第二十二章 单元测试B卷-九年级上册（人教版）

第二十二章  二次函数单元测试B卷 时间：120 分钟 满分：120 分 一、单选题（每题 3 分，共计 30 分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的 1．抛物线与轴的一个交点是(一1，0)，那么抛物线与轴的另一个交点坐标是(       ) A．(0，0) B．(3，0) C．(-3，0) D．（0，-3) 2．将抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为 （  ） A．y＝x2－1 B．y＝x2＋1 C．y＝（x＋1）2 D．y＝（x－1）2 3．已知抛物线与轴有两个交点，，抛物线与轴的一个交点是，则的值是（      ） A．5 B． C．5或1 D．或 4．若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，那么抛物线的对称轴为直线（  ） A． B． C． D． 5．二次函数的图象经过的象限为（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、三象限 6．已知关于的一元二次方程为的根为则关于的一元二次不等式的解集为（　　） A． 或 B． C． D． 7．经市场调查发现，将进货价格为元的商品按单价元售出时，能卖出个．已知该商品单价每降低2元，其销售量就增加个．设这种商品的售价减低x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，是函数y＝ax2+bx+c的图象，则函数y＝ax+c，y＝，在同一直角坐标系中的图象大致为（　　）    A．   B．   C．   D．   9．二次函数（）的图象如图所示，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．方程的两根是 10．已知抛物线 与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：① ；②该抛物线的对称轴在y轴的左侧；③关于x的方程有实数根；④ ；其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每题 3 分，共计 24 分） 11．已知实数a，b满足且，则代数式的最小值是 ． 12．若二次函数与x轴有两个交点，则k的取值范围是 ． 13．二次函数的图象如图所示，则函数值时的取值范围是 ． 14．将二次函数的图象向下平移1个单位后，它的顶点恰好落在轴上，则 ． 15．已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①，②，③，④，⑤若点和，在该图象上，则，其中正确的结论是 ．（填入正确结论的序号）    16．已知二次函数y＝2x2+2019，当x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取2x1+2x2时，函数值为 ． 17．二次函数y=－x2＋bx＋c中x与y的部分对应值如下表： x －3 －2 －1 1 y －14 －7 －2 2 根据表格中的信息得知：一元二次方程－x2＋bx＋c＝0的一个解的取值范围是 ． 18．如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽为6米，则当水面下降 米时，水面宽度为米．        三、解答题（共 66 分）解答应写成文字说明、演算步骤或证明过程 19．已知点是抛物线上的点，且点在第一象限内，求的值． 20．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 5 0 0 5 … (1)求这个二次函数的表达式； (2)在图中画出这个二次函数的图象； (3)当时，直接写出y的取值范围． 21．设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者，例如：max{﹣1，﹣1}＝﹣1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题： (1)max{5，2}＝ ，max{0，3}＝ ； (2)若max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，求x的取值范围； (3)求函数与y＝﹣x+2的图象的交点坐标，函数的图象如图所示，请你在图中作出函数y＝﹣x+2的图象，并根据图象直接写出max{﹣x+2，}的最小值． 22．在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上． (1)如果，那么抛物线的对称轴为直线 ； (2)如果点A、B在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标． 23．某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价、日销售量、日销售利润的部分对应数据如下表所示．【注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价）】 销售单价x（元） 日销售量y（件） 日销售利润w（元） (1)填空：该商品的成本单价是___________元，表中a的值是___________． (2)求该商品日销售利润的最大值． (3)由于某种原因，该商品进价降低了m元/件（）．该商店在今后的销售中，规定该商品的销售单价不低于元，日销售量与销售单价仍然满足上表中的函数关系．若日销售利润最大是元，求m的值． 24．有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．按如图所示建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 25．在平面直角坐标系中，设二函数y1＝（x﹣m）（x＋m＋2），其中m≠0 （1）求证：函数y1与x轴有交点； （2）若函数y2＝mx＋n经过函数y1的顶点，求实数m，n的关系式； （3）已知点P（﹣3，a），Q（x1，b）在函数y1的图象上，若a≥b，求x1的取值范围． 26．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为x米． (1)长为________米（包含门宽，用含x的代数式表示）； (2)若苗圃的面积为，求x的值； (3)当x为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】先令y=0，得到一元二次方程，解方程即可得到抛物线与轴的另一个交点坐标． 【详解】令y=0得到一元二次方程， 解得方程的根为： ，． 已知抛物线与轴的一个交点是(一1，0)， 所以抛物线与轴的另一个交点坐标是 ． 故答案选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点问题，比较简单，令y=0列出方程并解方程是解决本题的关键． 2．D 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2向右平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=（x-1）2； 故选：D 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 3．C 【分析】将往右平移m个单位后得到，由此即可求解． 【详解】解：比较抛物线与抛物线， 发现：将前一个抛物线往右平移m个单位后可以得到后一个抛物线的解析式， ∵与轴的一个交点是，与轴有两个交点，， ∴当前一个抛物线往右平移1个单位时，后一个抛物线与轴的一个交点是，故m=1， 当前一个抛物线往右平移5个单位时，后一个抛物线与轴的一个交点是，故m=5， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的平移规律，左右平移时y值不变，x增大或减小，由此即可求解． 4．B 【分析】根据方程的两根即可得出抛物线与x轴的两个交点坐标，再利用抛物线的对称性即可得出抛物线的对称轴． 【详解】∵方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1=-1，x2=2， ∴抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点坐标为(-1，0)、(2，0)， ∴抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，根据抛物线与x轴的交点横坐标找出抛物线的对称轴是解答本题的关键． 5．C 【分析】根据二次函数的各项的系数即可判断二次函数的图象位置． 【详解】解：∵二次函数，二次项系数为，一次项系数为，常数项为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点为， ∴二次函数的图象经过第三、四象限． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够根据二次函数的各项的系数的符号确定二次函数的图象位置． 6．A 【分析】把不等式化为，求出解集即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的根为 不等式可化为， 解得或， 关于的一元二次不等式的解集为或． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，该题利用了“十字相乘法”对所求不等式进行转化． 7．A 【分析】根据利润=单件利润×销量，即可列出函数解析式 【详解】解：设这种商品的售价减低x元，则销售量为个，单件产品的利润为元， 根据题意可得：， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是找出等量关系列出函数解析式． 8．A 【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a＜0，c＜0，b24ac＞0，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案． 【详解】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下， ∴a＜0， ∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象交y轴的负半轴， ∴c＜0， ∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴一次函数y＝ax+c，图象经过第二、三、四象限， 反比例函数y＝的图象分布在第一、三象限， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键． 9．D 【分析】此题考查了二次函数图象与系数的关系，其中抛物线的开口方向确定二次项a的符号，抛物线与y轴交点的位置确定c的符号，根据图像上的特殊点对应函数值得正负确定的正负，抛物线与轴的交点个数确定了根的判别式与0的关系，熟练掌握这些知识是解本题的关键． 【详解】由图象知，开口向上， ，故A错误； 由图象知，与轴的交点在负半轴， ，故B错误； 令，则，故C错误； ∵抛物线与x轴两个交点，，故D正确； 故选D． 点睛： 10．A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据抛物线的系数与图象的关系逐项判断即可求出答案，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系． 【详解】解：∵抛物线与x轴最多有一个交点， ∴，即，故①错误； ∵， ∴， ∴， ∴对称轴位于轴的左侧，故②正确； 由题意可知：对于任意的，都有， ∴，即该方程无解，故③错误； 由于抛物线与轴最多只有一个交点，， ∴对于任意的，， 令，则，即，故④错误； 综上所述，正确的有②，共个， 故选：A． 11．4 【分析】将b用a表示，根据b的范围求的a范围，并将b的代数式代入所求代数式中，使其仅含有未知数a的二次函数，化为顶点式即可求得其最小值，本题主要考查二次函数的最值求解． 【详解】解：∵，， ∴，， 则， ∵二次函数开口向上， ∴时随着a的增大其函数值也增大， 则当时，代数式取得最小值为4． 故答案为：4． 12．且 【分析】根据二次函数与一元二次方程的根的判别式的关系结合二次函数的定义解答． 【详解】解：根据题意可得：且， 解得：且； 故答案为：且． 【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系，熟知抛物线与x轴有两个交点，则对应方程的判别式是解本题的关键． 13． 【分析】直接根据图像解答即可． 【详解】解：根据图像可知： 时的取值范围为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关键，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 14．2 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．把二次函数解析式整理成顶点式形式，再根据向下平移横坐标不变，纵坐标减写出平移后的解析式，然后根据顶点在轴上，纵坐标为0列式计算即可得解． 【详解】解：， 图象向下平移1个单位， 平移后的二次函数解析式为， 顶点恰好落在轴上， ， 解得． 故答案为：2． 15．②④ 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、增减性是解题的关键，注意数形结合． 由图象可先判断、、的符号，可判断①；由时，此时，由对称轴可知，把代入可判断②；由图象可判断点的位置可判断③；由图象可判断点的位置可判断④；当时，随着的增大而增大，由，可判断⑤；可得出答案． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ， 对称轴， ， ，故①错误； 对称轴， ， 令时，此时， 由图象可知， ，故②正确，③错误； 抛物线的对称轴为， 与3关于对称，0与2关于对称， 令时，此时，故④正确； 当时，随着的增大而增大， ， ，故⑤错误； 故答案为：②④ 16．2019 【分析】先判断出二次函数y＝2x2+2019的对称轴为y轴，然后根据二次函数的对称性确定出，然后代入函数解析式计算即可得解． 【详解】∵二次函数y＝2x2+2019的对称轴为y轴，x分别取x1，x2（x1≠x2）时函数值相等， ∴， ∴当x取2x1+2x2时，函数值y=2019， 故答案为：2019． 【点睛】此题考查二次函数的对称，解题关键在于掌握二次函数图象上点的坐标特征. 17．1 <x< 1     【分析】观察表格可知，随x的值逐渐增大，-x2+bx+c的值在-2～2之间由负到正，故可判断ax2+bx+c=0时，对应的x的值在-1～1之间． 【详解】∵-2<0<2,且当x=-1时，y＝－2；当x=1时，y＝2， ∴当－x2＋bx＋c＝0时，对应x的取值范围是1 <x< 1. 故答案是1 <x< 1. 【点睛】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的解之间的关系．关键是观察表格，确定函数值由负到正时，对应的自变量取值范围． 18． 【分析】如图所示，建立平面直角坐标系，求出抛物线解析式，根据题意，令即可得到答案． 【详解】解：如图所示，建立如下平面直角坐标系：    设抛物线的解析式为， 将代入解析式得到，解得， ， 根据题意，当时，， 此时，水面下降（米）， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数解决实际问题，读懂题意，建立平面直角坐标系求出抛物线解析式是解决问题的关键． 19．2 【分析】本题考查了抛物线与点的关系，代入解析式计算，结合第一象限的条件取舍即可． 【详解】∵点是抛物线上的点， ∴， 解得或 ∵点在第一象限内， ∴． 20．(1)抛物线解析式为 (2)见解析 (3) 【分析】（1）设，然后把代入求出抛物线解析式； （2）利用描点法画函数图象； （3）结合函数图象，根据二次函数的性质写出对应的函数值的范围． 【详解】（1）解：∵和的函数值相同，都是， ∴对称轴为直线， ∴顶点为， 设， 将代入得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：描点，连线，这个二次函数的图象如图， （3）解：当时，y的取值范围是． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 21．(1)5，3 (2) (3)见解析， 【分析】（1）根据max{a，b}表示a、b两数中较大者，即可求出结论； （2）根据max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论； （3）联立两函数解析式成方程组，解之即可求出交点坐标，画出直线y＝﹣x+2的图象，观察图形，即可得出max{﹣x+2，}的最小值． 【详解】（1）解： max{5，2}＝5，max{0，3}＝3． 故答案为：5；3． （2）解：∵max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1， ∴3x+1≤﹣x+1， 解得：x≤0． （3）解：联立两函数解析式成方程组， ，解得：， ， ∴交点坐标为(﹣2,4)和(3,﹣1)． 画出直线y＝﹣x+2，如图所示， 观察函数图象可知：当x＝3时，max{﹣x+2，}取最小值﹣1． 【点睛】本题考查了二次函数的最值、一次函数的图象、一次函数的性质以及二次函数的图象，解题的关键是：（1）读懂题意，弄清max的意思；（2）根据max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，找出关于x的一元一次不等式；（3）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点坐标． 22．(1) (2)，顶点 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合问题，掌握待定系数法是解题关键． （1）由题意知是抛物线上关于对称轴对称的两点，据此即可求解； （2）由题意可得点的坐标，将其代入即可求出抛物线的解析式． 【详解】（1）解：若， 则是抛物线上关于对称轴对称的两点 故抛物线的对称轴为直线：， 故答案为： （2）解：∵点在上， ∴， . ∴ 将代入得： ∴              解得 ∴.      故顶点坐标为 23．(1)， (2) (3)3 【分析】（1）根据日销售利润日销售量（销售单价成本单价）即可求解； （2）根据二次函数的顶点式即可求解； （3）根据日销售利润日销售量（销售单价成本单价），把销售的最大利润代入即可求解． 【详解】（1）解：设该产品的成本单价是n元， 根据题意得：， 解得：， ． （2）设日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足的一次函数关系为， 把，代入得：， 解得：， 一次函数解析式为， 根据题意，得， ， ， ，抛物线开口向下， 当时，w最大，最大值为． （3）设利润为元，根据题意可得： ， ， 销售单价不低于元，即， ， 对称轴为： ， ， ，且开口向下， 随x的增大而减小， 当时，取最大值为， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握销售问题的数量关系． 24．(1) (2)如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出船到达桥下水面的高度，再求出抛物线顶点坐标，进而得到船到达桥下时水面距离最高点的高度，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：船行驶到桥下的时间为：小时， 水位上升的高度为：． ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∴当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为， ∴如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥． 25．（1）证明见详解；（2）实数m，n的关系式为：；（3）的取值范围为：． 【分析】（1）将二次函数解析式先进行化简，然后根据判别式进行判断即可； （2）将化为顶点式，然后代入解析式，化简即可得出实数m，n的关系式； （3）根据二次函数的基本性质，确定对称轴及开口方向，作出草图，结合题意即可得出取值范围． 【详解】解（1）， ，，， ， ∴函数与x轴有交点； （2）， ∴顶点坐标为：， ∵函数经过函数的顶点， ∴， 化简可得：， ∴实数m，n的关系式为：； （3）抛物线的对称轴为：， ∵二次项系数，开口向上，作草图如下： ∴（-3，a）与（1，a）关于对称， ∵， ∴根据函数图象的性质可得：， ∴的取值范围为：． 【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质、与一元二次方程的联系，函数增减性，理解题意，结合函数图象是解题关键． 26．(1)（36-3x） (2)8 (3)当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米 【分析】（1）根据木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米，即得BC的长为（36-3x）米；（2）根据题意得，，即可解得x的值；（3）设苗圃的面积为w，，由二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米， BC的长为32-3x+4=（36-3x）米， 故答案为：（36-3x）； （2）根据题意得，， 解得，x=4或x=8， ∵当x=4时，36-3x=24>14， ∴x=4舍去， ∴x的值为8； （3）设苗圃的面积为w， ， ∵4<36-3x14， ∴， ∵-3<0，图象开口向下， ∴当时，w取得最大值，w最大为； 答：当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$