项均不为零，为其前项和，且. （1）探究：与的关系； （2）若，数列为等比数列，，，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用，结合已知等式可推导得到结论； （2）根据（1）中结论可推导得到，采用并项求和的方式可求得结果. 【小问1详解】 ，， ， ，. 【小问2详解】 由（1）知：，又，为等比数列， 的公比， ； 由得：，，解得：； 数列是以为首项，为公差的等差数列；数列是以为首项，为公差的等差数列， ，， ， . 17. 如图，在四棱锥中，点在平面上射影是的外心，且是棱的中点，且平面. （1）证明：平面； （2）若，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明：分别取的中点为，连接，延长至，使得， 连接，如下图： 在中，为中位线，则， 在中，由，则为外心，即平面， 因为平面，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，利用平行四边形与三角形中位线的性质，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求的两个平面的法向量，利用面面夹角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，，则， 因为平面，平面，所以，， 以为原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 在中，，则，， 在中，，则， 则， 取， 设平面的法向量为，则， 取，则，所以平面的一个法向量为； 设平面的法向量为，则， 取，则，所以平面的一个法向量为； 设二面角的大小为， ， 则. 18. 已知函数. （1）写出函数在的零点个数，并证明； （2）若存在，方程有解，记的最大值为，证明. 【答案】（1）在的零点个数为1，证明：求导，可得， 当时，，，所以， 这表明函数在上单调递增， 由于，， 由于函数在上单调递增且，， 所以函数在上有且仅有一个零点. （2）证明：由，可得，设，， 求的导数，， 令，，求的导数， 当时，，，所以， 这表明在上单调递减， 又，，， 所以存在，使得，即， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减， 所以在处取得最大值， 由，可得， 设，则， 所以在上单调递减，所以， 因为，所以，，则，即， 又，且在上单调递增，所以. 故原命题得证. 【解析】 【分析】（1）利用函数的单调性来判断零点个数.通过求导判断函数单调性，如果函数单调递增或者单调递减，再结合函数值的情况确定零点个数. （2）先将方程变形为，然后根据函数存在解，就是求函数的值域范围，可通过求导来研究函数的单调性进而求其值域. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 19. 模糊数学普遍存在于自然界和数学模型中，比如天气预测､种群数量变化和天体运动等等.假设在一个模糊数学系统中，用来表示系统在第个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态满足，，其中. （1）当时，若满足对，有，求； （2）当时，判断中是否存在连续的三项构成等比数列；若存在，求出连续的三项；若不存在，说明理由. （3）若，，记，证明：. 【答案】（1） （2）不存在，理由如下： 当时，； 假设在数列中，存在连续的三项成等比数列，则， ，， ，即， 又，，解得：，与矛盾， 假设错误，即在中，不存在连续的三项成等比数列. （3）证明：当时，， 当时，且，； ，，，， 数列为递减数列， ，， . 【解析】 【分析】（1）根据已知定义和等量关系可求得或，分别讨论两种情况可得，结合可知数列为常数列，由此可得； （2）假设存在连续三项成等比数列，根据等比数列定义可推导得到，与矛盾，由此可得结论； （3）首先确定，进而推导得到为递减数列，根据和可放缩证得结论. 【小问1详解】 当时，， 由题意知：，， 两式作差得：，或； 当时，，解得：或，又，； 当时，，解得：； 恒成立，又，， 数列为常数列，即. 【小问2详解】 在中，不存在连续的三项成等比数列，理由略； 【小问3详解】 略. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列与函数结合的新定义问题，第三问证明不等式的关键是能够根据确定数列的单调性，结合的范围对数列的通项进行适当放缩，进而求和得到结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $