精品解析：湖南省长沙市雅礼集团2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024年下学期九年级期中检测试卷 数学科目 命题人：潘祝英 党清贵 审题人：潘祝英 党清贵 考生注意：本试卷共3道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，共30分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “网红长沙”是全国游客最青睐的打卡地之一，2024年国庆假期，长沙市岳麓山一橘子洲旅游区累计接待游客约1250000人次，用科学记数法表示1250000是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. a4+a5＝a9 B. a3•a4＝a12 C. a8÷a4＝a2 D. （﹣2a2）3＝﹣8a6 4. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，三点在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是（ ） 时间小时 7 8 9 10 人数 7 9 11 3 A. 9，8 B. 9，9 C. 11，8 D. 11，8．5 7. 若x1，x2是一元二次方程的两根，则x1+x2的值是（ ） A. －3 B. －4 C. 3 D. 4 8. 如图，正六边形内接于，若的面积等于，则正六边形的边长为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 9. 若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是二次函数的图象，下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6道小题，每小题3分，共18分） 11. 如果有意义，那么x的取值范围是__________． 12. 分解因式：________． 13. 根据图象，可得关于x的不等式的解集是________． 14. 圆锥的高为3，母线长为5，则该圆锥的侧面积是_______（结果用含的式子表示）． 15. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上，则的度数是_______． 16. 如图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点与动力装置相连（大小可变），点在轨道上滑动，并带动磨盘绕点转动，，．若磨盘转动过程中，则点到的最小距离为_______． 三、解答题（本大题共9道小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图所示的正方形网格中（每个小正方形的边长是1，小正方形的顶点叫作格点）， 的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）作出关于原点对称的中心对称图形； （2）将绕点顺时针旋转，求线段在旋转过程扫过区域的面积． 20. 我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图： （1）本次随机调查的学生人数为 人； （2）补全条形统计图； （3）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率． 21. 如图，在菱形中对角线交于点，过点作于点，将沿方向平移，使点落到点处，点落到点处． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 22. 秋月梨有“梨中美人”之称，它具有清肺化痰，对咽喉有养护作用；它含有膳食纤维和果胶，有助消化；它还含有丰富的维生素C，有助抗氧化，可促进伤口愈合，预防感冒等．长沙某水果店计划在2024年双十一期间进行促销活动，通过前期销售发现，批发秋月梨价格为每千克10元，按每千克20元的价格销售时，平均每天可售出60千克，若每千克售价降低1元，那么每天的销售量会增加10千克，为减少库存，水果店老板决定降价销售． （1）若该水果店计划每天销售秋月梨的利润为550元，那么秋月梨的售价应降至每千克多少元？ （2）该水果店将秋月梨每千克定价为多少元时，每天利润w最大，最大利润是多少元？（其它成本忽略不计） 23. 如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长和的延长线交于点． AI （1）证明：是的切线； （2）若，，求的半径和的长． 24. 对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界为3；函数是有上界函数，其上确界是2． （1）请判断下列函数是否为有上界函数，在后面括号内打“√”或“×” ①（ ） ②（ ） ③（ ） （2）一次函数是有上界函数，上确界为4，求实数的值． （3）如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值． 25. 已知为的外接圆，． （1）如图1，延长至点，使，连接． ①求证：为直角三角形； ②若的半径为4，，求的值； （2）如图2，若，为上的一点，且点，位于两侧，作关于对称的图形，延长交于点，连接和；试猜想，，三者之间的数量关系并给予证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期九年级期中检测试卷 数学科目 命题人：潘祝英 党清贵 审题人：潘祝英 党清贵 考生注意：本试卷共3道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，共30分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. “网红长沙”是全国游客最青睐的打卡地之一，2024年国庆假期，长沙市岳麓山一橘子洲旅游区累计接待游客约1250000人次，用科学记数法表示1250000是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：用科学记数法表示1250000是， 故选：C． 3. 下列运算正确的是（　　） A. a4+a5＝a9 B. a3•a4＝a12 C. a8÷a4＝a2 D. （﹣2a2）3＝﹣8a6 【答案】D 【解析】 【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法和除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、两项不是同类项，不能合并，故不符合题意； B、a3•a4=a7，故不符合题意； C、a8÷a4=a4，故不符合题意； D、（-2a2）3=-8a6，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘除法，解题的关键是对相应的运算法则的掌握． 4. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先求出从这四部数学名著中选择2部的所有等可能的结果，再找出恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的结果，利用概率公式计算即可得． 【详解】解：将《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》和《四元玉鉴》四部数学名著分别记为，画出树状图如下： 由图可知，从这四部数学名著中选择2部共有12种等可能的结果，其中，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》共有2种结果， 所以恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是， 故选：D． 