假期作业十 函数的应用(二)-【快乐假期】2024-2025学年高一数学寒假作业

三022 高一数学的) 5.B[设x天后的“进步值”是“递步值”的5倍，则0L =5 0.99- a>1时，f(x)=log 中()=5：两边同时取时得()了=g5化简 调递减； 当0<<1时，/x)=l0g,在(-oo,-1D.1,+o∞)上 得ig(0)了=k0=g1o1-g9)=lg5· x-1 单调递增。 所以x lg 5 1-lg2 1g101-1g99 1g101-1g99 14.)国为通数)=1g(性-)的图象恒过定点1,0， 1-0.3010 所以1og(m-1)=0,则m-1=1.得m=2, 2.0043-1.9956≈80. 故当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过80天，门 所以=og(层-1 6.D[因为画数f(x)满足≠时恒有)-20 所以y=f+)=log(异一）log青 x12 成立，所以函数f)=2-a)r3知+3<1·在R上 由>0，得-1<<1，即y=fx+1D的定义找为 logar,x≥1 (一1,1)，关于原点对称。 2-a>0, 单调递增，应有 a>1, 解得 1-x h()=f(r+1)-log. (2-a)-3a+3≤1og1. ae[2门 因为(-)=g者=lg() 7.BCD 8.ABD [由于log2= 0g23故问题等价于满足f(x) 所以h(x)为奇函数，即函数y=f(x十1)为奇函数. f()的画数，对于A选预（日）-2+2≠ 2由fx)=g,得1og(是-） =1ogr+++2-2+1D, 不特合题意：对于B选项f(）子+是≠，不符 x 2+2+6+2-2k+1D= 一1 合通意：对于C选项x)=x+子f(）是十r 所以 2-1>0. 1 由2-1>0，样2>0，解特0<<2 由r+2++2-2k+1D=2-1, f(x),不符合题意.故选A,B,D.] T 93101.31 得x2+k2+k+2-2(k十1)x=2-x, 整理得x2一(2k+1)x十k2+k=0, 得(x-k)[x一(k+1)]=0. 12.解：由1og.>1.得1og。号>1oga. 解得x=k或x=k十1. ①当a>1时，有a<号此时a∈： 因为关于x的方程f(x)=g(x)恰有唯一解， ②当0<a<1时，有<a,从而<a<1 所a合12 解得1≤k<2(舍去)或一1<k≤0. 六的取值范国是（合） 综上，实数k的取值范围为（一1,0们. 高考冲浪 (2),函数y=1og0.7x在(0，十∞)上为减函数， 2.1=S-1 logo.72x<logo.7(r-1), In Ni' 1.D[由题意可得 2.x>0, S-1 得{x-1>0,解得x>1. 3.15=nN2 2.x>x-1. 两式相除得2.1lnN1=3.15lnN2, 13.解：(1)要使此画数有意义，则有十0：或 所以lnN1=lnV经15，即1=N修5，故(V)小.= {x-1>0, (N4).6,即N-Ng.] +10解得>1或x<-1, 1 1 3 1 5 x-1<0, 之解折：国为og。0限一og。一专ou=一受，所以 此函数的定义域为（一∞，一1）U(1,十∞， (log2a十1)(log2a-6)=0,而a>1,故log2a=6,a=64. 答案：64 2-)=lglo司 假期作业十 函数的应用（二） =-l告-)为寺画数。 技能提升台技能提升 1.D2.C fc)=g告le+名)函数u=1+名 3.D[对于A,显然f(.x)=lnx十x在定义域上单调递增， 在区间（一00，一1）和区间(1，十0∞)上单调递减.所以当 且（日）-1+是<0）=1>0，可以使月二分法， ·47· 飞曼快乐假阴 c900 故A错误：对于B,f(x)=e一3x在定义域上连续，且有 13.解：(1)当a=1时，f(x)=4x一1， f(0)=1>0,f(1)=e-3<0,f(2)=e2-6>0.可以使用 则f(x)<0不恒成立： 二分法，故B错误：对于C,f(x)=x3一3x十1在定义域上 当a≠1时，Vx∈R,f(.x)<0幢成立 连续，且有f(-2)=一1<0，f(0)=1>0,f(1)=-1<0, 则/4-1<0， 解得a<-3. f(3)=19>0,可以使用二分法，故C错误：对于D,4.z2 {△=16+4(a-1)<0, 综上可得，若Hx∈R,∫(x)<0恒成立，则实数a的取值 4V5x+5=(2z-5202x5 范围是（一∞，-3）. 