浙江省浙东北联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷

绝密★考试结束前 浙东北联盟 (ZDB 2024/2025学年第一学期期中联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。 4.考试结束后，只需上交答题纸。 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是正确的。 1.直线√3x-y-2=0的倾斜角为() A.30° B.60 C.120 D.150 2.双曲线x2_上 =1的焦距为() A.17 B.217 c.5 D.25 3,已知点P为圆C:(x-1)+(y-2)=1外一动点，过点P作圆C的两条切线PA,PB,切点分 别为A,B,且PA⊥PB,则动点P的轨迹方程为() A.(x-1)2+(y-2}=2 B.(x-2)}2+（y-1=2 c.(x-1)2+(y-2)2=4 D.（x-2)2+(y-12=4 4.古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥 曲线.如图所示的圆锥中，AB为底面圆的直径，M为PB中点，某同学用平行于母线PA且过点M 的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线。若该圆锥的高PO=2,底面半径OA=2,则该抛物线 焦点到准线的距离为() A.2 B.5 C.25 D.4 第4题图 高二数学学科试题第1页（供6页） 扫描全能王创建 5.如图，在平行六面体ABCD-A8GD中，AB=a,AD=i,LA=c,点P在4C上，且 4P=3PC,则亚=() 3÷,3 ,a+- 6+ 4 B 3-,1 1- B. a+一b+一C 4 4 4 1-.3 3- C. a+-b+-C 4 4 4 1- 1 1- D. +-b- 44 第5题图 6.我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，有很多代数 问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当f(x)=√x2-2x+10+√2-10x+29取得最小 值时，实数x的值为() 13 B.3 号 C. D.4 7.已知曲线E:xx-yy川=1，则下列结论中错误的是（) A.曲线E关于直线y=-x对称 B.曲线E与直线y=x无公共点 C.曲线E上的点到直线y=x的最大距离是√2.： D.曲线E与圆(x+V2)}+0y-V2=9有三个公共点 8.已知，5是椭圆C:兰+上=1的左、右焦点，直线1与椭圆C相切于点P , 过左焦点F 43 作直线1的垂线，垂足为2，则点2与原点O之间的距离为() A.3 B.2 C.3 D.4 高二数学学科试题第2页（共6页） 扫描全能王创建 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9.已知a=(1,-1,-1),i=（-2,2,0),c=(2,1,-3),则() A.a+=5 B.(a+a+c)=-6 C.(a+2B)Lc D.a"(2c- 10.已知直线1：mx-y-3=0,直线l2:4x-my+6=0,则下列命题正确的有( A.直线12的斜率一定存在 B.直线恒过点(0，-3) C.若l2,则m=2或m=-2 D.存在实数m使得⊥2 11.已知抛物线C:y2=4x,点M(-2,0),P(2,0),过点P的直线1交抛物线C与A,B两点，设A(,乃)， B(x2,y2),下列说法正确的有( A.4y2=-8 B.AB的最小值为42 C.以AB为直径的圆过原点 D.∠AMP=∠BMP 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知与圆C:x2+y2=1和圆C2:（x-2)2+(y-a)2=4都相切的直线有且仅有两条，则实数 a的取值范围是▲· 13.已知空间向量a=(1,0,-1),b=（-1,1,0),则向量a在向量i上的投影向量是▲一 4,已知双曲线C:花-片=-1(a>0,b>0),斜率为的直线与曲线C的两条新近线分别交于A 1 B两点，点P的坐标为(I,2),直线AP,BP分别与渐近线交于C,D,若直线CD的斜率也为 8 则双曲线的离心率为▲ 点一浙学学科城第}而(#6而) 扫描全能王创建 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本题满分13分)已知点P(1,3),圆C:x2+y2-4y=0: (I)若直线乙过点P且在坐标轴上的截距之和为0，求直线！的方程； (Ⅱ)过点P的直线12与圆C交于A,B两点，且∠ACB=120°，求直线2的方程. 16.(本题满分15分)如图，在棱长都为2的平行六面体中，∠DAB=60°，点A'在底面上的投影 恰为AC与BD的交点O; (I)求点C到平面A'AB的距离； (Ⅱ)求直线AC与平面B'BD所成角的正弦值. D D 第16题 高二数学学科试题第4页（共6页） 器 扫描全能王创建 17.(本题满分15分)如图，在四棱锥 P-ABCD 中， PA⊥ 平面 ABCD，AD⊥CD，AD∥BC， $$P A = A D = C D = 2 ， B C = 3 ， \overrightarrow { P E } = \overrightarrow { E D } ，$$ ，点F在线段 PC 上，且 $$\overrightarrow { P C } = 3 \overrightarrow { P F } .