精品解析：山东省济南市钢城区辛庄中学（五四制）2024-2025学年九年级上学期第一次阶段测试数学试题

2024-2025学年度辛庄中学上学期第一次学情展示 初四数学试题 一、选择题（10×4分=40分） 1. 下列函数中y是x的反比例函数的是（ ） A. y= B. xy=8 C. y= D. y=+5 2. 若函数的图象经过点（3，－7），那么它一定不经过点（ ） A. （3，7） B. （－3，－7） C. （－3，7） D. （2，－7） 3. 在△ABC中，∠C=90°，如果tanA=，那么sinB的值的等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图，△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上，则tan∠A的值是（ ） A. B. C. D. 5. 在△ABC中，若|sinA-|+(1-tanB)2=0，则∠C的度数是( ) A. 45° B. 60° C. 75° D. 105° 6. 若，，三点都在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，，的对边分别用表示，则下列等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为，则斜坡的长为（  ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 如图，在平面直角坐标系系中，直线y=k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y= 在第一象限内的图象交于点B，连接BO．若S△OBC=1，tan∠BOC=，则k2的值是（　　） A. ﹣3 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（5×4分=20分） 11. 反比例函数y＝（m＋2）x的图象分布在第二、四象限内，则m的值为______． 12. 若是的一个内角，且有，则等于__________． 13. 以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线y=经过点D，则正方形ABCD的面积是_____． 14. 如图，沿AE折叠矩形纸片，使点D落在BC边的点F处．已知，，则的值为_____． 15. 如图，四边形中，，，，，则四边形的面积是____________. 三、解答题（9道题共90分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 计算： （1）在中，，，，解这个直角三角形． （2）如图所示，在中，，，，求和． 18. 反比例函数的图像与直线相交于点A，A点的横坐标为． （1）求k的值． （2）试判断，是否在反比例函数的图像上． 19. 如图所示，一次函数（b为常数）的图像与反比例函数（k为常数，且）的图像相交于A、B两点，且点A的坐标为． （1）分别求出反比例函数及一次函数的表达式； （2）求点B的坐标； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 20. 科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4 km至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离． 21. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，两点，连接，． （1）求一次函数和反比例函数的表达式 （2）求的面积 （3）根据图象，直接写出一次函数值小于反比例函数值时x的取值范围． 22. 某市规划局计划在一坡角为16°的斜坡AB上安装一球形雕塑，其横截面示意图如图所示.已知支架AC与斜坡AB的夹角为28°，支架BD⊥AB于点B，且AC、BD的延长线均过⊙O的圆心，AB=12m，⊙O的半径为1.5m,求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离.（结果精确到0.01m） (参考数据：cos28°≈0.9,sin62°≈ 0.9, sin44°≈0.7, cos46°≈ 0.7) 23. 如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF＝3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）． 24. 已知反比例函数y＝ (m为常数)的图像在第一、三象限． (1)求m的取值范围． (2)如图，若该反比例函数的图像经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为(0，3)，(－2，0)． ①求出该反比例函数的表达式； ②设P是该反比例函数图像上的一点，若OD＝OP，则点P的坐标为________________；若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P有________个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度辛庄中学上学期第一次学情展示 初四数学试题 一、选择题（10×4分=40分） 1. 下列函数中y是x的反比例函数的是（ ） A. y= B. xy=8 C. y= D. y=+5 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义分别判断各个选项即可． 【详解】解：A.y是x2的反比例函数，故本选项错误； B.