所以f(x)=4x2一4W5x+5只有一个不变号零，点，故不 (2)若a=1,由)=r-1=0,得x=}∈(-1.1). 可以使用二分法，故D正确.] 符合题意： 4.D[函数fx)=r1的定义城为xx≠01 若a≠1，当△=16十4(a一1)=0，即a=一3时，f(x)= 且-x)=1-2-1=-2山=-. -4r2+4r-1,零点为2∈(-1,1)，符合题意： 当△=16+4(a-1)>0,即a>-3且a≠1时，f(1)· 函数f(x)为奇函数，A选项错误： f(-1)=(a-1+4-1)(a-1-4-1)<0, 又当r<0时，)=亡1≤0.C选项错误： 解得-2<a<6,.-2<a<1或1<a<6. 又令f(1)=a-1十4-1=0，得a=-2,此时方程-3.x2 当>1时fr)=1山=2-1=红-1，函数单调 十4-1=0的另一根为x=号∈（一1,1D,特合题意： 递增，B选项错误.门 令f(-1)=a-1-4-1=0,得a=6,此时方程5.x2+4z 5.C[.f(2)=ln2+2-4=ln2-2<0,f(3)=ln3-1 lne-1=0,由零点定理得f(2)·f(3)<0.xo所在的区 -1=0的芳一根为r-号(-1,1)，特合题意： 间为(2,3).] 综上，若函数f(x)在区间（一1,1）内恰有一个零点，则实 6.D[当x≤0时，函数f(x)= 数4的取值范国是[-2,6]U-3). x十2在（一∞，0]上单调递增， 14.解析：(1)由已知可得v=500n200 f(x)≤f(0)=2. =500(1n2+1n100)=500[1n2+2(ln2+ln5) 当>0时，函数(x)=x+】 =500(3ln2+2ln5)≈2650(m/s). y=f() (2)设在材料更新和技术政进前总质比为x, ≥2…正=2.当且仅当上 0 且M=wlnx=500nx,g=1001n艺 =1时取等号，函数y=f(x)的大致图象如图所示， 若要使火箭的最大速度至少增加500m/s, 令f(x)=1,观察图象知，当1<2时，方程f(x)=1有 个根，当t≥2时，方程f(x)=1有两个不等根. 则2-u=1000ln之 -500lnx≥500， 函数g(x)=[f(x)]+4f(x)一a(a∈R)有三个零点，等 价于函数h(t)=2十41十a有两个零点1l2,并满足<2， 即2h-n1.ln() -In r=ln>1. 12≥2，而函数h(1)图象的对称轴为直线1=一2，于是得 所以子≥e,解得x≥4e, h(一2)=a-40·解得a≤-12，所以实数a的取值范 1h(2)=u+120, 因为2.718<e<2.719, 围为（一c©，一12].] 所以10.8724e<10.876. 7,CD[设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经 所以在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值 过n个年兔期后的合童为（位）》广迪（位）广<d得 为11. 高考冲浪 n≥10.所以，若某死亡生物体内的碳14用孩放射性探测 1.ACD[L1-L2=20×1g2-20×1g 器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”.] Po po 8.BD[对于A,当M=2时，lgE=4.8+1.5×2=7.8,解 =20×1g2>0.…2>1. 得E=107.8,A错误：对于B,当E=109.3时，9.3=4.8十 P2 1.5M,解得M=3,B正确：对于C,令9级地震释放的能 ·p≥p2,所以A正确； 量为E1,8级地震释放的能量为E2, L2-L3=20X1g2>10,lg2>号. =g-gB=4.8+1.5×9)-(4.8+1.5X8》= >>10,所 则g2 以B错误；Lg=20×1gP=40, 5,于是号三10>10.C错误：对于D,设释放的能 Po :2-100,所以C正确：L-L2=20×1g≤90-50 为Eo,对应的震级为M0,释放的能量为1000E0,对应的 Po 震级为M,则1gE=4.8+1.5M0,且lg(1000Eo)=4.8 十1.5M,两式相减得1.5(M'-M)=3,解得M-M= 40lg会≤2分≤10，所以D正确] 2,D正确.] 2.D[A选项：lgp=1 9.0.2 10.311.