5. 如图，三点在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据在同圆或等圆中同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 6. 为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是（ ） 时间小时 7 8 9 10 人数 7 9 11 3 A. 9，8 B. 9，9 C. 11，8 D. 11，8．5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数和众数，把一组数据按照一定的顺序排列，处在最中间的那个数据或最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，据此求解即可． 【详解】解：把这名学生的睡眠时间从低到高排列，处在第15名和第16名的睡眠时间都是8小时， ∴中位数为小时， ∵睡眠时间为9小时的人数最多， ∴众数为9小时， 故选：A． 7. 若x1，x2是一元二次方程的两根，则x1+x2的值是（ ） A. －3 B. －4 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可求出两根之和． 【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，且a＝1，b＝﹣3， ∴x1+x2＝＝3． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 8. 如图，正六边形内接于，若的面积等于，则正六边形的边长为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形为圆、等边三角形的判定与性质，连接、，由题意得出的半径为，证明为等边三角形，得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接、，     ∵的面积等于， ∴设的半径为，则， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，即正六边形的边长为， 故选：B． 9. 若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数图象与二次函数图象综合判断，由正比例函数得出，从而得出二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，再判断出正比例函数与二次函数图象没有交点即可得解． 【详解】解：∵正比例函数，随的增大而增大， ∴， ∴二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，故A、C不符合题意； 联立得：， 则， 故正比例函数与二次函数图象没有交点，故D符合题意； 故选：D． 10. 如图是二次函数的图象，下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可得二次函数开口向下，对称轴为直线，交轴于正半轴，得出，，，即可判断①②；由二次函数与轴有两个交点即可判断③；由图象可得，当时，，即可判断④；采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：二次函数开口向下，对称轴为直线，交轴于正半轴， ∴，对称轴为直线，， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②正确； ∵二次函数与轴有两个交点， ∴，故③正确； 由图象可得，与对应的函数值相同，，故④正确； 综上所述，正确的有②③④，共3个， 故选：C． 二、填空题（本大题共6道小题，每小题3分，共18分） 11. 如果有意义，那么x的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件即可求解，解题的关键在于掌握二次根式中的被开方数是非负数． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 故答案为：． 12. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式即可得出答案． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查提公因式法分解因式，解题的关键是找准公因式． 13. 根据图象，可得关于x的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据图象法求不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知：不等式的解集是； 故答案为：． 14. 圆锥的高为3，母线长为5，则该圆锥的侧面积是_______（结果用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，先由勾股定理求出圆锥的底面半径，再由圆锥的侧面积公式计算即可得解． 【详解】解：由题意得：圆锥的底面半径为， ∴该圆锥的侧面积是， 故答案为：． 15. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上，则的度数是_______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理，由旋转的性质可得，，，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，从而得出，即可得解． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点与动力装置相连（大小可变），点在轨道上滑动，并带动磨盘绕点转动，，．若磨盘转动过程中，则点到的最小距离为_______． 【答案】##60厘米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由当点运动到时，点到的距离最小，结合勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，当点运动到时，点到的距离最小， ， 由题意得：，，， ∴， 由勾股定理可得：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9道小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，化简二次根式，先化简二次根式，再计算零指数幂，负整数指数幂和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值．先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 19. 如图所示的正方形网格中（每个小正方形的边长是1，小正方形的顶点叫作格点）， 的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）作出关于原点对称的中心对称图形； （2）将绕点顺时针旋转，求线段在旋转过程扫过区域的面积． 【答案】（1） 解：如图：即为所作， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图—中心对称，勾股定理，求扇形面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）由勾股定理得出的长，再由扇形的面积公式计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由勾股定理可得：， 故线段在旋转过程扫过区域的面积为：． 20. 我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图： （1）本次随机调查的学生人数为 人； （2）补全条形统计图； （3）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率． 【答案】（1）60 （2） 补全条形统计图如图所示： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率： （1）用选择“园艺”的人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数； （2）先求出选择“编织”课程的人数，然后补全统计图即可； （3）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， ∴本次随机调查的学生人数为60人， 故答案为：60； 【小问2详解】 解：（人）， ∴选择“编织”课程的人数有12人， 补全条形统计图略 【小问3详解】 用列表法表示所有可能出现的结果如下： 园艺 电工 木工 编织 园艺 电工，园艺 木工，园艺 编织，园艺 电工 园艺，电工 木工，电工 编织，电工 木工 园艺，木工 电工，木工 编织，木工 编织 园艺，编织 电工，编织 木工，编织 由表格可知，共有12种等可能性的结果数，其中选中“园艺、编织”的有2种， 好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率． 21. 如图，在菱形中对角线交于点，过点作于点，将沿方向平移，使点落到点处，点落到点处． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：由平移的性质得：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）由平移的性质得：，则四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形； （2）由菱形的性质得到，，，则可由勾股定理得到，再根据等面积法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，矩形的判定，平移的性质等等，熟知菱形的性质和矩形的判定定理是解题的关键． 22. 秋月梨有“梨中美人”之称，它具有清肺化痰，对咽喉有养护作用；它含有膳食纤维和果胶，有助消化；它还含有丰富的维生素C，有助抗氧化，可促进伤口愈合，预防感冒等．长沙某水果店计划在2024年双十一期间进行促销活动，通过前期销售发现，批发秋月梨价格为每千克10元，按每千克20元的价格销售时，平均每天可售出60千克，若每千克售价降低1元，那么每天的销售量会增加10千克，为减少库存，水果店老板决定降价销售． （1）若该水果店计划每天销售秋月梨的利润为550元，那么秋月梨的售价应降至每千克多少元？ （2）该水果店将秋月梨每千克定价为多少元时，每天利润w最大，最大利润是多少元？（其它成本忽略不计） 【答案】（1）秋月梨的售价应降至每千克15元 （2）将秋月梨每千克定价为18元时，水果店每天销售秋月梨获得的利润最大，最大利润是640元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）设每千克秋月梨应降价元，则每千克的利润为元，销售量为，再根据利润等于每千克的利润乘以销售量列出方程求解即可； （2）设每千克秋月梨应降价元，水果店每天获得的利润为w元，则每千克的利润为元，销售量为，再根据利润等于每千克的利润乘以销售量列出w关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每千克秋月梨应降价元， 根据题意得：， 整理得 解得或（舍去）， ∴， 答：秋月梨的售价应降至每千克15元； 【小问2详解】 解；设每千克秋月梨应降价元，水果店每天获得的利润为w元， 根据题意得：， ， 当时，w有最大值，最大值为640， 此时，定价 答：将秋月梨每千克定价为18元时，水果店每天销售秋月梨获得的利润最大，最大利润是640元． 23. 如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长和的延长线交于点． AI （1）证明：是的切线； （2）若，，求的半径和的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）半径为6， 【解析】 【分析】（1）连接，由角平分线的定义得出，结合等边对等角得出，推出，由平行线的性质得出，即可得证； （2）设，则，由勾股定理计算得出的半径为6，，作于，由等面积法得出，再由角平分线的性质定理即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， 在中，由，可得， 解得：， 即的半径为6，， 作于， 由等面积法可得：， ， 由角平分线的性质定理可得：． 【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理、角平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 24. 对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界为3；函数是有上界函数，其上确界是2． （1）请判断下列函数是否为有上界函数，在后面括号内打“√”或“×” ①（ ） ②（ ） ③（ ） （2）一次函数是有上界函数，上确界为4，求实数的值． （3）如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值． 【答案】（1）√；×；√ （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据有上界函数的定义结合一次函数和二次函数的性质判断即可得解； （2）分两种情况：当，随增大而增大；当，随增大而减小；分别得出方程，求解即可； （3）分两种情况：当时，函数随着增大而增大， 当时，函数有上确界；当时，时，函数有上确界，分别计算即可得解． 【小问1详解】 解：①中，当时，有最大值，故为有上界函数，√； ②，当时，有最小值，故不为有上界函数，×； ③，当时，有最大值，故为有上界函数，√； 【小问2详解】 解：一次函数是有上界函数，上确界为， 分两种情况：当，随增大而增大， 当时，函数有最大值， ∴； 当，随增大而减小， 当时，函数有最大值， ∴； 综上可知：或； 【小问3详解】 解：当时，函数随着增大而增大， 当时，函数有上确界， 故， ， ， 解得：， 当时，时，函数有上确界， 故， 解得：（舍），（舍）， 综上可知，． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、有上界函数的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 25. 已知为的外接圆，． （1）如图1，延长至点，使，连接． ①求证：为直角三角形； ②若的半径为4，，求的值； （2）如图2，若，为上的一点，且点，位于两侧，作关于对称的图形，延长交于点，连接和；试猜想，，三者之间的数量关系并给予证明． 【答案】（1）①， ， ，， ， ∴为直角三角形； ②6 （2） 解：，，三者之间的数量关系为：．理由： 延长交于点，连接，，如图， ，， ． ，． ． ． 与关于对称， ， ， ． ． ．即． ， ． 在和中， ， ． ． ． 【解析】 【分析】（1）①由题意得出，由等边对等角得出，，求出即可得证；②连接，，设，则，由勾股定理求出，由①知：，垂直平分，从而得出，，即可得解； （2）延长交于点，连接，，由等腰直角三角形的性质得出，求出，由勾股定理得出．求出，再证明得出即可得解． 【小问1详解】 证明：①略 ②连接，，如图， ∵， ， 且． 的半径为4， ． 设，则， ，， ∴． 解得：． 由①知：，垂直平分 ，． ． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、垂径定理、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $