2025年福建省九年级中考数学一轮复习考点过关课件：整式与因式分解

整式与因式分解 知识点1 代数式 1．定义：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代 数式，单独的一个数字或字母也是代数式，如2，a，π. 2．代数式的值：用具体数值代替代数式里的_____，按照代数式 里指明的运算顺序计算出来的结果． 字母 3．求代数式的值 (1)直接代入法：把已知的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值． (2)整体代入法 (i)先观察已知条件与所求代数式的关系． (ii)将所求代数式变形，令其用已知代数式表示出来；常用提取公因式法、平方差公式或完全平方公式． (iii)把已知代数式看成一个整体代入求值． 4．规律探究 规律探究是中考的热点内容之一，在做这类题目时，要从多个角度进行考虑，多方面分析、推理，找出其中的规律．解决这类问题的一般策略是：分类讨论、归纳． 知识点2 整式的相关概念 1．单项式 定义：由数字与字母的乘积表示的式子，叫做单项式．单独的 一个数字或字母也是单项式． 系数：单项式中的_________． 次数：单项式中所有字母的_______． 数字因数 指数和 2．多项式 项：多项式中的每一个_______． 次数：多项式中_________________． 常数项：不含_____的项． 3．整式：_______和_______统称整式． 单项式 次数最高项的次数 字母 单项式 多项式 4．同类项 (1)定义：___________________________________________叫 同类项，所有的常数项都是同类项． (2)合并同类项 定义：把同类项合并成一项叫合并同类项． 方法：(i)把同类项的系数_____作为新的系数； (ii)_______________不变，如5x2y3－2x2y3＝3x2y3. 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项 相加 字母和字母指数 知识点3 整式的运算 1．加减运算 (1)整式加减运算的实质是___________． (2)去括号法则：括号前是“＋”号，括号内各项不变号，a＋ (b＋c)＝a___ b___ c．括号前是“－”号，括号内每一项都变号， a－(b＋c)＝a___ b___ c. 合并同类项 ＋ ＋ － － 2．幂的运算 (1)同底数幂相乘：底数不变，指数_____，如am·an＝_____m， n为整数)． (2)同底数幂相除：底数不变，指数_____，如am÷an＝____ (a≠0，m，n为整数)． (3)幂的乘方：底数不变，指数_____，如(am)n＝____(m，n为整 数)． 相加 am＋n 相减 am－n 相乘 amn (4)积的乘方：等于把积的每一个因式乘方，再把所得的幂___ ___，如(ab)n＝______(n为整数)． 相 乘 an·bn 3．乘法运算 (1)单项式乘单项式 系数：系数与系数相乘作为积的系数； 相同字母：相同字母指数的和作为这个字母的指数； 单独字母：单独含有的字母连同它的指数直接作为积的一个因 式． 举例：3a2·5ab2＝______. 15a3b2 (2)单项式乘多项式 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．如m(a＋b ＋c)＝___________． (3)多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式 的每一项，再把所得的积相加．如(m＋n)(a＋b)＝___________ _____；乘法公式：平方差公式为____________________，完全 平方公式为____________________． ma＋mb＋mc ma＋mb＋na ＋nb (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a±b)2＝a2±2ab＋b2 4．除法运算 (1)单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除，作为商的 因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作 为商的一个因式，如9a2b2÷3a＝____． (2)多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项分别除以单项 式，再把所得的商_____. 3ab2 相加 5．整式的混合运算 整式混合运算的顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的；如果有同类项，就合并同类项；最后的结果必须是最简形式． 知识点4 因式分解的定义 把一个多项式化为几个_________的形式，叫做把这个多项式因 式分解，因式分解和__________互为逆运算． 整式的积 整式乘法 【注意】 判断整式变形是否为因式分解，关键看等号右边是否为整式的乘积的形式． 知识点5 因式分解的方法步骤 1．提公因式法 (1)把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公 因式．例如，多项式ab＋bc的各项都含有相同的因式b，b就是 多项式ab＋bc各项的公因式． (2)形式：ma＋mb＋mc＝___________． m(a＋b＋c) (3)公因式的确定 系数：取各项系数的___________； 字母：取各项都含有的_____字母或因式； 指数：取各项相同字母或因式的_____次数． 最大公约数 相同 最低 【注意】 ①若有一项被整体提出，括号内该项为1，不能漏掉． ②首项为负，一般先提负号，括号内各项都要变号． 2．公式法 (1)平方差公式：a2－b2＝_____________； (a＋b)(a－b) 【拓展】 平方差公式的几种变形： (－b＋a)(b＋a)＝a2－b2； (－a＋b)(－a－b)＝a2－b2； (2x＋3y)(2x－3y)＝4x2－9y2； (m3＋n2)(m3－n2)＝m6－n4； (a＋b＋c)(a＋b－c)＝a2＋2ab＋b2－c2； (a＋b－c)(a－b＋c)＝a2－b2＋2bc－c2. (2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝_______． 3．十字相乘法：x2＋(p＋q)x＋pq＝_____________． 4．因式分解的一般步骤 一提：当多项式的各项含有公因式时，通常先_________； 二套：再考虑应用_______； 三检查：因式分解的结果要彻底，每个因式要分解到_________ ___为止． (a±b)2 (x＋p)(x＋q) 提公因式 公式法 不能再分 解 考点1 整式的相关概念(5年0考) 突破2 [2024·内江]下列单项式中，ab3的同类项是(　　) A．3ab3 B．2a2b3 C．－a2b2 D．a3b 突破3 [2024·广元]如果单项式－x2my3与单项式2x4y2－n的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点(m，n)在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点2 代数式(5年0考) 突破2 [2024·广安]代数式－3x的意义可以是(　　) A．－3与x的和 B．－3与x的差 C．－3与x的积 D．－3与x的商 突破2 [2024·江西]观察a，a2，a3，a4……根据这些式子的变 化规律，可得第100个式子为____． 突破3 [2024·内江]一个四位数，如果它的千位与十位上的数 字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极 数”．若偶数m为“极数”，且 是完全平方数，则m＝______ ________. a100 1 188 或4 752 考点3 求代数式的值(5年0考) 突破1 [2024·苏州]若a＝b＋2，则(b－a)2＝__． 突破2 [2024·凉山州]已知a2－b2＝12，且a－b＝－2， 则a＋b＝____． 突破3 [2023·宿迁]若实数m满足(m－2 023)2＋(2 024－m)2 ＝2 025，则(m－2 023)(2 024－m)＝________． 4 －6 －1 012 考点4 幂的运算(5年5考) 突破1 [2024·广东]下列计算正确的是(　　) A．a2·a5＝a10 B．a8÷a2＝a4 C．－2a＋5a＝7a D．(a2)5＝a10 突破2 [2024·浙江]下列式子运算正确的是(　　) A．x3＋x2＝x5 B．x3·x2＝x6 C．(x3)2＝x9 D．x6÷x2＝x4 突破3 [2024·大兴安岭]下列计算正确的是(　　) A．a3·a2＝a6 B．(a2)5＝a7 C．(－2a3b)3＝－8a9b3 D．(－a＋b)(a＋b)＝a2－b2 突破4 [2024·河北]若a，b是正整数，且满足 则a与b的关系正确的是(　　) A．a＋3＝8b B．3a＝8b C．a＋3＝b8 D．3a＝8＋b 考点5 整式的运算(5年4考) 突破2 [2024·成都]下列计算正确的是(　　) A．(3x)2＝3x2 B．3x＋3y＝6xy C．(x＋y)2＝x2＋y2 D．(x＋2)(x－2)＝x2－4 突破3 [2024·德阳]若一个多项式加上y2＋3xy－4，结果是3xy ＋2y2－5，则这个多项式为_____． y2－1 突破4 [2024·重庆]计算：a(3－a)＋(a－1)(a＋2)． 解：a(3－a)＋(a－1)(a＋2) ＝3a－a2＋a2－a＋2a－2， ＝4a－2. 考点6 整式的化简求值(5年1考) 突破1 [2024·陕西]先化简，再求值：(x＋y)2＋x(x－2y)，其中，x＝1，y＝－2. 解：(x＋y)2＋x(x－2y) ＝x2＋2xy＋y2＋x2－2xy ＝2x2＋y2； 当x＝1，y＝－2时， 原式＝2×12＋(－2)2＝2＋4＝6. 突破2 [2024·赤峰]已知a2－a－3＝0，求代数式(a－2)2＋ (a－1)(a＋3)的值． 解：∵a2－a－3＝0， ∴a2－a＝3， ∴(a－2)2＋(a－1)(a＋3) ＝a2－4a＋4＋a2＋2a－3 ＝2a2－2a＋1 ＝2(a2－a)＋1 ＝2×3＋1 ＝7. 突破3 [2024·南充]先化简，再求值：(x＋2)2－(x3＋3x)÷x， 其中x＝－2. 解：原式＝(x2＋4x＋4)－(x2＋3) ＝x2＋4x＋4－x2－3 ＝4x＋1， 当x＝－2时，原式＝4×(－2)＋1＝－7. 考点7 规律探究(5年0考) 突破1 [2024·牡丹江]如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形，第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是(　　) A．2 022 B．2 023 C．2 024 D．2 025 突破3 [2024·扬州]1202年，数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5……这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2 024个数中，奇数的个数为(　　) A．676 B．674 C．1 348 D．