$$ (I)求二面角 F-AE-P 的余弦值； (Ⅱ)在线段PB上是否存在一点G，使得A，E，F，G四点共面. 若存在，求 $$\frac { P G } { P B }$$ 的值；若不存在，请说明理由， P F E G D A B C 第17题 18.(本题满分17分)已知双曲线 $$C ： \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 \left( a > 0 ， b > 0 \right)$$ )的离心率为 $$\sqrt 2 ，$$ 且C的一个焦点到 其一条渐近线的距离为1. (Ⅰ)求双曲线C的方程； (Ⅱ)设点A为C的左顶点，若过点(3，0)的直线l与C的右支交于P，Q两点，且直线AP，AQ与y 轴分别交于M， N两点， 记四边形PO NM的面积为 $$S _ { 1 } ， \triangle A M N$$ 的面积为 $$S _ { 2 } ，$$ ，求 的取值范围， 高二数学学科试题第5页(共6页) 扫描全能王创建 19.(本题满分17分)在平面直角坐标系0y中，有点P(x,y),2(:2,2).若以x轴为折痕，将 直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面（如图所示），则称此时点P,2在空间中的距离为“点 P,2关于x轴的折叠空间距离”，记为d(P): 折叠成 (I)若点A,B,C在平面直角坐标系oy中的坐标分别为A(1,2),B(-2,3),C(3,4),求 d(AB),d(BC)的值 (Ⅱ)若点D,P在平面直角坐标系x0y中的坐标分别为D(0,-1),P(x,y)，试用文字描述满足 d(DP)=√2的点P在平面直角坐标系xOy中的轨迹是什么？并求该轨迹与x轴围成的图形的面 积. ()若在平面直角坐标系x0y中，点E(-1,3)是椭圆二+=1上一点，过点E的两条直线BM, 124 EN分别交椭圆于M,N两点，且其斜率满足kM+kN=O,求d(MN)的最大值. 扫描全能王创建绝密★考试结束前 浙东北联盟(ZDB)2024/2025学年第一学期期中联考 高二年级数学学科参考答案 命题:浙江工业大学附属德清高级中学 徐 芳 审卷:浙江工业大学附属德清高级中学 俞永兴 审稿:浙江省嘉善高级中学 卢 炜 一、单项选择题: 6.C 7.C 1. B 2. D 3. A 4.B 5.A 8. B 二、多项选择题: 9. AC 10. B 11.ABD 三、填空题: 13.(0) 12.(一V5.5) 四、解答题: 15.【参考答案】注:其他解法,请酌情给分 (I)①当4的截距均为0,即直线1.过原点时,设直线4.的方程为:y=kx 代入点P(1.3),解得k=3, :.直线/.的方程为y=3x; x_-1(a+0). ②当/.截距不为0时,设直线/的方程为: a -a 点入点P(1,3),解得a=-2; .直线...方...x.y..2.........................................................5' 综上所述,直线4的方程为v=3x或x-v+2=0. (II)·乙ACB=120*且圆C的半径为2 .圆心到直线/.的距离为1. ①当直线1.的斜率不存在时,直线/.的方程为:x三1,符合题意; ......................... 高二数学学科 答案 第1页(共6页) ②当直线l的斜率存在时,设直线l方程为:y=m(x-1)+3即mx-y-m+3=0, --1解得m-0 m{2+1 :y=3: ...................................................................... 直线7的方程为: 12 综上所.,.................................' 16. 【参考答案】注:其他解法,请酌情给分! 由题意可知,OA;OB,OA'两两垂直,故以点O为坐标原点,以OA:OB,OA'为x轴,y轴 z轴的正方向建立空间直角坐标系, 如图......... 易知: O(0.0.0),A(3.0.0),B(0.1,0),C(-3.0.0).D(0,-1.0),A'(0,0,1) AC=( -.2.9., .. V.1..A4.. V).).......... . (I)设平面A'AB的法向量为:n=(a,b.c). [.AB-0 (-3a+b-0 则 #+c=0 ................................................................. l.AA'-0 据此可得平面A'AB的一个法向量为:i=(1,3,3), ...................................... 6 又:AC-(-2V3.0.0) nAC221 :.点C到平面A'AB的距离d= ....................................................' (II)设直线AC'与平面B'BD所成角为θ,平面B'BD的法向量为:m=(i,j,k). 又:DB=(0,2.0).BB'=AA'=(-V3,0.1) ............................................................10' 高二数学学科答案 第2页(共6页) [$ DB=0$$$ $$/=0$ 则 即{ #n.$B'=0$$$ #13ī+k=o'$$$ m=(1,0,3). 据此可得平面B'BD的一个法向量为: .............................................12' 又:AC'=AC+44'-(-3V3,0.1) ..........................................................14. 14 ......................................................15' 17. 【参考答案】注:其他解法,请酌情给分! (I)由题意可知,以点A为坐标原点,平面ABCD内与AD垂直的直线为×轴,AD,AP方向为y 轴,z轴建立空间直角坐标系A一xyz,如图所示 易知:A(0,0.0),P(0,0.2).C(2.2,0),D(0.2.0) ....................................... 出C-3可得点的坐标为#(24.# ................................................... 2 ................... 由PE-ED可得E(0.1,1), 。 设平面AEF的法向量为:m=(x,y,2),则 {.##F=(#),#(24--##_ .AE=(x,y,z).(0.1,1)=y+z-0 据此可得平面AEF的一个法向量为:m=(1,1,-1). ............................ 很明显平面AEP的一个法向量为n=(1.0,0) mn13 __ cos<n,n>二 3 ..............................8 高二数学学科答案 第3页(共6页) (II) 已知P(0,0,2),B(2,-1,0),设由PG=aPB, (0<2<1), 可得G(2,-,2-2a),则AG=(2a,-,2- ) ............................................... 10' 注意到平面AEF的一个法向量为:m=(1,1,-1). 令m·AG-0, ................................................................................................ 12 15* PB3 18.【参考答案】注:其他解法,请酌情给分 (I)由题意可知,C的一条渐近线方程为bx-av三0,右焦点为(c.0) :.右焦点到渐近线的距离d三- a2+b2} 由离心率e-C-、2,解得a=1, 0 双曲线的方程为x2-v2=1. (II)设直线/的方程为:x=ty+3,P(x,y),O(x2,y) x-+3 联立 #-=→(2-1)} 6#+80 (t1) -6/ △=42+32>0恒成立,y+y-- 8 2-1 8 之0 解得-1<(<1. 1P0in/pd0 $_0 S_V 4MHIAN)-inZMANV =(×+1)(x+1)=(t+4)(tv+4) 2-12-1 17 高二数学学科答案 第4页(共6页) 19.【参考答案】注:其他解法,请酌情给分! (I)由题意可知,点A,B,C在空间中的坐标分别为A'(1.0,2).B’(-2,0,3).C’(3,4.0) ..d(AB)-(-2-1)}+(0-0)}+(3-2)2}=10 (BC)-(3+2){*}+(0-4){}+(0-2){-52 ........................................... (II)由题意可知,点D在空间中的坐标分别为D(0.-1.0).对P点分类讨论 ①当点P在x轴的上半平面,即y>0时,点P在空间中的坐标为P(x,0,y). .(PD)=x+1+{}=2,化简得:x2+y=1(y>0) 因此在平面直角坐标中,点P在x轴上半平面的轨迹为以(0,0)为圆心,以1为半径的圆. ②当点P在x轴的下半平面,即y<0时,点P在空间中的坐标为P(x,y,0). ..(PD))+( 1)}-一,..得:-+(+十1)-2-(.)..-8 因此在平面直角坐标中, 点P在x轴下半平面的轨迹为以(0,-1)为圆心,以2为半径的圆 x2+(y+1){-2(v<0)的组合曲线(如图), 其 与 x轴 围 成 的图形 的面 积 为: 9 (III)①当直线MN与y轴垂直时,kw+kso三0显然不成立 ②当直线MN不与y轴垂直时,设直线MN的方程为:x=my+t, 2+1 [x=ny+t 联立方程 _1 高二数学学科 答案 第5页(共6页) A=144m2-12t2+48>0 -6mf 1y+y2= ....................................................................... 11) 3nm2+1 32-12 y·)2= 3m2+1 .-3-3 .k+=0 -=0. my,+t+I my+(+1 代入韦达定理可得: 3m{}+(t+4)m+t+1=0,即(m+1)(3m+t+1)=0 化解可得n三-1或3m+(+1-0 当3m+(+1三0时,直线MN经过点P,故舍去. 12' t2<16 3t2-12 2= 4 ①当点M,N在x轴的同侧时,即y·y。>0时,则4<r2<16. ②当点M,N在x轴的异侧时,即y·y.<0时,则o<r2<4, (MN)-(x-x){}+}+y2=(y,-y)+2+y}=2(v,+y-6vy .................................................................... 16' 综上所述:d(MN)=(0,32]: 故求 ...........也......................17” 高二数学学科答案 第6页(共6页)