(1)y=2500×0.8r(2)7.2 1g1026>3,T=220,由图 4 易知处于固态：B选项： 态 12.解：(1)设f(x)=ax十b(a≠0)，由已知条件得 1gp=1g128>2,T=270, 超临界 状态 a十b-2,解得a=b=1,所以x)=x+1x∈R. 由图易知处于液态：C选项： 2 液态 12a+b=3, lgp=lg9987≈3.999，T (2)因为g(x)=-1+lgf2(x)=-1+1g(x+1)2在区 300,由图易知处于固态：D 气态 间[0,9]上为增函数，且g(0)=-1<0,g(9)=一1十lg10 选项：lgp=g729>2,T= 04 =1>0, 360,由图易知处于超临界状 2002503003504007 所以函数g(x)在区间[0,9]上零点的个数为1个. 态.所以选D. ·48·　　假期作业十　函数的应用(二)　　　　　　　　　 １．函数零点的定义 对于函数y＝f(x)(x∈D),把使　　　　成立 的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． ２．二次函数y＝ax２＋bx＋c(a＞０)的图象与 零点的关系 Δ＞０ Δ＝０ Δ＜０ 二 次 函 数 y＝ax２ ＋ bx＋c(a＞ ０)的图象 与x 轴的 交点 　　　　 (x１,０) 无交点 零点个数 两个 一个 零个 ３．二分法 对于在区间[a,b]上连续不断且　　　　　 　　　的函数y＝f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间　　　　,使区间 的两个端点逐步逼近　　　,进而得到零点 近似值的方法叫做二分法． ４．应用函数模型解决问题的基本过程 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．f(x)＝０ ２．(x１,０),(x２,０) ３．f(a)􀅰f(b)＜０　一分为二　零点 ４．画出散点图　选择函数模型　求出函数模型 判断函数零点个数的四种常用方法 (１)利用方程根,转化为解方程,有几个不同的 实数根就有几个零点． (２)画出函数y＝f(x)的图象,判断它与x轴 的交点个数,从而判断零点的个数． (３)结合单调性,利用f(a)􀅰f(b)＜０,可判断 y＝f(x)在(a,b)上零点的个数． (４)转化成两个函数图象的交点问题． 例如,函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点个 数就是方程f(x)＝g(x)的实数根的个数, 也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的 图象交点的个数． １．实数a,b,c是图象连续不断的函数y＝ f(x)定义域中的三个数,满足a＜b＜c, f(a)􀅰f(b)＜０,f(b)􀅰f(c)＜０,则函数y ＝f(x)在区间(a,c)上的零点有 (　　) A．２个　　　　　　B．奇数个 C．１个 D．至少２个 ２．函数f(x)＝x３－４x的零点为 (　　) A．(０,０),(２,０) B．(－２,０),(０,０),(２,０) C．－２,０,２ D．０,２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６２􀅰 ３．下列方程不能用二分法求近似解的为 (　　) A．lnx＋x＝０ B．ex－３x＝０ C．x３－３x＋１＝０ D．４x２－４ ５x＋５＝０ ４．函数f(x)＝|x ２－１| x 的图象为 (　　) ５．设x０ 是函数f(x)＝lnx＋x－４的零点,则 x０ 所在的区间为 (　　) A．(０,１) B．(１,２) C．(２,３) D．(３,４) ６．已 知 函 数 f(x)＝ x＋２,x≤０, x＋１x ,x＞０, ì î í ï ï ïï 若 函 数 g(x)＝[f(x)]２＋４f(x)＋a(a∈R)有三个 不同的零点,则实数a的取值范围为 (　　) A．(－∞,４) B．(－∞,４] C．(－∞,－１２) D．(－∞,－１２] ７．(多选)当生物死亡后,其体内原有的碳１４ 的含量大约每经过５７３０年衰减为原来的一 半,这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内 的碳１４含量不足死亡前的千分之一时,用一 种放射性探测器就探测不到了．若某死亡生物 体内的碳１４用该放射性探测器探测不到,则 它经过的“半衰期”个数可能是 (　　) A．８　　　B．９　　　C．１０　　　D．１１ ８．(多选)研究表明,地震时释放的能量E(单 位:J)与地震里氏震级M 之间的关系为lgE ＝４．８＋１．５M,则 (　　) A．震级为２级的地震释放的能量为１０６．８J B．释放能量为１０９．３J的地震震级为３级 C．９级地震释放的能量是８级地震释放的 能量的１０倍 D．释放能量之比为１０００∶１的两场地震的 震级相差２级 ９．若一次函数f(x)＝x＋b的零点是２,那么 函数g(x)＝bx２＋x的零点是　　　　． １０．从 A地到 B地的海底电缆有１５个接点, 现发现某处接点发生故障,需及时修理,为 了尽快找出故障的发生点,一般最多需要 检查接点的个数是　　　　． １１．已知某种药物在血液中以每小时２０％的 比例衰减,现给某病人静脉注射了该药物 ２５００mg,设经过x个小时后,药物在病人 血液中的量为ymg． (１)y与x 的关系式为　　　　　　． (２)当该药物在病人血液中的量保持在 １５００mg以上时,才有疗效;而低于５００mg 时,病人就有危险．要使病人没有危险,再次 注射该药物的时间不能超过　　　　小 时．(精确到０．１) (参考数据:０．２０．３≈０．６,０．８２．３≈０．６,０．８７．２≈ ０．２,０．８９．９≈０．１) １２．已知一次函数f(x)满足:f(１)＝２,f(２)＝３． (１)求f(x)的解析式． (２)判断函数g(x)＝－１＋lgf２(x)在区间 [０,９]上零点的个数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７２􀅰 １３．已 知 函 数 f(x)＝ (a－１)x２ ＋４x－ １,a∈R． (１)若∀x∈R,f(x)＜０恒成立,求实数a 的取值范围; (２)若函数f(x)在区间(－１,１)内恰有一 个零点,求实数a的取值范围． １４．据了解,在不考虑空气阻力和地球引力的 理想状态下,可用公式v＝v０ln M m 计算火箭的 最大速度v(m/s),其中v０(m/s)是喷流相对 速度,m(kg)是火箭(除推进剂外)的质量, M(kg)是推进剂与火箭质量的总和,Mm 称 为总质比,已知 A 型火箭的喷流相对速度 为５００m/s． (１)当总质比为２００时,利用给出的参考数 据求 A型火箭的最大速度． (２)经过材料更新和技术改进后,A型火箭 的喷流相对速度提高到原来的２倍,总质 比变为原来的１ ２ ,若要使火箭的最大速度 至少增加５００m/s,求在材料更新和技术 改进前总质比的最小整数值． (参考数据:ln２≈０．７,ln５≈１．６,２．７１８＜ e＜２．７１９) １．(多选)(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷,１０)噪声污染问 题越来越受到重视．用声压级来度量声音的 强弱,定义声压级Lp＝２０×lgpp０ ,其中常数 p０(p０＞０)是听觉下限阈值,p是实际声压． 下表为不同声源的声压级: 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 １０ ６０~９０ 混合动力汽车 １０ ５０~６０ 电动汽车 １０ ４０ 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动 汽车１０m 处测得实际声压分别为p１,p２, p３,则 (　　) A．p１≥p２ B．p２＞１０p３ C．p３＝１００p０ D．p１≤１００p２ ２．(２０２２􀅰北京卷,７)在北京冬奥会上,国家速 滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨 临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了 贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处 的状态与T 和lgp的关系,其中T 表示温 度,单位是 K;p表示压强,单位是bar．下列 结论中正确的是 (　　) A．当T＝２２０,p＝１０２６时,二氧化碳处于 液态 B．当 T＝２７０,p＝１２８ 时,二氧化碳处于 气态 C．当T＝３００,p＝９９８７时,二氧化碳处于 超临界状态 D．当T＝３６０,p＝７２９时,二氧化碳处于超 临界状态 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８２􀅰