假期作业四 二次函数与一元二次方程、不等式-【快乐假期】2024-2025学年高一数学寒假作业

　　假期作业四　二次函数与一元二次方程、不等式　　　　　　　　　　　　　 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式间 的关系 Δ＝ b２－４ac 二次函数 y ＝ ax２ ＋bx＋c (a ＞０) 的图象 一元二次 方 程 ax２ ＋bx＋c ＝０(a＞０) 一元二次不等式 ax２＋bx＋c＞０ 的解集　　　　 a＞０ a＜０ Δ＞０ 有两相异 实 数 根 x１,２ ＝　　　 (x１＜x２) 　　 　　 Δ＝０ 有两相等 实数根 x１＝x２＝ 　　　　 　　 　　 Δ＜０ 　　　　 　　 　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 －b± b２－４ac ２a 　 {x|x＜x１,或x＞x２} {x|x１＜x＜x２}　－ b ２a　 {x|x∈R,x≠－b２a } ⌀　没有实数根　R　⌀ 三个“二次”之间的关系 三个“二次”中,二次函数是主体,讨论二 次函数主要是将问题转化为一元二次方程和 一元二次不等式的形式来研究,而讨论一元二 次方程和一元二次不等式又要将其与相应的 二次函数相联系,通过二次函数的图象及性质 来解决问题,关系如下: １．下列四个不等式: ①－x２＋x＋１≥０;②x２－２ ５x＋ ５＞０; ③x２＋６x＋１０＞０;④２x２－３x＋４＜１． 解集为R的是 (　　) A．①　　　B．②　　　C．③　　　D．④ ２．不等式４x＋２３x－１＞０ 的解集是 (　　) A．xx＞１３ ,或x＜－１２{ } B．x －１２＜x＜ １ ３{ } C．xx＞１３{ } D．xx＜－１２{ } ３．若关于x的不等式x２－６x－m≥０对任意 x∈R恒成立,则m 的最大值为 (　　) A．９　　　　　　　B．－６ C．－９ D．６ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０１􀅰 ４．对任意a∈[－１,１],函数f(x)＝x２＋(a－ ４)x＋４－２a的值恒大于零,则x 的取值范 围是 (　　) A．(１,３)　　　　B．(－∞,１)∪(３,＋∞) C．(１,２) D．(－∞,１)∪(２,＋∞) ５．某礼服租赁公司共有３００套礼服供租赁,若 每套礼服每天的租价为２００元,则所有礼服 均被租出;若将每套礼服每天的租价在２００ 元的基础上提高１０x元(１≤x≤２０,x∈Z), 则被租出的礼服会减少１０x套．若要使该礼 服租赁公司每天租赁礼服的收入超过６．２４ 万元,则该礼服租赁公司每套礼服每天的租 价应定为 (　　) A．２２０元　　　　　B．２４０元 C．２５０元 D．２８０元 ６．已知关于x的不等式x２－(a＋１)x＋a＜０ 恰有四个整数解,则实数a的取值范围是 (　　) A．{a|５＜a≤６} B．{a|－４≤a＜－３} C．{a|－４≤a＜－３或５＜a≤６} D．{a|－４＜a≤－３或５≤a＜６} ７．(多选)若使不等式x２＋(a＋２)x＋２a≤０成 立的任意一个x都满足不等式x－１≤０,则 常数a可以是 (　　) A．１ B．０ C．－２ D．－１ ８．(多选)在 R上定义运算:a　bc　d ＝ad－bc , 若不等式 x－１ a＋１　 a－２ x ≥１ 对任意实数x 恒成立,则实数a可以是 (　　) A．－１２ B． 不变 C．１２ D． ３ ２ ９．已知关于x的不等式ax２－bx＋c＞０的解 集是 －１２ ,２ æ è ç ö ø ÷,对 于 系 数 a,b,c 有 下 列 说法: ①a＞０;②b＞０;③c＞０;④a＋b＋c＞０; ⑤a－b＋c＞０． 正确的序号是　　　　． １０．在R上定义运算⊗:x⊗y＝x(１－y)．若不 等式(x－a)⊗(x＋a)＜１对任意的实数x 都成立,则a的取值范围是　　　　． １１．在解方程x２＋px＋q＝０时,甲同学看错了 p,解得方程的根为x１＝１,x２＝－３;乙同学 看错了q,解得方程的根为x１＝４,x２＝－２．则 方程中的p＝　　　　,q＝　　　　． １２．解不等式:(x２－４x＋４)(x２－４x＋３)≥０． １３．解关于x的不等式x２－(a＋a２)x＋a３＞０． １４．已知不等式mx２－２x－m＋１＜０,是否存 在实数m 对所有的实数x,不等式恒成立? 若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请 说明理由． １．(全国乙卷,８)下列函数中最小值为４的是 (　　) A．y＝x２＋２x＋４ B．y＝|sinx|＋ ４|sinx| C．y＝２x＋２２－x D．y＝lnx＋ ４lnx ２．(２０２４􀅰上海卷,３)不等式x２－２x－３＜０的 解集为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１１􀅰 ＝－ ５(１０－x)＋ ２５０１０－x[ ]＋７５≤－２ １２５０＋７５ ＝７５－５０ ２, 当且仅当５(１０－x)＝ ２５０１０－x , 即x＝１０－５ ２∈(０,５)时,等号成立, 所以△ADP 面积的最大值为７５－５０ ２． 高考冲浪 １．C　[当x＜－a时x＋a＜０,当x＞－a时x＋a＞０,当x ＜１－b时ln(x＋b)＜０, 当x＞１－b时ln(x＋b)＞０,所以要f(x)恒非负,必须－a ＝１－b,即b－a＝１, 所以a２＋b２＝ (a－b)２＋(a＋b)２ ２ ≥ １ ２ , 当a＝－１２ ,b＝１２ 时取等．] ２．解析:|x－２|＜１⇒－１＜x－２＜１⇒１＜x＜３． 答案:(１,３) 假期作业四　二次函数 与一元二次方程、不等式 技能提升台　技能提升 １．C　２．A　３．C　４．B　 ５．C　[依题意,每天有(３００－１０x)套礼服被租出,该礼服租 赁公司每天租赁礼服的收入为(３００－１０x)􀅰(２００＋１０x) ＝－１００x２＋１０００x＋６００００(元)． 因为要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过６．２４ 万元, 所以－１００x２＋１０００x＋６００００＞６２４００, 即x２－１０x＋２４＜０,解得４＜x＜６． 因为１≤x≤２０且x∈Z,所以x＝５, 即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为２５０元．] ６．C　[不等式x２－(a＋１)x＋a＜０,可化为(x－a)(x－１) ＜０． 当a＝１时,不等式x２－(a＋１)x＋a＜０的解集为空集, 不符合题意; 当a＞１时,不等式x２－(a＋１)x＋a＜０的解集为{x|１＜ x＜a}, 要使不等式x２－(a＋１)x＋a＜０恰有四个整数解,则５＜ a≤６; 当a＜１时,不等式x２－(a＋１)x＋a＜０的解集为{x|a＜ x＜１}, 要使不等式x２－(a＋１)x＋a＜０恰有四个整数解,则－４ ≤a＜－３． 综上可得,实数a的取值范围是{a|－４≤a＜－３或５＜a ≤６}．] ７．ACD　８．ACD ９．③⑤　１０．－１２ ,３ ２( )　１１．－２　－３ １２．解:原不等式可化为 x－２≠０ , (x－１)(x－３)≥０{ 或x－２＝０,解得x ≥３或x≤１或x＝２． 所以原不等式的解集为{x|x≥３或x≤１或x＝２}． １３．解:原不等式可化为(x－a)(x－a２)＞０． 当a＜０时,a＜a２,解集为{x|x＜a或x＞a２}; 当a＝０时,a２＝a,解集为{x|x≠０}; 当０＜a＜１时,a２＜a,解集为{x|x＜a２ 或x＞a}; 当a＝１时,a２＝a,解集为{x|x≠１}; 当a＞１时,a＜a２,解集为{x|x＜a或x＞a２}． 综上所述,当a＜０,或a＞１时, 解集为{x|x＜a或x＞a２}; 当０＜a＜１时,解集为{x|x＜a２ 或x＞a}; 当a＝０时,解集为{x|x≠０}; 当a＝１时,解集为{x|x≠１}． １４．解:若不等式mx２－２x－m＋１＜０恒成立, 即函数f(x)＝mx２－２x－m＋１的 图 象 全 部 在x 轴 下方． 当m＝０时,１－２x＜０,则x＞１２ ,不满足题意; 当m≠０时,函数f(x)＝mx２－２x－m＋１为二次函数, 需满 足 开 口 向 下 且 方 程 mx２－２x－m＋１＝０ 无 解, 即 m＜０, Δ＝４－４m(１－m)＜０,{ 不等式组的解集为空集,即m 不存在． 综上可知不存在这样的m． 高考冲浪 １．C　[由题意可知 A 的最小值为３,B中等号的成立条件 不成立,D无最小值．] ２．解析:将不等式分解因式得(x－３)(x＋１)＜０,解得－１＜ x＜３． 答案:(－１,３) 假期作业五　函数的概念及表示 技能提升台　技能提升 １．C　２．C ３．C　[根据函数的定义选C．] ４．B　[设g(x)＝ax２＋bx＋c(a≠０),因为g(１)＝１, g(－１)＝５,且图象过原点, 所以 a＋b＋c＝１, a－b＋c＝５, c＝０, { 解得 a＝３, b＝－２, c＝０, { 所以g(x)＝３x２－２x．] ５．A　[圆壶的结构是底端与上端细、中间粗,所以在注水水 流速度恒定的情况下,开始时水的高度增加的快,中间增 加的慢,最后水的高度增加的速度又变快,由图可知选项 A符合题意．] ６．C　[显然,f(０)＝１２． 当x≠０时,f(x)＝ (x＋１)２ x２＋１ －１２ ＝２ (x＋１)２－(x２＋１) ２(x２＋１) ＝x ２＋４x＋１ ２(x２＋１) ＝１２＋ ２ x＋１x ． 令t＝x＋１x ,当x＞０时,t＝x＋１x≥２ x 􀅰１ x＝２ , 当且仅当x＝１时等号成立, 则０＜１t≤ １ ２ ,１ ２＜f (x)≤１２＋２× １ ２＝ ３ ２ ; 当x＜０时,t＝x＋１x≤－２ 􀅰 (－x)􀅰 －１x( ) ＝－２, 当且仅当x＝－１时等号成立, 则－１２≤ １ t＜０ ,１ ２－２× １ ２＝－ １ ２≤f (x)＜１２． 综上所述,f(x)的值域为 －１２ ,３ ２[ ],所以,根据高斯函 数的定义,函数y＝[f(x)]的值域是{－１,０,１}．] ７．ABC　[函数y＝x２－４x－４的图象如图,f(０)＝f(４)＝ －４,f(２)＝－８．因为函数y＝x２－４x－４的定义域为 [０,m],值 域 为 [－８,－４],所 以 实 数 m 的 取 值 范 围 是[２,４]．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３４􀅰