1 350 突破5 [2023·嘉兴]观察下列等式： 32－12＝8×1， 52－32＝8×2， 72－52＝8×3， 92－72＝8×4…… (1)写出192－172的结果； (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论；(用含n的等式表示， n为正整数) (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 解：(1)192－172＝8×9； (2)(2n＋1)2－(2n－1)2＝8n； (3)(2n＋1)2－(2n－1)2 ＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1) ＝4n·2 ＝8n. 考点8 因式分解(5年2考) 突破1 [2024·云南]分解因式：a3－9a＝(　　) A．a(a－3)(a＋3) B．a(a2＋9) C．(a－3)(a＋3) D．a2(a－9) 突破2 [2023·济宁]下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是(　　) A．(a＋3)2＝a2＋6a＋9 B．a2－4a＋4＝a(a－4)＋4 C．5ax2－5ay2＝5a(x＋y)(x－y) D．a2－2a－8＝(a－2)(a＋4) 突破3 [2024·广西]如果a＋b＝3，ab＝1，那么a3b＋2a2b2＋ab3的值为(　　) A．0 B．1 C．4 D．9 突破4 [2024·绥化]分解因式：2mx2－8my2＝_________________. 突破5 [2024·威海]因式分解：(x＋2)(x＋4)＋1＝_______． 2m(x＋2y)(x－2y) (x＋3)2 1．[2024·福建]下列运算正确的是(　　) A．a3·a3＝a9 B．a4÷a2＝a2 C．(a3)2＝a5 D．2a2－a2＝2 2．[2023·福建]下列计算正确的是(　　) A．(a2)3＝a6 B．a6÷a2＝a3 C．a3·a4＝a12 D．a2－a＝a 3．[2020·福建]下列运算正确的是(　　) A．3a2－a2＝3　 B．(a＋b)2＝a2＋b2 C．(－3ab2)2＝－6a2b4 D．a·a－1＝1(a≠0) 4．[2021·福建]下列运算正确的是(　　) A．2a－a＝2 B．(a－1)2＝a2－1 C．a6÷a3＝a2 D．(2a3)2＝4a6 5．[2022·福建]化简(3a2)2的结果是(　　) A．9a2 B．6a2 C．9a4 D．3a4 6．[2024·福建]因式分解：x2＋x＝________． x(x＋1) 7．[2023·福州模拟]在中国历法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、 庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，它们经常和其他汉字来搭配 命名，如化学中的“甲烷、乙烷、丙烷” 等，下图为有机物甲烷、乙烷、丙烷的 分子结构图，请你依照规律，推测出壬 烷中“H”的个数为___． 20 ∵a，m，n是实数， ∴a2(3m－n)2≥0， ∴b2－12ac为非负数； (2)m，n不可能都为整数． 理由如下：若m，n都为整数，其可能情况有：①m，n都为奇数；②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数， 突破1 下列说法正确的是(　　) A．5不是单项式 B．多项式－2x2＋2x－1中，二次项系数是2 C．单项式－eq \f(x3y,5)的系数是－eq \f(1,5)，次数是4 D．多项式3x2y－xy2＋2xy的各项分别是3x2y，xy2，2xy 突破1 [2024·牡丹江]下列计算正确的是(　　) A．2a3·a2＝2a6 B．(－2a)3÷b×eq \f(1,b)＝－8a3 C．(a3＋a2＋a)÷a＝a2＋a D．3a－2＝eq \f(3,a2) 突破2 [2024·德阳]将一组数eq \r(2)，2，eq \r(6)，2　eq \r(2)，eq \r(10)，2　eq \r(3)，…，eq \r(2n)……按以下方式进行排列： 第一行　　　　 eq \r(2) 第二行　　 　2 eq \r(6) 第三行　　　2eq \r(2)　 eq \r(10)　 2eq \r(3) …　　　　　… 则第八行左起第1个数是(　　) A．7eq \r(2) B．8eq \r(2) C.eq \r(58) D．4eq \r(7) 突破4 [2024·眉山]已知a1＝x＋1(x≠0且x≠－1)，a2＝eq \f(1,1－a1)，a3＝eq \f(1,1－a2)，…，an＝eq \f(1,1－an－1)，则a2 024的值为_____． 8．[2024·福建]已知实数a，b，c，m，n满足3m＋n＝eq \f(b,a)，mn＝eq \f(c,a). (1)求证：b2－12ac为非负数； (2)若a，b，c均为奇数，m，n是否可以都为整数？说明你的理由． 解：(1)证明：∵3m＋n＝eq \f(b,a)，mn＝eq \f(c,a)， ∴b＝a(3m＋n)，c＝amn， 则b2－12ac＝[a(3m＋n)]2－12a2mn ＝a2(9m2＋6mn＋n2)－12a2mn ＝a2(9m2－6mn＋n2) ＝a2(3m－n)2， ①当m，n都为奇数时，则3m＋n必为偶数， 又∵3m＋n＝eq \f(b,a)， ∴b＝a(3m＋n)， ∵a为奇数， ∴a(3m＋n)必为偶数，这与b为奇数矛盾； ②当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则mn必为偶数， 又∵mn＝eq \f(c,a)， ∴c＝amn， ∵a为奇数， ∴amn必为偶数，这与c为奇数矛盾； 综上所述，m，n不可能都为整数． $$