由xy=8，可得y=，y是x的反比例函数，故本选项正确； C.y是x+5的反比例函数，故本选项错误； D.此函数不是反比例函数，故本选项错误； 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数的判定，熟练掌握与理解反比例函数的定义是解此题的关键． 2. 若函数的图象经过点（3，－7），那么它一定不经过点（ ） A. （3，7） B. （－3，－7） C. （－3，7） D. （2，－7） 【答案】ABD 【解析】 【分析】将（3，-7）代入即可求出k的值，再根据k=xy解答即可． 【详解】因为函数的图象经过点（3，－7）， 所以k= 3×(-7)=-21， 所以符合条件的只有C选项， (-3)× 7 =-21， 故选：ABD． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，属于基础题，利用k=xy是解题的关键． 3. 在△ABC中，∠C=90°，如果tanA=，那么sinB的值的等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：已知在△ABC中，∠C=90°，tanA=，设BC=5x，可得AC=12x，根据勾股定理可求得AB=13x，所以sinB==．故答案选B． 考点：勾股定理；锐角三角函数的定义． 4. 如图，△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上，则tan∠A的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据三角函数的定义即可求出tan∠A的值． 试题解析：如图： 利用三角函数的定义可知tan∠A= 故选A． 考点：锐角三角函数的定义． 5. 在△ABC中，若|sinA-|+(1-tanB)2=0，则∠C的度数是( ) A. 45° B. 60° C. 75° D. 105° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据非负数的性质求出sinA及tanB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的值，由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】∵|sinA−|+(1−tanB)2=0， ∴sinA=，tanB=1， ∴∠A=60°，∠B=45°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°． 故选C． 【点睛】（1）非负数的性质：几个非负数的和等0，这几个非负数都为0；（2）三角形内角和等于180°. 6. 若，，三点都在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用反比例函数图象与性质比较函数值大小，先作出函数的图象，在图象上描出，，三点，即可从图象中得到函数值大小，掌握反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：作出函数的图象，如图所示： ， 故选：A． 7. 在中，，，，的对边分别用表示，则下列等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，根据锐角三角函数的定义进行解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、，即，该选项等式正确，不合题意； 、，即，该选项等式不正确，符合题意； 、，即，该选项等式正确，不合题意； 、，即，该选项等式正确，不合题意； 故选：． 8. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质与一次函数的图象与性质逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：A、由一次函数的图象可得，，互相矛盾，故不符合题意； B、由一次函数的图象可得，，互相矛盾，故不符合题意； C、由一次函数的图象可得，，由反比例函数图象可得，故符合题意； D、由一次函数的图象可得，，由反比例函数图象可得，互相矛盾，故不符合题意； 故选：C． 9. 如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为，则斜坡的长为（  ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡度的定义是解题关键． 先根据坡度定义求出斜坡的垂直高度，再利用勾股定理计算斜坡的长度． 【详解】解：斜坡的坡度是垂直高度与水平宽度的比， 斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为， ，米， 米， 据勾股定理可得米． 答：米． 10. 如图，在平面直角坐标系系中，直线y=k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y= 在第一象限内的图象交于点B，连接BO．若S△OBC=1，tan∠BOC=，则k2的值是（　　） A. ﹣3 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：先求得直线y=k1x+2与y轴交点C的坐标为（0，2），然后根据△BOC的面积求得BD的长为1，然后利用∠BOC的正切求得OD的长为3,，从而求得点B的坐标为（1，3），代入y=求得k2=3．故答案选D. 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 二、填空题（5×4分=20分） 11. 反比例函数y＝（m＋2）x的图象分布在第二、四象限内，则m的值为______． 【答案】m=-3 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义可得m2−10＝−1，根据函数图象分布在第二、四象限内，可得m＋2＜0，然后求解即可． 【详解】解：根据题意得，m2−10＝−1且m＋2＜0， 解得m1＝3，m2＝−3且m＜−2， 所以m＝−3． 故答案为：−3． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的性质.对于反比例函数y＝（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内． 12. 若是的一个内角，且有，则等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数问题，先由题中条件，结合特殊角的三角函数值得到，从而确定，再由特殊角的三角函数值求解即可得到答案，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 【详解】解：是的一个内角，且有， ，则， ， 故答案为：． 13. 以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线y=经过点D，则正方形ABCD的面积是_____． 【答案】12 【解析】 【详解】解：设， ∵双曲线经过点D， ∴，解得=， ∴AD=2， ∴正方形ABCD的面积=AD2=． 故答案为：12． 14. 如图，沿AE折叠矩形纸片，使点D落在BC边的点F处．已知，，则的值为_____． 【答案】． 【解析】 【分析】根据折叠的性质和锐角三角函数的概念来解答即可． 【详解】解：根据题意可得：在中，有， 则在中，， ， ， ， ∴， ， 故． 故答案是：． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 15. 如图，四边形中，，，，，则四边形的面积是____________. 【答案】4 【解析】 【分析】分别延长，交于点．构造直角三角形，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据等腰直角三角形的性质，可求出各边的长，然后求得四边形的面积． 【详解】解：如图，分别延长，交于点． ，， ， ，， 四边形的面积 ， =． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，构造直角三角形是解题的关键． 三、解答题（9道题共90分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查实数的混合运算，特殊三角函数值的计算， （1）代入特殊三角函数值，同时计算二次根式及零次幂，再计算加减法； （2）代入特殊三角函数值，同时计算乘方及零次幂，再计算加减法． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 计算： （1）在中，，，，解这个直角三角形． （2）如图所示，在中，，，，求和． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，含角的直角三角形，关键是注意解直角三角形，要求出所有的未知元素； （1）由锐角的正弦定义求出，即可得到，从而求出； （2）过作于，由，求出，由勾股定理求出的长，即可求出的长． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 过作于， ，， ， ， ， ． 18. 反比例函数的图像与直线相交于点A，A点的横坐标为． （1）求k的值． （2）试判断，是否在反比例函数的图像上． 【答案】（1） （2）不在函数图像上，在函数图像上 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，属于基础题，解答本题一定要注意待定系数法的运用． （1）将点的横坐标代入可得出纵坐标，然后代入双曲线可求出反比例函数的解析式． （2）把点，代入即可判断； 【小问1详解】 解：当时，由知，故， 将代入中，可知， 【小问2详解】 由（1）可得 当时故点不在反比例函数的图像上， 当时故点在反比例函数的图像上. 19. 如图所示，一次函数（b为常数）的图像与反比例函数（k为常数，且）的图像相交于A、B两点，且点A的坐标为． （1）分别求出反比例函数及一次函数的表达式； （2）求点B的坐标； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求出一次函数的解析式， （1）把的坐标代入两个解析式即可得出答案； （2）求出两函数组成的方程组，即可求出的坐标； （3）根据、的坐标结合图象即可得出答案． 【小问1详解】 解： 两函数图象相交于点， 代入得：，， 解得，， 反比例函数的表达式为， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 联立， 解得：，， ， 点的坐标为； 【小问3详解】 时的取值范围是：或． 20. 科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4 km至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离． 【答案】2 【解析】 【分析】过B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中利用三角函数求得BC的长． 【详解】解：过B作BD⊥AC于点D． 在Rt△ABD中，BD=AB•sin∠BAD=4×=（千米）， ∵△BCD中，∠CBD=45°， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴CD=BD=（千米）， ∴BC=BD=（千米）． 答：B，C两地的距离是千米． 【点睛】此题考查了方向角问题和解直角三角形的应用．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解． 21. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，两点，连接，． （1）求一次函数和反比例函数的表达式 （2）求的面积 （3）根据图象，直接写出一次函数值小于反比例函数值时x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为 （2）8 （3）当或时，一次函数值小于反比例函数值 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点，掌握待定系数法求出函数关系式以及将点的坐标代入函数关系式是解决问题的关键． （1）由点坐标确定反比例函数关系式，进而确定点的坐标，再根据待定系数法求出一次函数的关系式即可； （2）求出直线与轴的交点坐标，再根据三角形的面积的计算方法进行计算即可； （3）根据两个函数图象的交点坐标得出答案． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数得， ， 反比例函数的关系式为， 把点代入反比例函数得， ， 点， 设直线的关系式为， ， 解得， 直线的关系式为， 即反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为； 【小问2详解】 当时，即，解得，即直线与轴的交点坐标为， ； 【小问3详解】 由图象的交点坐标可知， 当或时，一次函数值小于反比例函数值． 22. 某市规划局计划在一坡角为16°的斜坡AB上安装一球形雕塑，其横截面示意图如图所示.已知支架AC与斜坡AB的夹角为28°，支架BD⊥AB于点B，且AC、BD的延长线均过⊙O的圆心，AB=12m，⊙O的半径为1.5m,求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离.（结果精确到0.01m） (参考数据：cos28°≈0.9,sin62°≈ 0.9, sin44°≈0.7, cos46°≈ 0.7) 【答案】10.83 【解析】 【分析】略 【详解】过点O作水平地面的垂线，垂足为E. 在RT△AOB中，cos∠OAB=,即cos28°== 所以OA=≈ 因为∠EAB=16°， 所以∠OAE=28°+16°=44°. 在RT△AOＥ中，sin∠OAE,即sin44°≈ 所以OE≈13.333×0.7≈9.3333m 9.3333+1.5=10.83（米） 所以雕塑最顶端到水平地面的垂直距离约为10.83米. 【点睛】本题考查三角函数，解答本题需要掌握三角函数的定义，会根据三角函数的定义来解答本题 23. 如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF＝3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）． 【答案】这座山的高度是1900米． 【解析】 【分析】设EC＝x，则在RT△BCE中，可表示出BE，在Rt△ACE中，可表示出AE，继而根据AB+BE＝AE，可得出方程，解出即可得出答案． 【详解】解：设EC＝x， 在Rt△BCE中，tan∠EBC＝， 则BE＝＝x， 在Rt△ACE中，tan∠EAC＝， 则AE＝＝x， ∵AB+BE＝AE， ∴300+x＝x， 解得：x＝1800， 这座山的高度CD＝DE﹣EC＝3700﹣1800＝1900（米）． 答：这座山的高度是1900米． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的应用. 24. 已知反比例函数y＝ (m为常数)的图像在第一、三象限． (1)求m的取值范围． (2)如图，若该反比例函数的图像经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为(0，3)，(－2，0)． ①求出该反比例函数的表达式； ②设P是该反比例函数图像上的一点，若OD＝OP，则点P的坐标为________________；若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P有________个． 【答案】（1）m＜；（1）①反比例函数的表达式为y＝.②(3，2)或(－2，－3)或(－3，－2) 【解析】 【详解】解：(1)由题意知1－2m＞0，解得m＜. (2)①在▱ABOD中，AD∥BO，AD＝BO. 因为A(0，3)，B(－2，0)， 所以点D的坐标是(2，3)， 所以＝3， 因此1－2m＝6， 所以反比例函数的表达式为y＝. ②∵反比例y＝的图象关于原点中心对称， ∴当点P与点D关于原点对称,则OD=OP,此时P点坐标为(−2,−3)， ∵反比例函数y＝的图象关于直线y=x对称， ∴点P与点D(2,3)关于直线y=x对称时满足OP=OD， 此时P点坐标为(3,2)， 点(3,2)关于原点的对称点也满足OP=OD， 此时P点坐标为(−3,−2)， 综上所述,P点的坐标为(−2,−3),(3,2),(−3,−2)； 由于以D. O、P为顶点的三角形是等腰三角形,则以D点为圆心,DO为半径画弧交反比例函数图象于点P1,P2,则点P1,P2满足条件;以O点为圆心,OD为半径画弧交反比例函数图象于点P3,P4,则点P3,P4也满足条件，如图，作线段OD的垂直平分线，与反比例函数的图象无交点。 【点睛】本题考核知识点：反比例函数综合题目.解题关键点：熟记反比例函数性质，数形结合思想的运用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $